1、8.6.3平面与平面垂直平面与平面垂直 性质定理 讲课人：邢启强 2 A O l B 1. 二面角的平面角二面角的平面角 (1)(1)定义定义: :在二面角的棱上任取一点在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的二面角的 平面角平面角. . 如图，如图， ，则，则AOB叫做二面角叫做二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关. ,OAl OBll 二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足： 角的两边都角的两边都垂直垂直于棱于棱 角的顶点在
2、角的顶点在棱上棱上 角的两边分别在两个半角的两边分别在两个半 平平面内面内 二面角的二面角的 平面角的定义、范围及作法平面角的定义、范围及作法 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 3 一一“作作”二二“证证”三三“计算计算” 求二面角大小的步骤求二面角大小的步骤 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的 角 （垂直于棱） 3、计算所求的角 复习回顾复习回顾 讲课人：邢启强 4 2.定义定义:两个平面相交两个平面相交, ,如果所成的二面角是直二面角如果所成的二面角是直二面角, ,就就 说这两个平面互相垂直。说这两个平面互相垂直。记作 记作: 复习回顾复习回顾两个平面互相垂直两个平
3、面互相垂直 3.两个平面垂直的两个平面垂直的判定定理判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言：图形语言： a B 符号语言符号语言 a a 该定理作用：该定理作用：“线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直” 应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线. 文字语言：文字语言： 讲课人：邢启强 5 1.观察实验观察实验 观察两垂直平面中,一个平面 内的直线与另一个平面的有 哪些位置关系? l b 该命题正确吗？该命题正确吗？ 学习新知学习新知 b b 平面平面内什么样
4、的直线与平面内什么样的直线与平面垂直呢垂直呢? 讲课人：邢启强 6 b l l lb 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理 b b 两个平面垂直两个平面垂直, ,则一个平面则一个平面 内垂直于交线的直线与另内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直一个平面垂直. . 简述为：简述为： 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直 符号表示：符号表示： 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 求证： 于点，已知：CDCD 证明：证明：过过B在平面在平面内作内作BECD， EB C D A 又又ABCD，ABE就是二面角就是二面角 CD的平面角，的平面角， ABE=90 。 即 即ABBE 又又CDBE=
5、B， AB. 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 P C B A D 证明：过证明：过A点作点作ADPB于于D点点. 平面平面PAB 平面平面PBC, AD平面平面PBC， ADBC. 又又 SA 平面平面ABC， SA BC. ADSA=A BC 平面平面PAB. BC AB. 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 9 思考思考:设平面设平面平面平面，点，点P在平面在平面，过点，过点P作平作平 面面的垂线的垂线l，直线，直线l与平面与平面具有什么位置关系具有什么位置关系? l l 直线直线l在平面在平面内内 P P 学习新知学习新知 ,.PPa l l 已知：（如图） 求证： 讲课人：邢启强
6、10 ,.PPa l l 已知：（如图） 求证： 例例2 求证：如果两个平面互相垂直，那么经求证：如果两个平面互相垂直，那么经 过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直 线，在第一个平面内。线，在第一个平面内。 l b c P l b c P 证明证明(同一法同一法)：设：设c，过点，过点P在平面在平面内作内作 直线直线bc，根据上面的定理有，根据上面的定理有b 因为经过一点只能有一条直线与平面因为经过一点只能有一条直线与平面垂直垂直， 所以直线所以直线l应与直线应与直线b重合重合 性质推论 讲课人：邢启强 11 ,aaa判断 与 位置关系 证明：证明：
7、设设 b a l l 在在内作直线内作直线bl l b bl b a又 /ab b a /a 面面垂直性面面垂直性 质质 线面垂线面垂 直性质直性质 结论：结论：垂直于同一平面的直线和平面平行垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.a 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 课本课本P163练习练习10、对于三个平面、对于三个平面、，如，如 果果，=l，那么直线，那么直线l与平面与平面的的 位置关系如何？为什么？位置关系如何？为什么？ l a b 如果两个相交平面都垂如果两个相交平面都垂 直于另一个平面，那么直于另一个平面，那么 这两个平面的交线垂直这两个平面的交线垂直 于这个平面。于这个平面。
8、 深化探究深化探究 讲课人：邢启强 13 典型例题典型例题 分析：分析：作出图形作出图形. . a b l m n a b l n mA （法二）（法二）（法一）（法一） 2., , l l 例 已知平面满足 求证： 讲课人：邢启强 14 在在内作直线内作直线a n 证法证法1 1：设设 在在内作直线内作直线bm ,nm / /ba a b l b m n a a b 同 理 / /b b l / / . bl bl l 例例2 2、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：已知：， , = , , = ,求证：求证： a.a. 线线垂直
9、线线垂直线面垂直线面垂直 讲课人：邢启强 15 在在内过内过A点作直线点作直线 a n， 证法证法2 2：设设 在在内过内过A点作直线点作直线 bm， n an a al l bl 同理同理 abA .l 在在内任取一点内任取一点A A（不在（不在m,n上），上）， a b l n mA ,nm 例例2 2、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：已知：， , = , , = ,求证：求证： a.a. 讲课人：邢启强 16 P b 任取任取Pa，过点，过点P作作b. 因为因为 ， 所以所以b ， 因为因为 ， 因此因此b ， 故故 =
10、b. 由已知由已知 = a， 所以所以a与与 b重合，重合， 所以所以a . 同一法同一法 例例2 2、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：已知：， , = , , = ,求证：求证： a.a. 证法证法3 3： 讲课人：邢启强 17 P161练习练习2在互相垂直的两个平面中，下列命在互相垂直的两个平面中，下列命 题中正确命题的个数为题中正确命题的个数为 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线；的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内一个平面内的已知直线必垂
11、直于另一个平面内 的无数条直线；的无数条直线； 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平 面；面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂 线必垂直于另一个平面线必垂直于另一个平面 A3 B2 C1 D0 巩固练习巩固练习 C 讲课人：邢启强 18 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 综合例题综合例题 讲课人：邢启强 23 讲课人：邢启强 24 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 25 课堂小
12、结课堂小结 讲课人：邢启强 26 .)5( 4 )3( ;)2( ;1.,60 ,30,45:4. 的大小求二面角 的角；所成与面）求（ 的角；所成与面求面面 ）求证：（面面 放置把一副直角三角板如图例 CBDA ABDBC BCDADABDACD BACDBCDABCBDC DBCCBA 讲课人：邢启强 27 练习：练习：如图，以正方形如图，以正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC为折痕，为折痕， 使使ADCADC和和ABCABC折成相垂直的两个面，求折成相垂直的两个面，求BDBD与与 平面平面ABCABC所成的角。所成的角。 A B C D D A B C O O 折成折成 讲课人
13、：邢启强 28 M D E C A B 所成的角与平面，求若 求证：是矩形四边形 是等边三角形，平面已知平面例 ABCDECABAD CDEAABCD AEDABCDAED 2, 1)2( ) 1 (. 5. 讲课人：邢启强 29 例例6.6.如图，正方形如图，正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在的平面互相所在的平面互相 垂直，垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，M M为为CECE的的 中点中点. . (1)(1)求证：求证：BMBM平面平面ADEFADEF； (2)(2)求证：平面求证：平面BDEBDE平面平面BEC.BEC. 讲课人：邢启强 30 练习练习. .已知已知SA垂直于梯形垂直于梯形ABCD所在的平面，所在的平面， DAB=ABC=900 ，SA=AB=BC=a，AD=2a， (1)求证：求证：CD平面平面SAC； (2)求求AD与平面与平面SAC所成的角；所成的角； (3)求点求点A到平面到平面SCD的距离的距离. S A B C D E F
