1、6.2 平面向量的运算平面向量的运算 知识梳理知识梳理 1、向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向 量和的运 算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：abba (2)结合律： )()(cbacba 减法 求a 与b 的相反向 量b 的和 的运算叫 做a 与b 的差 三角形法则 )( baba 数乘 求实数与 向量a 的积 的运算 |aa ；当0 时，a 的方 向与a 的方向相同； 当0 时，a 的 方向与a 的方向相反；当0 时， 0 a aa )()(； aaa )(； baba )( 2、向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，
2、cba 表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点. 3、向量a （0 a）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ab 4、平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角：已知两个非零向量a a和b b，记OA a a， OB b b，则AOB(0180)叫做向量 a a与b b的夹角. （2）数量积的定义：已知两个非零向量a a与b b，它们的夹角为，则a a与b b的数量积(或内积)a ab b|a a|b b|cos.规 定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 0a a0. （3）数量积的几何意义：数量积a ab b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|
3、cos的乘积 （4）两个向量a a，b b的夹角为锐角a ab b0 且a a，b b不共线；两个向量a a，b b的夹角为钝角a ab b0 且a a，b b不共线. 5、平面向量数量积的运算律 （1）a ab bb ba a(交换律). （2）a ab b(a ab b)a a(b b)(结合律). （3）(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律). 6、平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a ab b)(a ab b)a a 2b b2 （2）(a ab b) 2a a22a ab bb b2 （3）(a ab b) 2a a22a ab bb b2 知识典例知识典例 题
4、型一 平面向量的加减法 例 1如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） AAB DC BAD ABAC CAB ADBD D 0ADCB 【答案】C 【分析】 根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可. 【详解】 在平行四边形ABCD中,显然有AB DC , 0ADCB ,故 A,D 正确; 根据向量的平行四边形法则,可知AD ABAC ,故 B 正确; 根据向量的三角形法,AB ADDB ,故 C 错误; 故选:C. 巩固练习巩固练习 列四式不能化简为AD 的是（） AMB ADBM B()()ADMBBCCM C()ABCDBC DOC OACD 【答案】A 【分析】 根据
5、向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】 对 B，()()ADMBBCCMADMBBCCMAD ，故 B 正确； 对 C，()ABCDBCABBCCDAD ，故 C 正确； 对 D，OC OACDACCDAD ，故 D 正确； 故选：A. 题型二 数乘运算 例 2若a ，b 为已知向量，且 2 433 540 3 accb ，则c _. 【答案】 128 1339 ba 【分析】 根据向量的数乘运算法则计算即可. 【详解】 2 433 540 3 accb ， 8 215120 3 accb ，化简得 8 1312 3 cba ， 128 1339 cba . 故答案为： 12
6、8 1339 ba . 巩固练习巩固练习 化简： （1）5(32 )4(23 )abba ； （2） 111 (2 )(32 )() 342 ababab ； （3）()()xy axy a 【详解】 （1）原式 151081232abbaab ； （2）原式 123111111 334222123 abababab ； （3）原式2xayaxayaya 题型三 共线问题 例 3在OAB中，4 3OPOAOB ，且BA PA ，则_. 【答案】4 【分析】 利用平面向量的线性运算，求得 4BAPA ，由此求得的值. 【详解】 因为4 3OPOAOB ，所以3 3OPOAOBOP ，所以3AP
7、PB . 又BP BAPA ，所以 4BAPA ，所以 4. 故答案为：4 巩固练习巩固练习 设, a b 是不共线的两个非零向量，己知2ABapb ，,2BCab CDab ，若,A B D三点共线，则p的值 为() A1B2C-2D-1 【答案】D 【解析】 【分析】 因为,A B D，故存在实数，使得AB BD ，利用平面向量基本定理可得关于, p的方程组，从而可求p. 【详解】 因为, ,A B C，故存在实数，使得AB BD ，又 2BDab ， 所以2 2apbab ，故 1,1p ，故选 D. 题型四 投影问题 例 4已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120.若a 在e
8、上的投影向量为 2e ，则 a _. 【答案】4 【分析】 根据平面向量数量积定义,结合投影概念即可求解. 【详解】 e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120 由平面向量数量积定义可得1 cos1202a ea , 根据平面向量投影定义可得 1 2 2 aee , 4a . 故答案为:4 巩固练习巩固练习 设向量, a b 满足2a ，1b ，且bab ，则向量b 在向量 2ab 上的投影的数量为() A1B1C 1 2 D 1 2 【答案】D 【分析】 根据bab 利用垂直数量积为 0 求得 2 1a bb ,再根据投影的公式代入求解即可. 【详解】 bab , 2 0a bbabb ,
9、 2 1a bb . 2 221baba bb , 22 2442ababa b , 向量b 在向量 2ab 上的投影的数量为 2 1 2 2 bab ab . 故选：D. 题型四 数量积 例 4已知向量a ，b ，其中3a ，2b ，且aba ，则向量a 和b 的夹角是_ 【答案】 5 6 【分析】 利用aba 得0aba ，可求出 3 cos, 2 a b ，从而求出向量a 和b 的夹角. 【详解】 aba ， 2 332cos,0abaaa ba b ， 解得: 3 cos, 2 a b ， ,0,a b 所以夹角为 5 6 故答案为： 5 6 巩固练习巩固练习 已知a ，b 为单位向量
10、， 2cab ，且, 3 a b ，则 , a c _ 【答案】 6 【分析】 根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解. 【详解】 因为 2 2 2cos (23 3 cos, 2 | | (4 1 4cos 2) 2| ) 3 2 aa caaa b a c a b ab ab c ， 又 ,0a c ， 所以, 6 a c ， 故答案为：6 题型五 向量与三角形形状 例 5点P是ABC所在平面上一点，满足20PBPCPBPCPA ，则ABC的形状是（） A等腰直角三角形B直角三角形 C等腰三角形D等边三角形 【答案】B 【分析】 根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出 0AB A
11、C ，由此可判断出ABC的形状. 【详解】 点P是ABC所在平面上一点，满足20PBPCPBPCPA ， 则2PBPCPBPCPA ，可得CBABAC uuruu u ruuu r ，即ABACACAB ， 等式ABACACAB 两边平方并化简得 0AB AC ， ABAC ， 因此，ABC是直角三角形. 故选：B. 巩固练习巩固练习 在ABC中，已知向量AB 与AC 满足() | ABAC BC ABAC 且 1 2| | ABAC ABAC ，则ABC是() A三边均不相同的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形D等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 AB AB 和 AC AC 是两
12、个单位向量，设 ABAC ABAC AD ，则AD是BAC的平分线，由此可得ADBC，从而确定三 角形是等腰三角形，再由 1 2 ABAC ABAC ，求出BAC即可判断 【详解】 设 ABAC ABAC AD ， AB AB 和 AC AC 是两个单位向量，AD是BAC的平分线， 由题意ADBC，ABC是等腰三角形， ABAC ABAC 1 1 1 cos 2 BAC ，即 1 cos 2 BAC， 3 BAC ， ABC是等边三角形， 故选：D 题型六 “五心”问题 例 6O是平面上一定点，, ,A B C是平面上不共线的三个点， 动点P满足 ABAC OPOA ABAC ，0,， 则P点
13、的轨迹一定经过ABC的（） A外心B内心C重心D垂心 【答案】B 【分析】 先根据 | AB AB 、 | AC AC 分别表示向量 AB 、 AC 方向上的单位向量，确定 | A A BA AC C B 的方向与BAC的角平分线一致， 再由 ABAC OPOA ABAC 可得到 ABAC OP OAAP ABAC ，可得答案 【详解】 解： | AB AB 、 | AC AC 分别表示向量 AB 、 AC 方向上的单位向量， | A A BA AC C B 的方向与BAC的角平分线一致， 又 ABAC OPOA ABAC ， ABAC OP OAAP ABAC ， 向量 AP 的方向与BAC
14、的角平分线一致 P点的轨迹一定经过ABC的内心. 故选：B 巩固练习巩固练习 已知O为ABC内一点， 若分别满足OAOBOC ； OA OB OB OCOC OA ； 0OAOBOC ； 0aOAbOBcOC (其中, ,a b c为ABC中，角, ,A B C所对的边).则 O 依次是ABC的() A内心、重心、垂心、外心B外心、垂心、重心、内心 C外心、内心、重心、垂心D内心、垂心、外心、重心 【答案】B 巩固提升巩固提升 1、如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则OA OCOE （） A0 B0CAE DEA 【答案】A 【分析】 根据向量加法运算法则即可求解. 【详解】
15、 连接 OB. 由正六边形的性质，可知OAB与OBC都是等边三角形， OAABBCOC 四边形 OABC 是平行四边形， OAOCOB ， 0OAOCOEOBOE ， 故选:A. 2、在ABC中，G为ABC的重心，M为AC上一点，且满足 3MCAM ，则GM （） A 11 312 ABAC B 11 312 ABAC C 17 312 ABAC D 17 312 ABAC 【答案】B 【分析】 首先根据G为ABC的重心得到 1 3 AGABAC ，结合 3MCAM 以及向量的线性运算，求得GM 的表达式. 【详解】 因为G为ABC的重心，所以 211 323 AGABACABAC . 又 3
16、MCAM ，所以 1 4 AMAC ，所以 11111 334312 GMGAAMABACACABAC ， 故选：B. 3、已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么3ab 等于（） A 7 B 10 C 13 D4 【答案】A 【分析】 先根据题意求出 2 1a ， 2 1b ， 1 2 a b ，再求出 2 37ab ，最后求3ab 即可. 【详解】 解：因为a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60， 所以 2 1a ， 2 1b ， 1 1 1 cos60 2 a b ， 2 221 6391 69 17 2 abaa bb ， 所以73ab 故选：A 4、已知1,2ab ，且a
17、ab ，则向量a 与向量b 的夹角为（） A 6 B 4 C 3 D 2 3 【答案】B 【分析】 根据向量垂直数量积为零，代值计算即可. 【详解】 因为aab ，故可得0aab ， 即 2 , 0aa b cos a b ， 代值可得 2 , 2 cos a b ， 故可得向量a 与向量b 的夹角为 4 . 故选：B. 5、已知平面向量ab ，满足 21aba ， ,与b 的夹角为 2 3 ，且)2()abab +，则实数的值为（） A7B3 C2D3 【答案】D 【分析】 由已知可得 20abab ，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可. 【详解】 依题意得 2 2 11 3 a b
18、cos 由 20abab ，得 22 2210aba b 即390，解得3. 故选:D. 6、已知abc ， ，为单位向量，且满足370abc ，a 与b 的夹角为 3 ，则实数_. 【答案】8 或5 【分析】 将已知等式移项，可得7(3)cab ，再两边平方，运用向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方， 化简整理，解方程即可得到所求值 【详解】 由3 70abc ，可得7(3)cab ，则 222 2 4996bbcaa . 由abc rrr ， ，为单位向量，得 222 1abc ，则 2 4996 cos 3 ，即 2 3400 ， 解得8 或5. 7、在ABC中，设 22 2
19、ACABAM BC ，则动点 M 的轨迹必通过ABC的（） A垂心B内心C重心D 外心 【答案】D 【分析】 根据已知条件可得 22 2ACABACABBCAM BC ，整理可得0BCMCMB ，若E为BC中点， 可知BC ME ，从而可知M在BC中垂线上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】 22 2ACABACABACABACABBCAM BC 20BCACABAM 0BCACAMABAMBCMCMB 设E为BC中点，则 2MCMBME 20BCME BCME ME为BC的垂直平分线 M轨迹必过ABC的外心 本题正确选项：D 8、已知向量OA a ，OB b ，60AOB ，且 4ab （1
20、）求ab ，ab ； （2）求a b 与a 的夹角及a b 与a 的夹角 【答案】（1）4 3ab ，4ab ；（2）30，60 【分析】 （1）由 22 abab 、 22 abab ，结合平面向量数量积的运算即可得解； （2）记a b 与a 的夹角为,0 ,180 oo ，a b 与a 的夹角为0 ,180, ，由平面向量数量积的定义可得 cos、cos，即可得解. 【详解】 （1）因为向量OA a ，OB b ，60AOB ，且 4ab ， 所以 222 2 22 22co 60sababaa bbaa bb 1 162 4 41648 2 ， 所以4 3ab ， 又 222 2 22
21、22co 60sababaa bbaa bb 1 162 4 41616 2 ， 所以4ab ； （2）记a b 与a 的夹角为,0 ,180 oo ，a b 与a 的夹角为0 ,180, ， 则 2 1 164 4 3 2 cos 24 3416 3 aba aa b ab a ， 所以 30 2 1 164 4 1 2 cos 4 4162 aba aa b ab a ， 所以60 9、设a 、b 满足| | 4a ，| | 2b ，且a 与b 的夹角为 2 3 ，求： （1）a b ； （2）( 2 ) ()abab ； （3）|3 4|ab . 【答案】（1）4；（2）12；（3）4
22、19. 【分析】 （1）利用平面向量数量积的定义可计算出结果; （2）利用平面向量数量积的运算律可计算出结果; （3）由题意得出 2 |34|(34 )abab ，利用平面向量数量积的运算律可得出结果. 【详解】 （1）由平面向量数量积的定义可得 21 | |cos4 24 32 a bab ； （2） 22 (2 ) ()2ababaa bb 2222 |2|442 212aa bb ； （3）由题意得 2 |34|(34 )abab 22 22 924169|2416|aa bbaa bb 22 9 424 ( 4) 16 24 19 10、已知4a ，3b ， 23261abab . （
23、1）求a 与b 的夹角； （2）求ab . 【答案】（1）120；（2） 13 【分析】 （1）由题意结合平面向量数量积的运算律可得 22 44361aa bb ，再由平面向量数量积的定义即可得 1 cos 2 ，即可得解； （2）由题意结合平面向量数量积的知识可得 2 22 2abaa bb ，运算即可得解. 【详解】 （1）因为 23261abab ，所以 22 44361aa bb ， 因为4a ，3b ，所以 22 4 44 4 3cos3 361 ，解得 1 cos 2 ， 又0 ,180，所以120=； （2）由题意 2 22 2162 4 3cos120913abaa bb ，
24、所以13 ab. 11、已知向量a ，b 满足1a ，4b ，且a ，b 的夹角为60. （1）求 2abab ； （2）若2abab ，求实数的值. 【答案】（1）12；（2）12 【分析】 （1）先求出a b ，进而将 2abab 展开，结合a ，b 的模，可求出答案； （2）由 20abab ，将 2abab 展开，并结合a b 的值，及a ，b 的模，进而可求出的值. 【详解】 （1）由题意，cos60 1 1 42 2 a ba b ， 22 22221612ababaa bb . （2）2abab ， 20abab ， 22 220aa bb ，22320，12. 12、已知| 2
25、,| 3,aba 与b 的夹角为 120 （1）求(2) (3 )abab 与|ab 的值； （2）x 为何值时，xa b 与 ba 3 垂直？ 【答案】（1）34 7， ；（2）当 24 5 x 时，xa b 与 3ab+ r r 垂直 【分析】 （1）先由数量积的定义求出 3a b ，由数量积的运算性质可得 22 (2) (3 )253ababaa bb ， 222 |2ababaa bb ，将条件及a b 的值代入，可得答案. （2）由xa b 与 3ab+ r r 垂直，可得 22 () (3 )(31)30 xababxaxa bb ，将条件代入可求出 x 的值. 【详解】 （1）|cos,23 cos1203a ba ba b 22 (2) (3 )25324153 934ababaa bb 222 |24697ababaa bb （2）因为()(3 )xabab ， 所以 22 () (3 )(31)3493270 xababxaxa bbxx ，即 24 5 x 所以当 24 5 x 时，xa b 与 3ab+ r r 垂直
