1、10.1.3 10.1.3 古典概型古典概型 讲课人：邢启强 2 1.1.两个事件之间的关系包括包含事件、两个事件之间的关系包括包含事件、 相等事件、互斥事件、对立事件，事件相等事件、互斥事件、对立事件，事件 之间的运算包括和事件、积事件，这些之间的运算包括和事件、积事件，这些 概念的含义分别如何？概念的含义分别如何？ 若事件若事件A A发生时事件发生时事件B B一定发生，则一定发生，则A AB B . . 若事件若事件A A发生时事件发生时事件B B一定发生，反之亦一定发生，反之亦 然，则然，则A=BA=B. . 若事件若事件A A与事件与事件B B不同时发生不同时发生, ,则则A A与与B
2、 B互斥互斥. . 若事件若事件A A与事件与事件B B有且只有一个发生，则有且只有一个发生，则A A与与 B B相互对立相互对立. . 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 事件的关系及其事件的关系及其运算运算 事件事件A与与B关系关系含义含义符号符号 事件事件B包含包含A（或（或 称事件称事件A包含于包含于B） 如果事件如果事件A发生，则事件发生，则事件B一定发一定发 生。生。 B A （AB） 事件事件A与与B相等相等如果事件如果事件A发生，则事件发生，则事件B一定发一定发 生；生； 反之，也成立。反之，也成立。 A=B 事件事件A与与B的和事的和事 件（或并事件）件（或并事件） 事件事
3、件A与与B至少有一个发生的事件至少有一个发生的事件A B 事件事件A与与B的积事的积事 件（或交事件）件（或交事件） 事件事件A与与B同时发生的事件同时发生的事件A B 事件事件A与与B互斥互斥事件事件A与与B不能同时发生不能同时发生A B= 事件事件A与与B互为对互为对 立事件立事件 事件事件A与与B不能同时发生，但必有不能同时发生，但必有 一个发生一个发生 A B=且且 A B= 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 思考：思考：抛掷两枚质地均匀的硬币抛掷两枚质地均匀的硬币, ,有哪几种可能结果？有哪几种可能结果？ ( (正正, ,正正),(),(正正, ,反反),(),(反反, ,正正)
4、,(),(反反, ,反反);); （正，正，正），（正，正，反）（正，正，正），（正，正，反）, ,（正，反，正），（反，（正，反，正），（反， 正，正）正，正）, , （正，反，反），（反，正，反）（正，反，反），（反，正，反）, ,（反，反，（反，反， 正），（反，反，反）正），（反，反，反）. . 学习新知学习新知 连续抛掷三枚质地均匀的硬币连续抛掷三枚质地均匀的硬币,有哪几种可能结果？有哪几种可能结果？ 思考思考1 1：抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？ 每个基本事件出现的可能性相等吗？每个基本事件出现的可能性相等吗？ 思考思考2 2：抛掷一枚
5、质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每 个基本事件出现的可能性相等吗？个基本事件出现的可能性相等吗？ 相等相等 不相等不相等 思考思考3 3：从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事 件有多少个？件有多少个？ 无数个无数个 讲课人：邢启强 5 思考：思考：在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？ 互斥关系互斥关系 定义：试验中不能再分的最简单的随机事件定义：试验中不能再分的最简单的随机事件, 即只包含一个样本点的事件即只包含一个样本点的事件,其他事件可以用其他事件可以用 它
6、们来描绘它们来描绘,这样的事件称为这样的事件称为基本事件基本事件 学习新知学习新知 基本事件的特点基本事件的特点 (1)在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的；在同一试验中，任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成几个基本事件的和。任何事件都可以表示成几个基本事件的和。 由所有的基本事件构成一个试验的由所有的基本事件构成一个试验的样本空样本空 间间 讲课人：邢启强 6 1.1.从字母从字母a a，b b，c c，d d中任意取出两个不同字母中任意取出两个不同字母 的试验中，有哪些基本事件？事件的试验中，有哪些基本事件？事件“取到字母取到字母a”a” 是哪些基本事件的和？是哪些基本
7、事件的和？ A=a,b，B=a,c，C=a,d，D=b,c， E=b,d，F=c,d； A+B+C. 尝试练习尝试练习 2,连续抛掷两枚骰子，共连续抛掷两枚骰子，共 有多少个基本事件。有多少个基本事件。 12 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 共有共有36个基本事件，每个基本事件，每 个事件发生的可能性相个事件发生的可能性相 等，都是等，都是1/36 讲课人：邢启强 7 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生 的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度 量（数值）称为事件的概率（probability),事件A 的概率用P(A)表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一 些事件的
8、概率估计，但这种方法耗时多，而且得 到的仅是概率的近似值，能否通过建立适当的数 学模型，直接计算随机事件的概率呢？ 学习新知学习新知 思考在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛 掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试 验，它们的共同特征有哪些？ 讲课人：邢启强 8 问题问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点出现抛掷一枚质地均匀的硬币，每个样本点出现 的可能性相等吗？的可能性相等吗？ 学习新知学习新知 问题问题2 抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些样本点？每抛掷一枚质地均匀的骰子，有哪些样本点？每 个样本点出现的可能性相等吗？个样本点出现的可能性相等吗？ 讲课人：邢启强 9 学习新
9、知学习新知 彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质 地均匀骰子的试验，它们具有如下共同特征； (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验， 其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型 讲课人：邢启强 10 巩固练习巩固练习 1. 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限 个：命中个：命中10环、命中环、命中9环、环、命中、命中5环和不中环环和不中环 你认为这是古典概型吗
10、？为什么？你认为这是古典概型吗？为什么？ 解解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而个，而 命中命中10环、命中环、命中9环、环、命中、命中5环和不中环的出现不是环和不中环的出现不是 等可能的等可能的(为什么？为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件，即不满足古典概型的第二个条件. 2 从所有整数中任取一个数的试验中从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数抽取一个整数” 是古典概型吗？是古典概型吗？ 解解 不是，因为有无数个样本点不是，因为有无数个样本点. 小结小结 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：判断一个试验是不是古典概型要抓住两
11、点： 一是有限性；二是等可能性一是有限性；二是等可能性 讲课人：邢启强 11 考虑下面的随机事件,如何度量事件A发生的可能性大小? 一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机 选择一名学生,事件A=“抽到男生” 学习新知学习新知 解:班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为 是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等， 这是一个古典概型. 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生 数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量， 显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点， 而事件A=“抽到男生”包含18个样本点. 因此，事件A发生的可能性大小为
12、18/40=0.45 讲课人：邢启强 12 下面的随机事件,如何度量事件B发生的可能性大小? 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面 朝上” 学习新知学习新知 解:我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币 “反面朝上”，则试验的样本空间 =(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0, 1),(0,0,0).共有8个样本点,且每个样本点是等可能发 生的，所以这是一个古典概型. 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本 点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小. 因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的 样本点
13、数的比值来度量.因为B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), 所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375 讲课人：邢启强 13 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 14 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 15 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 16 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 17 学习新知学习新知 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个 样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件 A的概率 其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含 的样本点个数. ( ) ( ) () kn A P A nn 讲课人：邢启强 18 例例1.1.单选题是标准化考试中常用的
14、题型单选题是标准化考试中常用的题型, ,一般是从一般是从A A，B B， C,DC,D四个选项中选择一个正确答案如果考生掌握了考查四个选项中选择一个正确答案如果考生掌握了考查 的内容，他可以选择唯一正确的答案的内容，他可以选择唯一正确的答案, ,假设考生不会做，假设考生不会做， 他随机地选择一个答案他随机地选择一个答案, ,问他答对的概率是多少？问他答对的概率是多少？ 典型例题典型例题 解：试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的 样本空间可以表示为=A,B,C,D. 考生随机选择一 个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这 是一个古典概型. 设M=“选中正确答案”，因为正确答
15、案是唯一的， 所以n(M)=1.所以,考生随机选择一个答案,答对的概 率 1 () 4 P M 小结小结 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写 出所有的样本点及个数，写出随机事件所包含的样本点及个数，然后应用公式求出所有的样本点及个数，写出随机事件所包含的样本点及个数，然后应用公式求 出出 讲课人：邢启强 19 在标准化的考试中既有单选题又有多选题在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从多选题是从A、B、 C、D四个选项中选出所有正确答案四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉同学们
16、可能有一种感觉,如如 果不知道正确答案果不知道正确答案,多选题更难猜对多选题更难猜对,这是为什么这是为什么? 思考思考 讲课人：邢启强 20 典型例题典型例题 例2. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为 I号和号),观察两枚骰子分别可能出 现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断 这个试验是否为古典概型； (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和是5”； B=“两个点数相等”； C=“I号骰子的点数大于号骰子的点 数”. 讲课人：邢启强 21 123456 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
17、 (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结 果都可与号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验 的一个结果，用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示 号骰子出现的点数是n,则数组（m,n)表示这个试验的一个样 本点.因此该试验的样本空间=(m,
18、n)|m,n1,2,3,4,5,6,其中 共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现 的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 讲课人：邢启强 22 (2)因为A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以 n(A)=4,从而 因为B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,(6,6), 所以n(B)=6,从而 ( )41 ( ) ( )369 n A P A n 因为C=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),2),(4,3),1), (5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,(6,5),所以 n(C)=15,从
19、而 ( )61 ( ) ( )366 n B P B n ( )155 ( ) ( )3612 n C P C n 讲课人：邢启强 23 思考研究思考研究 在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚 骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别 属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子 的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和 （2,1)的结果将无法区别. 当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间 1=(m,n)|m,n1,2,3,4,5,6,且mn,则n(1)=21.其中，事件 A
20、=“两个点数之和是5”的结果变为A=(1,4),(2,3),这时P(A)=2/21 思考:同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结 果时，(1,1)和（1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典 概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此 P(A)=2/21,是错误的. 讲课人：邢启强 24 方法总结方法总结 求解古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用 适当的符号（字母、数字、数组等）表 示试验的可能结果（借助图表可以帮助 我们不重不漏地列出所有的可能结果）; (2)根据实际问题情境判断样本点的等可
21、能性； (3)计算样本点总个数及事件A包含的样 本点个数，求出事件A的概率. 讲课人：邢启强 25 方法总结方法总结 讲课人：邢启强 26 例例3 3 某种饮料每箱装某种饮料每箱装6 6听，如果其中有听，如果其中有2 2听不合听不合 格，质检人员依次不放回随机抽出格，质检人员依次不放回随机抽出2 2听，求检测出听，求检测出 不合格产品的概率不合格产品的概率. . 830+830+230=0.6 随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率随着检测听数的增加，查出不合格产品的概率 怎样变化？怎样变化？ 为什么质检人员一般都采用抽查的方法而不采为什么质检人员一般都采用抽查的方法而不采 用逐个检查的方法
22、？用逐个检查的方法？ 检测听数检测听数1 12 23 34 45 56 6 概率概率0.60.6 0.3330.80.93311 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 27 典型例题典型例题 例4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个 黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率： (1)A=“第一次摸到红球”； (2)B=“第二次摸到红球”； (3)AB=“两次都摸到红球” 解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时 有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸 球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可 能的结果，
23、 讲课人：邢启强 28 典型例题典型例题 (1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第 1,2行）,即A=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3), (2,4),(2,5),所以 (2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中 第1、2列）,即B=(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2), (3,2),(4,2),(5,2),所以 (3)事件AB包含2个可能结果，即 AB=(1,2),(2,1),所以 ( )82 ( ) ( )205 n A P A n ( )82 ( ) ( )205 n B P B n ( )21 ( ) ( )2010 n
24、C P C n 讲课人：邢启强 29 典型例题典型例题 例5. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽 取两人 (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性 别等比例分层抽样的样本空间 (2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率 解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数 组(x1,x2)表示样本点 (1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间 1=(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2), (G1,B1),(G1,B2)
25、,(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2) 不放回简单随机抽样的样本空间 2=(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1), (B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1) 按性别等比例分层抽样的样本空间 3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2) 讲课人：邢启强 30 (2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽 样,A= (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2). 因为抽中
26、样本空间1中每一个样本点的可能性都相等,所以这 是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25 对于不放回简单随机抽样,A=(B1,B2),(B2,B1).因为抽中样本空 间2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型 因此P(A)=2/12=1/60.167. 因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=,因 此P(A)=0 此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性 别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有 放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不 同,某个事件发生的概率也可能不同 讲课人：邢启强 31 上一章我们研究过通
27、过抽样调查估计树人中学高一学 生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中 每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随 机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就 可能高估总体的平均身高.上述计算表明，在总体的男、 女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行 抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简 单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约 为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特 别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本 出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以， 改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 讲课人：邢启强 32 1.1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事 件，且这些事件彼此互斥件，且这些事件彼此互斥. .试验中的事件试验中的事件A A可以是可以是 基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的. . 2.2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点， 概率计算公式概率计算公式P P（A A）= =事件事件A A所包含的样本点的个所包含的样本点的个 数数样本空间包含的样本点的总个数，只对古典样本空间包含的样本点的总个数，只对古典 概型适用概型适用 课堂小结课堂小结
