（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第三册暑假作业11：计数原理A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 11计数原理 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.以图中的 8 个点为顶点的三角形的个数是（ ） A.56 个B.48 个 C.45 个D.42 个 2.8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A.B.C.D. 8338 3 8 3 8 3.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A.24B.48C.60D.72 4.安排 5 名班干部周一至周五值班，每天 1 人，每人值 1 天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同 的安排方式有（ ） A.13B.18C.22D.28 二、多选题(共 10 分) 5.2 名女生、4 名男生排成一排，则 2 名女生不相邻的排法有( )种. A.B.C.D. 2 6 4 4 4 4 2 5 6 6 5 5 2 2 2 6 4 4 6.有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A.分给甲乙丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法； B.分给甲乙丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法； C.分给甲乙每人各 2 本，分给丙丁每人各 1 本，有 180 种分法； D.分给甲乙丙丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法； 三、填空题(共 10 分) 7.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机 必须在甲机之前着舰（不一定相邻） ，那么不同的着舰方法种数为_. 8.如图，一环形花坛分成 A、B、C、D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的 2 块种不同的花， 则不同的种法总数为 . 四、解答题(共 34 分) 9.从 7 名男生和 5 名女生中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法数. （1） ， 必须被选出； （2）至少有 2 名女生被选出； （3）让选出的 5 人分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 10.某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 11.如图，从左到右有 5 个空格. （1）若向这 5 个格子填入 0，1，2，3，4 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填 0，则一共有多少不同的填法？ （2）若给这 5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝 3 颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？ （3）若向这 5 个格子放入 7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 暑假作业 11计数原理 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.以图中的 8 个点为顶点的三角形的个数是（ ） A.56 个B.48 个 C.45 个D.42 个 【答案】D 【解析】 . 3 8 3 5 3 4= 42 2.8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A.B.C.D. 8338 3 8 3 8 【答案】A 【解析】 【分析】 利用分步计数原理进行求解. 【详解】 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8 名学生看作 8 家“店” ，3 项冠军看作 3 个“客” ，他们都可能住进任意一家 “店” ，每个“客”有 8 种可能，因此共有种不同的结果. 83 故选：A. 【点睛】 本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键. 3.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A.24B.48C.60D.72 【答案】B 【解析】 【分析】 先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数. 【详解】 个位数只能为 2 或 4，因此个位数有 2 种排法， 其余 4 个位置可排余下 4 个不同的元素，共有种排法， 4 4= 24 由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为种. 48 故选：B. 【点睛】 本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题. 4.安排 5 名班干部周一至周五值班，每天 1 人，每人值 1 天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同 的安排方式有（ ） A.13B.18C.22D.28 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得. 【详解】 第一类，乙安排在周二，则有种， 23 3= 12 第二类，乙不安排在周二，则从甲乙丙以外的 2 人中选 1 人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排， 故有种， 1 2 1 2 2 2 2 2= 16 根据分类计数原理可得，共有种， 12 + 16 = 28 故选：D 【点睛】 本小题主要考查分类加法计数原理，属于基础题. 二、多选题(共 10 分) 5.2 名女生、4 名男生排成一排，则 2 名女生不相邻的排法有( )种. A.B.C.D. 2 6 4 4 4 4 2 5 6 6 5 5 2 2 2 6 4 4 【答案】BC 【解析】 【分析】 由题意，先排男生，再插入女生，可得选项 B 正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项 C 正确 【详解】 由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故 B 正确； 4 4 2 5 4 4 2 5 也可先进行全排列，则 2 名女生相邻情况为，则 2 名女生不相邻的排法有，故 C 正确； 6 6 5 5 2 2 6 6 5 5 2 2 故选：BC. 【点睛】 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题. 6.有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ） A.分给甲乙丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法； B.分给甲乙丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法； C.分给甲乙每人各 2 本，分给丙丁每人各 1 本，有 180 种分法； D.分给甲乙丙丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法； 【答案】ABC 【解析】 【分析】 选项 ，先从 6 本书中分给甲（也可以是乙或丙）2 本；再从其余的 4 本书中分给乙 2 本；最后的 2 本书给丙.根据分步乘法原理 把每一步的方法相乘，即得答案.选项 ，先分堆再分配. 先把 6 本书分成 3 堆:4 本、1 本、1 本；再分给甲乙丙三人.根据分 步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项 ，6 本不同的书先分给甲乙每人各 2 本；再把其余 2 本分给丙丁.根据分步乘 法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项 ，先分堆再分配. 先把 6 本不同的书分成 4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本；再分给 甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】 对 ，先从 6 本书中分给甲 2 本，有种方法；再从其余的 4 本书中分给乙 2 本，有种方法；最后的 2 本书给丙，有种方法. 2 6 2 4 2 2 所以不同的分配方法有种，故 正确； 2 6 2 4 2 2= 90 对 ，先把 6 本书分成 3 堆:4 本、1 本、1 本，有种方法；再分给甲乙丙三人，所以不同的分配方法有种，故 正 4 6 4 6 3 3= 90 确； 对 ，6 本不同的书先分给甲乙每人各 2 本，有种方法；其余 2 本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有 2 6 2 4 2 2 种，故 正确； 2 6 2 4 2 2= 180 对 ，先把 6 本不同的书分成 4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本，有种方法； 2 6 2 4 2 2 1 2 1 1 2 2 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故 错误. 2 6 2 4 2 2 1 2 1 1 2 2 4 4= 1080 故选：. 【点睛】 本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 三、填空题(共 10 分) 7.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机 必须在甲机之前着舰（不一定相邻） ，那么不同的着舰方法种数为_. 【答案】48 【解析】 【分析】 将问题转化为不同的 5 位同学坐从左到右的 5 个座位，乙同学不坐第 1 个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，再结合排列组合 中的分步原理求解即可. 【详解】 解：不妨将问题转化为不同的 5 位同学坐从左到右的 5 个座位，乙同学不坐第 1 个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，则可先 在 2 至 5 号座位上选 1 个座位给乙坐，然后在剩下的 4 个座位中选 2 个坐丙同学和甲同学，且丙坐在甲的左边，剩下的 2 个座位 坐剩下的两位同学即可，即不同的坐法共有， 4 4 2 4 2 2= 4 4 3 2 1 2 1 = 48 即不同的着舰方法种数为 48， 故答案为：48. 【点睛】 本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了特殊元素优先处理的解题方法，属基础题. 8.如图，一环形花坛分成 A、B、C、D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的 2 块种不同的花， 则不同的种法总数为 . 【答案】84 【解析】 试题分析：由题分三类：种两种花有 A42种种法；种三种花有 2A43种种法；种四种花有 A44种种法 共有 A42+2A43+A44=84 考点：分类加法及运用排列数计数. 四、解答题(共 34 分) 9.从 7 名男生和 5 名女生中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法数. （1） ， 必须被选出； （2）至少有 2 名女生被选出； （3）让选出的 5 人分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 【答案】 （1）；（2）；（3） 12059625200 【解析】 【分析】 （1）从以外的人中，任选 个人，由此求得选法数. ,103 （2）先计算出从人任选 人的方法数，然后减去至多有 名女生被选出的方法数，由此求得选法数. 1251 （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选 人进行安排，由此求得选法数. 103 【详解】 （1）由于 ， 必须被选出，再从以外的人中，任选 个人，故选法数有种. ,103 3 10= 120 （2）从人任选 人的方法数有，选出的 人中没有女生的方法数有，选出的 人中有 名女生的方法数有. 125 5 125 5 751 4 7 1 5 所以至少有 2 名女生被选出的选法数为. 5 12 5 7 4 7 1 5= 79221175 = 596 （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选 人安排职务，故选法数为 103 . 1 7 1 5 3 10= 25200 【点睛】 本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题. 10.某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【答案】 （1）561；（2）5984；（3）2100；（4）2555；（5）6090. 【解析】 【分析】 （1）从余下的 34 种商品中，任选取 2 种，问题得以解决 （2）从余下的 34 种可选商品中，任选取 3 种，问题得以解决 （3）从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件，问题得以解决 （4）分选取 2 种假货，选取 3 种假货两种情况，问题得以解决 （5）选取 3 种的总数减去选取 3 种假货得情况，问题得以解决 【详解】 解：（1）从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 (种)， 2 34= 34 33 2 = 561 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种. （2）从余下的 34 种可选商品中，选取 3 种，有(种). 3 34= 34 33 32 3 2 1 = 5984 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种. （3）从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有(种). 1 20 2 15= 20 15 14 2 1 = 2100 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种. （4）选取 2 种假货有种，选取 3 种假货种，共有选取方式 1 20 2 15= 20 15 14 2 1 = 2100 3 15= 15 14 13 3 2 1 = 455 (种). 1 20 2 15+ 3 15= 2100 + 455 = 2555 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. （5）选取 3 种的总数为，选取 3 种假货有种，因此共有选取方式 3 35= 35 34 33 3 2 1 = 6545 3 15= 15 14 13 3 2 1 = 455 (种). 3 35 3 15= 6545455 = 6090 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种. 【点睛】 本题主要考察了排列、组合及简单计数问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 11.如图，从左到右有 5 个空格. （1）若向这 5 个格子填入 0，1，2，3，4 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填 0，则一共有多少不同的填法？ （2）若给这 5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝 3 颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？ （3）若向这 5 个格子放入 7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【答案】 （1）；（2）；（3） 964816800 【解析】 【分析】 （1）直接利用排除法计算得到答案. （2）根据乘法原理计算得到答案. （3）将情况分为的 组和的 组，计算得到答案. 221115311115 【详解】 （1）利用排除法：种. 5 5 4 4= 96 （2）根据乘法原理得到：共有种涂法. 3 2 2 2 2 = 48 （3）若分成的 组，则共有种分法； 221115 2 7 2 5 2 2 若分成的 组，则共有种分法， 311115 3 7 故共有种放法. ( 2 7 2 5 2 2 + 3 7) 5 5= 16800 【点睛】 本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.