1、北师北师大新版数学必修第一册第大新版数学必修第一册第五章函数的应用综合测试题五章函数的应用综合测试题 一、单选题一、单选题 1函数 1f xx的零点是（） A-2B1C2D3 2若 2 4f xxbx的零点个数为1，求b的值（） A4B4C4D5或3 3若函数 f（x）x2axb 的两个零点是 2 和 3，则函数 g（x）bx2ax1 的零点 是（） A1 和 1 6 B1 和 1 6 C 1 2 和 1 3 D 1 2 和 1 3 4若方程 2 (1)230kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（） A 4 3 k B 4 3 k C 4 3 k ，且1k D 4 3 k ，且 1
2、k 5某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元） 对年销售量y（单位：t）的影响，对近 6 年的年宣传费 i x和年销售量1,2,6 i y i 进行整理，得数据如表所示： x1.002.003.004.005.006.00 y1.652.202.602.762.903.10 根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是 （） A0.51yxB21 x y C 3 log1.5yxD 2 2yx 6若 ( )f x为奇函数，且 0 x是函数( ) x yf xe的一个零点，在下列函数中， 0 x一定 是其零点的函数是（） A()1 x
3、yfxeB( )1 x yf xe C( )1 x yf xeD( )1 x yf xe 7若 0 x是方程 2 6 log x x 的解，则 0 x属于区间 （） A0,1B1,2C2,4D 4, 8某工厂去年 12 月份的产量是去年 1 月份产量的m倍，则该厂去年月产量的平均增 长率为（） A 1 11 m B 1 12 m C11 1m D12 1m 9已知函数 fx的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 12345 fx-4-3-126 则函数 fx的零点所在的区间是（） A1,2 B2,3 C3,4D4,5 10已知两点2,0 ,0,4BO为坐标原点，动点,P x y在线段AB(
4、不含端点)上运 动，过P点分别向 , x y轴作垂线，垂足分别为 ,M N，则四边形PMON的面积的最大 值为() A 2 B2C2 2 D8 11用二分法研究函数 3 21fxxx的零点时，第一次经计算 00f， 0.50f，可得其中一个零点 0 x ，第二次应计算，以上横线应填的内 容依次为（） A0,0.5 ,0.25fB0,1 ,0.25f C0.5,1 ,0.75f D0,0.5 ,0.125f 12已知0m ，函数 2 ( )f xxxm，实数 12 ,x x满足 12 0,0 xx，若 12 0,0f xfx，则（） A 12 xxmB 12 xxm C 12 xxmD 12 x
5、x与m的大小关系不能确定 二、填空题二、填空题 13函数( )6f xxx的零点个数是_ 14函数 1 ( )lg 1 f xxm x 在区间0,9上有零点，则实数 m 的取值范围为 _. 15网上购鞋常常看到下面的表格： 脚长（单位 mm） 220225230235240245250255260265 鞋号34353637383940414243 依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算 30 号童鞋对应的脚长是_mm. 16若函数 fx满足以下三个条件： fx的定义域是R，且其图象是一条连续不 断的曲线； fx是偶函数； fx恰有 3 个零点.请写出一个满足上述条件的函数 f x _. 三、解答
6、题三、解答题 17某人向天上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为 2 205xx米 （1）几秒后，小石子离地面的高度为15米？ （2）几秒后，小石子落到地面？ 18已知函数 2 2fxaxxa，其中0a . （1）若函数 fx在区间1,3上单调，求实数a的取值范围； （2）若方程 0f x 在区间,3上有两个不等的实根，求实数a的取值范围. 19已知 fx是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 2 f xaxbxc，且 2612ff . （1）若当0,x时， min16f x 求实数a，b，c的值； （2）在（1）条件下，若关于x的方程 00f xmx有两个不同的实数根，求 实数m的取值范围. 2
7、0已知函数( )()(23)6f xxax （）若1a ，求 ( )f x在 3,0 上的最大值和最小值； （）若关于x的方程( )140f x 在(0,)上有两个不相等实根，求实数a的取值 范围 21已知函数 2 0f xaxbxc a，满足 02f， 121f xf xx （1）求函数 fx的解析式； （2）当12x ，时，求函数的最大值和最小值. （3） 若函数 g xf xmx的两个零点分别在区间12 ，和2 4，内， 求m的取值 范围. 22已知函数 2 ( )=42f xaxx，函数 ( ) 1 ( ) 3 f x g x （1）若函数 ( )f x在 ,2和2,上单调性相反，求
8、( )f x的解析式； （2）若0a ，不等式( )9g x 在 1 0, 2 x 上恒成立，求a的取值范围； （3）已知1a ，若函数 2 ( )log 8 x yf x在1,2内有且只有一个零点，试确定实数a 的取值范围 参考答案参考答案 1B 【分析】 令 0f x ，由此求得 fx的零点. 【详解】 令 10f xx ，解得1x ，所以 fx的零点为1. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题. 2C 【分析】 因为 2 4f xxbx为二次函数，只需0 即可满足条件，求解可得结果. 【详解】 2 4f xxbx的零点个数为1， 2 160b ，解得：4b . 故
9、选：C. 【点睛】 本题考查二次函数零点个数问题，利用判别式是解题的关键，属于基础题. 3B 【分析】 根据零点的定义，结合一元二次方程根与系数关系、一元二次方程的解法进行求解即可. 【详解】 因为 f（x）x2axb 有两个零点 2 和 3， 所以 2 和 3 是方程 x2axb=0 的两个根， 235,2 36ab，所以 2 ( )651g xxx， 令 2 ( )65101g xxxx 或 1 6 x . 故选：B 【点睛】 本题考查了已知函数零点求参数，考查了求函数的零点，属于基础题. 4C 【分析】 由题意可得 10 4 1210 k k ，从而可求出实数k的取值范围. 【详解】 解
10、：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得 10 4 1210 k k ，解得 4 3 k ，且1k . 故选:C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易 错点是忽略了1k 这一条件. 5C 【分析】 观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可. 【详解】 由题表知，当自变量增加 1 个单位时，函数值依次增加 0.55，0.40，0.16，0.14，0.20， 因此 A、B 不符合题意，当 x 取 1，4 时， 2 2yx的值分别为1,14，与表中数据相 差较大. 故选：C 【点睛】 本题考查函数模型的选取
11、，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题. 6D 【分析】 根据题意， 0 x是( ) x yf xe的一个零点，则有 0 0 () x f xe，结合函数的奇偶性依次分析 选项，验证 0 x是不是其零点，即可得答案. 【详解】 解：根据题意， 0 x是( ) x yf xe的一个零点，则有 0 0 () x f xe， 依次分析选项： 对于 A、()1 x yfxe，将 0 xx 代入可得： 000 0 ()110 xxx yf xeee， 不符合题意； 对于 B、( )1 x yf xe，将 0 xx 代入可得： 000 0 ()110 xxx yfxeee ， 不符合题意； 对于
12、 C、( )1 x yf xe，将 0 xx 代入可得： 000 0 ()110 xxx yfxeee ， 不符合题意； 对于 D、( )1 x yf xe，将 0 xx 代入可得： 000 0 ()110 xxx yfxeee ， 即 0 x一定是其零点，符合题意； 故选：D. 【点睛】 本题考查函数的零点的定义，涉及函数奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性性质. 7C 【分析】 构造函数 2 6 logf xx x ，结合 fx的单调性和零点存在性定理，求得 0 x所在区间. 【详解】 构造函数 2 6 logf xx x ， fx的定义域为0,， fx在定义域上是单调递减函 数，且
13、31 23 120,420 22 ff ，由零点存在性定理可知， fx唯一 零点在区间2,4，也即方程 2 6 log x x 的解 0 x属于区间2,4. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题. 8C 【分析】 设月产量的平均增长率x，求出去年 12 月份的产量与 1 月的产量关系，建立关于x等量关 系，即可求出结论. 【详解】 设去年 1 月份产量的为a，去年 12 月份的产量为ma， 设月产量的平均增长率 11 , (1)x axma， 11 1xm . 故选:C. 【点睛】 本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率的函数模型，属于基础题. 9C
14、【分析】 由函数 fx的图象是连续不断的，且(3) (4)0ff，结合零点定理即可得解. 【详解】 解：由函数 fx的图象是连续不断的，且(3) (4)1 20ff ， 由零点定理可得函数 fx的零点所在的区间是3,4， 故选：C. 【点睛】 本题考查了零点定理，属基础题. 10B 【分析】 设( , )P x y，根据平行线的性质，可得 yx、 之间的关系42yx，可得 POMN Sx y， 代入可得四边形PMON的面积的最大值. 【详解】 解：如图： 设( , )P x y，根据平行线的性质，可得: 4 24 xy ,整理可得：42yx， 故： 22 (42 )242(1)2 POMN S
15、x yxxxxx ， 当1x ，可得 POMN S的最大值为：2, 故选：B. 【点睛】 本题主要考查二次函数在几何中的应用，注意建立合适的函数模型并运算准确. 11A 【分析】 首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间， 然后用二分法的思想将区间逐次减半 即可 获得问题解答 【详解】 由题意可知：对函数 3 ( )21f xxx，(0)0f，(0.5)0f，且函数在区间(0,0.5) 上连续，可得其中一个零点 0 (0,0.5)x ，使得 0 ()0f x， 根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算(0.25)f， 所以答案为：(0,0.5)，(0.25)f 故选：A 【点睛】 本题考查的是
16、二分法研究函数零点的问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思 想、二分法的思想以及数据处理的能力值得同学们体会和反思 12C 【分析】 根据题目条件可得： 11222 2 1 0,0f xxfmxxxmx， 1212 1,xxxxm进一步直接化简 12 xx，从而得到答案 【详解】 由题易知： 11222 2 1 0,0f xxfmxxxmx，且 12 ,xx满足根与方 程的关系 1212 1,xxxxm 1212 12xxxx，所以 1 4 m ， 则 2 2 2 2 2 11 2 121211111 111 22 11 xx mm xxxxxxxxxm xxx 又因为 1 4 m ，所
17、以 1 4 m ，所以 13 11 44 m 所以 12 31 1 44 xxmm . 故选：C. 【点睛】 在解题中要注意等式的变换， 要适当的利用基本不等式和根与方程的关系，解题的时候要注 意条件与结论的统一. 131 【分析】 首先求出函数 ( )f x的定义域为 |0 x x ，将原问题转化为 2 60 xx，解方程， 即可得出 ( )f x的零点个数 【详解】 由题意可知 ( )f x的定义域为 |0 x x ，令( )60f xxx， 可得 2 60 xx， 解得2x （舍去）或3x ， 9x ； 所以函数( )6f xxx的零点个数为1个 故答案为：1 【点睛】 本题把二次函数与
18、二次方程有机的结合来， 由方程的根与函数零点的关系可知， 求方程的根， 就是确定函数的零点 1410,0 【分析】 根据零点存在原理直接求解即可. 【详解】 因为函数 1 ( )lg 1 f xxm x 在区间0,9上有零点，所以有： (0)(9)0(10)0100ffmmm . 故答案为：10,0 【点睛】 本题考查了零点存在原理，考查了解一元二次不等式的能力，考查了数学运算能力. 15200 【分析】 先根据已知求出函数的解析式，把30 x 代入求出即得解 【详解】 由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，设,ykxb 所以 220=34 ,5,50 22535 kb kb kb 所以函数的
19、解析式为550yx， 30 x 时，200ymm， 故答案为：200 【点睛】 本题主要考查一次函数模型的应用， 求出解析式是解题的关键， 意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平，属于基础题 16 2 1xx（答案不唯一）. 【分析】 结合题目要求，写出满足题意的函数即可得解. 【详解】 若 2 1f xxx，则该函数的定义域是R，且图象连续， 由 2 2 11fxxxxxf x ， fx为偶函数， 且 fx有 3 个零点0,1, 1，所以函数 2 1f xxx满足题意. 故答案为： 2 1xx（答案不唯一）. 17 （1）1秒或3秒； （2）4秒. 【分析】 记x秒后小石子离地面的高度为h，
20、则 2 205hxx ； （1）令15h ，得到对应方程求解，即可得出结果； （2）令0h ，得到对应方程求解，即可得出结果. 【详解】 记x秒后小石子离地面的高度为h，则 2 205hxx ； （1）令15h ，则 2 10525xx ，解得1x 或3x ， 则1秒或3秒后，小石子离地面的高度为15米； （2）令0h ，则 2 2050 xx ，解得0 x （舍）或4x ， 则4秒后，小石子落到地面. 【点睛】 本题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题型. 18 （1） 1 0 6 a或 1 2 a ； （2） 3 7 a 【分析】 （1）由题意得，对称轴不在区间1,3； （2）利用根的分
21、布可得不等式组，解不等式组即可得答案； 【详解】 （1）0a ，函数图象开口向上， 对称轴 1 1 2a 或 1 3 2a ， 解得： 1 0 6 a或 1 2 a ； （2）由根的分布得： 2 1 80, 13 3, 27 (3)0, a a a f . 【点睛】 根据二次函数的图象与性质，只有当对称轴不穿过区间时，函数才有可能单调. 19 （1）1a ，8b ，0c =； （2）0,16. 【分析】 （1）由已知代入立方程组可解得； （2）方程有解转化为二次函数与直线有两个不同交点，画图可知. 【详解】 （1）据题设分析知，0a . 又当0 x 时， 2612ff ， min16f x ，
22、 所以 2 22 2 2212 2266 4 16 4 abc abcabc acb a ， 所以1a ，8b ，0c =. （2）据（1）求解知，当0 x 时 2 8f xxx. 令0 x ，则0 x ，所以 2 2 88fxxxxx . 又据 fx为定义在R上的奇函数，所以 2 80f xxx x， 所以 2 80f xxx x . 又 00ff ，所以 00f. 又因为关于x的方程 00f xmx有两个不同实数根， 所以据函数 fx的图象分析知，016m， 即所求实数m的取值范围是0,16. 【点睛】 待定系数法是确定函数表达式的基本方法，选择适当的设法可以简化过程. 20 （）最大值
23、0，最小值 49 8 ； （） 58 23 a. 【分析】 （）根据1a ，得到 2 549 ( )(1)(23)62() 48 f xxxx，由二次函数性质， 即可得出结果； （）由题意得到方程 2 2(32 )380 xa xa有两个不相等正根，得到 2 (32 )8( 38)0 32 0 2 38 0 2 aa a a ，求解，即可得出结果. 【详解】 （）若1a ，则 22 549 ( )(1)(23)62532() 48 f xxxxxx， 因为二次函数 ( )f x开口向上，对称轴为： 5 4 x ；又 3,0 x ， 所以函数 ( )f x在 5 3, 4 上单调递减，在 5 ,
24、0 4 上单调递增； 因此 min 549 ( )() 48 f xf ；又( 3)0f ，(0)3f ， 所以 max ( )( 3)0f xf； （）由关于x的方程( )140f x 在(0,)上有两个不相等实根，可得方程 2 2(32 )380 xa xa有两个不相等正根， 则 2 (32 )8( 38)0 32 0 2 38 0 2 aa a a ，解得 58 23 a 【点睛】 本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题， 熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 21 （1） 2 22f xxx； （2） max ( )( 1)5f xf， min
25、 ( )(1)1f xf； （3） 5 1, 2 【分析】 （1）由 02f得2c ，由待定系数法得a、b的值； （2）利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值； （3） 2 22g xxm x，由题意可得 10 20 40 g g g ，求解即可. 【详解】 （1）由 02f得2c ， 又 121f xf xx，得 2 2 112221a xb xaxbxx 即221axabx，所以22a ，1ab ，解得：1a ，2b ， 所以 2 22f xxx， （2） 2 22f xxx对称轴1x ， 所以 12121f ， 2 121125f ， 2 22 222f 2， 所以 min ( )(
26、1)1f xf， max ( )( 1)5f xf， （3） 2 22g xxm x，若( )g x有 2 个零点分别在区间12 ，和2 4，内， 则 10 20 40 g g g ，即 50 220 1040 m m m ，解得： 5 1 2 m 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析，考查二次函数的最值，以及零点分布情况， 属于中档题. 22 （1） 2 42f xxx； （2）80a ； （3）1,1. 【分析】 （1）根据函数单调性，以及函数解析式，得到其对称轴为 4 2 2 x a ，求出1a ，即可 得出解析式； （2）根据题意，将不等式恒成立，转化为 22 4444x
27、 a xxx 在 1 0, 2 x 上恒成立，令 1 2t t x ，则转化为 2 44att 在2,t上恒成立，求出 2 max (44 )tt，即可得出 结果； （3）设 2 45r xaxx， 2 logs xx，1,2x，根据原函数有一个零点，得到两 个函数 r x与 s x的图象在区间 1,2内有唯一交点； 分别讨论 0a ，0a ，01a三 种情况，结合二次函数与对数函数的性质，即可求出结果. 【详解】 （1）因为函数 ( )f x在 ,2和2,上单调性相反, 所以函数 2 42f xaxx为二次函数， 且其对称轴为 4 2 2 x a ，解得1a ， 所求 2 42f xxx；
28、（2）依题意得 2 11 9 33 f x ， 即 2 422 11 33 axx 在 1 0, 2 x 上恒成立， 转化为 2 422axx 在 1 0, 2 x 上恒成立， 2 440axx 在 1 0, 2 x 上恒成立， 转化为 22 4444x a xxx 在 1 0, 2 x 上恒成立， 令 1 2t t x ，则转化为 2 44att 在2,t上恒成立， 即 2 max (44 )att，而 2 44ytt是开口向下，对称轴为 1 2 t 的二次函数， 因此其在2,t上单调递减，因此 2 max (48)1648tt ， 所以8a ， 因此a的取值范围是80a ； （3） 2 2
29、2 log45log 8 x yf xaxxx， 设 2 45r xaxx， 2 logs xx，1,2x， 则原命题等价于两个函数 r x与 s x的图象在区间 1,2内有唯一交点 当0a 时， 45r xx 在 1,2内为减函数， 2 logs xx，1,2x为增函数， 且 1110rs ， 2321rs ，函数在区间有唯一的交点； 当0a 时， r x图象开口向下，对称轴为 2 0 x a ， r x在 1,2内为减函数， 2 logs xx，1,2x为增函数， 且 1110 11 22431 rsa a rsa ， 10a . 当01a时， r x图象开口向上，对称轴为 2 2x a ， r x在 1,2内为减函数， 2 logs xx，1,2x为增函数， 则由 1110 11 22431 rsa a rsa ， 01a . 综上，所求a的取值范围为 1,1 . 【点睛】 本题主要考查求二次函数的解析式， 考查二次不等式恒成立的问题， 考查由函数零点个数求 参数的问题，属于常考题型.
