1、第第7课时课时概率概率知知 识识 网网 络络要要 点点 梳梳 理理专题归纳专题归纳核心突破核心突破1.什么是随机现象什么是随机现象?其特点是什么其特点是什么?提示提示:在自然界和人类社会中在自然界和人类社会中,普遍存在着两种现象普遍存在着两种现象,一类是在一类是在一定条件下必然出现的现象一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象称为确定性现象.另一类则是在一定条件下另一类则是在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结进行试验或观察会出现不同的结果果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象称为随机现象.随机现象有两个特点随机现
2、象有两个特点:(1)结果至少有结果至少有2种种;(2)事事先并不知道会出现哪一种结果先并不知道会出现哪一种结果.2.什么是样本空间什么是样本空间?什么是样本点什么是样本点?什么是有限样本空间什么是有限样本空间?提示提示:一般地一般地,将试验将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间的样本空间,记作记作.样本空间样本空间的元素的元素,即试验即试验E的每种可能的每种可能结果结果,称为试验称为试验E的样本点的样本点,记作记作.如果样本空间如果样本空间的样本点的样本点的个数是有限的的个数是有限的,那么称样本空间那么称样本空间为有限样本空间为有限样本空间.3.什
3、么是随机事件什么是随机事件,必然事件必然事件,不可能事件不可能事件?提示提示:一般地一般地,把试验把试验E的样本空间的样本空间的子集称为的子集称为E的随机事件的随机事件,简称事件简称事件,常用常用A,B,C等表示等表示.样本空间样本空间是其自身的子集是其自身的子集,因因此此也是一个事件也是一个事件;又因为它包含所有的样本点又因为它包含所有的样本点,每次试验无每次试验无论哪个样本点论哪个样本点出现出现,都必然发生都必然发生,因此称因此称为必然事件为必然事件.空空集集 也是也是的一个子集的一个子集,可以看作一个事件可以看作一个事件;由于它不包含任由于它不包含任何样本点何样本点,它在每次试验中都不会
4、发生它在每次试验中都不会发生,故称故称 为不可能事件为不可能事件.4.随机事件的运算有哪些随机事件的运算有哪些?提示提示:(1)交事件交事件(或积事件或积事件);(2)并事件并事件(或和事件或和事件);(3)事件的互斥与对立事件的互斥与对立.5.古典概型的概率公式是什么古典概型的概率公式是什么?提示提示:对古典概型来说对古典概型来说,如果样本空间如果样本空间包含的样本点总数为包含的样本点总数为n,随机事件随机事件A包含的样本点个数为包含的样本点个数为m,那么事件那么事件A发生的概率发生的概率为为6.什么是相互独立事件什么是相互独立事件,它具有怎样的性质它具有怎样的性质?提示提示:事件事件A(或
5、或B)是否发生对事件是否发生对事件B(或或A)发生的概率没有影发生的概率没有影响响,这样的两个事件叫作相互独立事件这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的等于这两个事件发生的概率的积概率的积,即即P(AB)=P(A)P(B).如果两个事件相互独立如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立这样的两个事件仍然相互独立.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错错误的画误的画“”.
6、(1)随机事件是样本空间随机事件是样本空间的子集的子集.()(2)若若AB=,则事件则事件A与事件与事件B互为对立事件互为对立事件.()(3)向一个圆面内随机地投射一个点向一个圆面内随机地投射一个点,观察点落在圆面内的不观察点落在圆面内的不同位置同位置,这个试验是古典概型这个试验是古典概型.()(4)事件事件A与与B互为对立事件互为对立事件,则则P(A)=1-P(B).()(5)如果事件发生当且仅当事件如果事件发生当且仅当事件A发生且事件发生且事件B发生发生,则称此事则称此事件为事件件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件,记作记作AB(或或A+B).()(6)在抛掷一枚质地均匀的骰子在抛掷一
7、枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数试验中观察掷出的点数试验中,“出出现现2点点”和和“出现出现5点点”是对立事件是对立事件.()(7)在大量重复试验中在大量重复试验中,概率可以看作是频率的稳定值概率可以看作是频率的稳定值.()专题一专题一样本空间与随机事件的样本点表示样本空间与随机事件的样本点表示【例【例1】口袋中有口袋中有2个白球和个白球和2个黑球个黑球,这这4个球除颜色外完全个球除颜色外完全相同相同,甲、乙两人依次不放回地从中摸出甲、乙两人依次不放回地从中摸出1个球个球.(1)写出试验的样本空间写出试验的样本空间;(2)用样本点表示下列事件用样本点表示下列事件:事件事件A表示表示“甲、乙两人
8、摸到的球颜色相同甲、乙两人摸到的球颜色相同”;事件事件B表示表示“甲摸到黑球甲摸到黑球”.解解:(1)将两个白球编号为将两个白球编号为1,2,两个黑球编号为两个黑球编号为3,4.用用(x,y)表示表示样本点样本点,其中其中x表示甲摸到的球表示甲摸到的球,y表示乙摸到的球表示乙摸到的球.则试验的样则试验的样本空间本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).(2)甲、乙两人摸到的球颜色相同甲、乙两人摸到的球颜色相同,即都摸到白球或都摸到黑即都摸到白球或都摸到黑球球.所以事件所以事件A=(1,
9、2),(2,1),(3,4),(4,3);甲摸到黑球甲摸到黑球,即即x=3或或4,所以事件所以事件B=(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).1.样本空间和随机事件用集合表示时样本空间和随机事件用集合表示时,简单的试验一般用列举简单的试验一般用列举法表示法表示,有时也用描述法有时也用描述法,复杂的试验有时用列表法或树形图复杂的试验有时用列表法或树形图表示表示.2.在表示样本空间时在表示样本空间时,注意试验的条件注意试验的条件,条件不同条件不同,样本空间就样本空间就不同不同.如本题是不放回取球如本题是不放回取球,所以样本点所以样本点(x,y)中的中的xy,甲、乙甲
10、、乙两人分别取球两人分别取球,则则(1,2)与与(2,1)表示两个不同的样本点表示两个不同的样本点.【变式训练【变式训练1】甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳假设两人都随机出拳,设事件设事件A表示表示“平局平局”,事件事件B表示表示“甲赢甲赢”.试用样本点表示事件试用样本点表示事件A,B.解解:用用(i,j)表示出拳的结果表示出拳的结果,其中其中i表示甲出的拳表示甲出的拳,j表示乙出的拳表示乙出的拳.因为当甲、乙出的拳相同时因为当甲、乙出的拳相同时,才是平局才是平局,所以事件所以事件A=(锤子锤子,锤锤子子),(剪刀剪刀,剪刀剪刀),(
11、布布,布布).因为锤子赢剪刀因为锤子赢剪刀,剪刀赢布剪刀赢布,布赢锤子布赢锤子,所以事件所以事件B=(锤子锤子,剪刀剪刀),(剪刀剪刀,布布),(布布,锤子锤子).专题二专题二对立事件与互斥事件的判断对立事件与互斥事件的判断【例【例2】一个射击手进行一次射击一个射击手进行一次射击.事件事件A表示表示“命中的环数大于命中的环数大于7环环”;事件事件B表示表示“命中环数为命中环数为10环环”;事件事件C表示表示“命中的环数小于命中的环数小于6环环”;事件事件D表示表示“命中的环数为命中的环数为6,7,8,9,10环环”.判断下列各对事件是否为互斥事件判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件是
12、否为对立事件,并说明并说明理由理由.(1)事件事件A与与B;(2)事件事件A与与C;(3)事件事件C与与D.解解:试验的样本空间试验的样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,A=8,9,10,B=10,C=0,1,2,3,4,5,D=6,7,8,9,10.(1)不是互斥事件不是互斥事件,理由理由:AB=10.(2)是互斥事件是互斥事件,但不是对立事件但不是对立事件.理由理由:AC=,但但AC=0,1,2,3,4,5,8,9,10.(3)是互斥事件是互斥事件,也是对立事件也是对立事件.理由理由:CD=,且且CD=.互斥事件与对立事件的判断方法互斥事件与对立事件的判断方法:(1)利
13、用基本概念利用基本概念:互斥事件不可能同时发生互斥事件不可能同时发生;对立事件首对立事件首先是互斥事件先是互斥事件,且必有一个发生且必有一个发生.(2)利用集合的观点利用集合的观点:设事件设事件A,B所包含的样本点组成的集合所包含的样本点组成的集合表示分别是表示分别是A,B.事件事件A与与B互斥互斥,即即AB=;事件事件A与与B对立对立,即即AB=,且且AB=(为样本空间为样本空间),也即也即A=B或或B=A.特别提醒特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可而互斥事件则可以是多个事件间的关系以是多个事件间的关系.【变式训练【变式训练2】从从1,2,3,
14、9这这9个数中任取两个数个数中任取两个数,其中其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中上述事件中,是对立事件的是是对立事件的是()A.B.C.D.解析解析:从从1,2,3,9这这9个数中任取两个数个数中任取两个数,按所取的数的奇偶按所取的数的奇偶性有性有3类可能结果类可能结果:一个奇数一个偶数一个奇数一个偶数,两个奇数两个奇数,两个偶数两个偶数,则则中不是互斥事件中
15、不是互斥事件;中至少有一个奇数与两个都是偶中至少有一个奇数与两个都是偶数不能同时发生数不能同时发生,且必有一个发生且必有一个发生,是对立事件是对立事件,故选故选C.答案答案:C专题三专题三古典概型古典概型【例【例3】某校夏令营有某校夏令营有3名男同学名男同学A,B,C和和3名女同学名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表其年级情况如下表:现从这现从这6名同学中随机选出名同学中随机选出2人参加知识竞赛人参加知识竞赛(每人被选到的每人被选到的可能性相等可能性相等).(1)用表中字母列举出所有可能的结果用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设设M为事件为事件“选出的选出的2人来自不同年级且恰有人来自不同
16、年级且恰有1名男同学和名男同学和1名女同学名女同学”,求事件求事件M发生的概率发生的概率.解解:(1)从从6名同学中随机选出名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结人参加知识竞赛的所有可能结果为果为(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z),共共15种可能的结果种可能的结果,且每且每个结果出现的可能性相等个结果出现的可能性相等,从而用古典概型来解决从而用古典概型来解决.(2)选出的选出的2人来自不同年级且恰有人来自不同年级且恰有1名男同学和名男同学和1名女
17、同学的名女同学的所有可能结果为所有可能结果为(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y),共共6种种.因此因此,事件事件M发生的概率发生的概率求解古典概型问题的一般思路求解古典概型问题的一般思路:(1)明确试验的条件及要观察的结果明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号用适当的符号(字母、数字母、数字、数组等字、数组等)表示试验的可能结果表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件计算
18、样本点总个数及事件A包含的样本点个数包含的样本点个数,求出事件求出事件A的概率的概率.【变式训练【变式训练3】一个盒子里装有三张卡片一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽随机有放回地抽取取3次次,每次抽取每次抽取1张张,将抽取的卡片上的数字依次记为将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求求“抽取的卡片上的数字满足抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率的概率;(2)求求“抽取的卡片上的数字抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同不完全相同”的概率的概率.解解:(1)由题意知由题意知(
19、a,b,c)所有的可能结果为所有的可能结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共有共有27种等可能的结果种等可能的结果.设设“抽取的卡片上的数字满足抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件为事件A,则事
20、件则事件A包含包含(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共共3种可能的结果种可能的结果,专题四专题四互斥事件的概率互斥事件的概率【例【例4】玻璃盒子中装有大小、质地相同的各色球玻璃盒子中装有大小、质地相同的各色球12个个,其其中中5红、红、4黑、黑、2白、白、1绿绿,从中任取从中任取1球球.设事件设事件A表示表示“取出取出1个个红球红球”,事件事件B表示表示“取出取出1个黑球个黑球”,事件事件C表示表示“取出取出1个白球个白球”,事件事件D表示表示“取出取出1个绿球个绿球”.求求:(1)P(A),P(B),P(C),P(D);(2)“取出取出1球为红球或黑球球为红球或黑球”的概率的概
21、率;(3)“取出取出1球为红球或黑球或白球球为红球或黑球或白球”的概率的概率.求复杂事件的概率通常有两种方法求复杂事件的概率通常有两种方法:(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件;(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要需要分类较多分类较多,而其对立面的分类较少时而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的可考虑利用对立事件的概率公式概率公式,即即“正难则反正难则反”.它常用来求它常用来求“至少至少”或或“至多至多”型事件的概率型事件的概率.【变式训练【变式训练4】某商场进行有奖销售
22、某商场进行有奖销售,购满购满100元商品得元商品得1张张奖券奖券,多购多得多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设每个开奖单位设特等奖特等奖1个个,一等奖一等奖10个个,二等奖二等奖50个个.设设1张奖券中特等奖、一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券中奖的概率张奖券中奖的概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.(3)设设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件为事件N,则事件则事件N与与“
23、1张奖券中特等奖或中一等奖张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件互为对立事件,专题五专题五事件的相互独立性事件的相互独立性【例【例5】小王某天乘火车从重庆到上海去办事小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设假设这三列火车是否正点到达之间互不影响这三列火车是否正点到达之间互不影响,求求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率这三列火车至少有一列正点到达的概率.与相互独立事件有关的概率问题的求解策略与相互
24、独立事件有关的概率问题的求解策略(1)明确事件中的明确事件中的“至少有一个发生至少有一个发生”“至多有一个发生至多有一个发生”“恰好恰好有一个发生有一个发生”“都发生都发生”“都不发生都不发生”“不都发生不都发生”等词语的意义等词语的意义.(2)一般地一般地,已知两个事件已知两个事件A,B,它们的概率分别为它们的概率分别为P(A),P(B),那那么么:A,B中至少有一个发生为事件中至少有一个发生为事件A+B.A,B都发生为事件都发生为事件AB.【变式训练【变式训练5】已知甲运动员的投篮命中率为已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员乙运动员的投篮命中率为的投篮命中率为0.8.(1)若甲、乙各
25、投篮一次若甲、乙各投篮一次,则都命中的概率是多少则都命中的概率是多少?(2)若甲每次投篮的结果相互独立若甲每次投篮的结果相互独立,则他投篮两次则他投篮两次,恰好投中一恰好投中一次的概率是多少次的概率是多少?解解:(1)记事件记事件A表示表示“甲投中甲投中”,B表示表示“乙投中乙投中”.因为因为A与与B相互独立相互独立,所以所以P(AB)=P(A)P(B)=0.70.8=0.56.即都命中的概率为即都命中的概率为0.56.考点一考点一互斥事件与对立事件的概率互斥事件与对立事件的概率1.(2018全国全国高考高考)若某群体中的成员只用现金支付的概率若某群体中的成员只用现金支付的概率为为0.45,既
26、用现金支付也用非现金支付的概率为既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现则不用现金支付的概率为金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析解析:设不用现金支付的概率为设不用现金支付的概率为P,则则P=1-0.45-0.15=0.4.答案答案:B2.(2019江苏高考江苏高考)从从3名男同学和名男同学和2名女同学中任选名女同学中任选2名同学名同学参加志愿者服务参加志愿者服务,则选出的则选出的2名同学中至少有名同学中至少有1名女同学的概名女同学的概率是率是.解析解析:已知男女同学共已知男女同学共5名名.从从5名学生中任选名学生中任选2名名,共有共有10种选法种选法.若
27、选出的若选出的2人中恰有人中恰有1名女生名女生,有有6种选法种选法.若选出的若选出的2人都是女生人都是女生,有有1种选法种选法.考点二考点二古典概型古典概型3.(2019全国全国高考高考)生物实验室有生物实验室有5只兔子只兔子,其中只有其中只有3只测量只测量过某项指标过某项指标.若从这若从这5只兔子中随机取出只兔子中随机取出3只只,则恰有则恰有2只测量过只测量过该指标的概率为该指标的概率为()解析解析:设测量过该指标的设测量过该指标的3只兔子为只兔子为a,b,c,剩余剩余2只为只为A,B,则从则从这这5只兔子中任取只兔子中任取3只的所有取法有只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,
28、b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)共共10种种,其中恰有其中恰有2只测量过该指标的取法有只测量过该指标的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共共6种种,所以恰有所以恰有2只测量过该指标的概只测量过该指标的概率为率为 ,故选故选B.答案答案:B4.(2019全国全国高考高考)两名男同学和两名女同学随机排成一列两名男同学和两名女同学随机排成一列,则两名女同学相邻的概率是则两名女同学相邻的概率是()解析解析:两名男同学和两名女同学排成一列两名男同学和两
29、名女同学排成一列,共有共有24种排法种排法.两名两名女同学相邻的排法有女同学相邻的排法有12种种,故两名女同学相邻的概率是故两名女同学相邻的概率是 .故故选选D.答案答案:D5.(2018全国全国 高考高考)从从2名男同学和名男同学和3名女同学中任选名女同学中任选2人参人参加社区服务加社区服务,则选中的则选中的2人都是女同学的概率为人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3解析解析:设设2名男同学为男名男同学为男1,男男2,3名女同学为女名女同学为女1,女女2,女女3,则则任选两人共有任选两人共有(男男1,女女1),(男男1,女女2),(男男1,女女3),(男男1,男男2
30、),(男男2,女女1),(男男2,女女2),(男男2,女女3),(女女1,女女2),(女女1,女女3),(女女2,女女3)10种种,其中其中选中两人都为女同学共有选中两人都为女同学共有(女女1,女女2),(女女1,女女3),(女女2,女女3)3种种,故故答案答案:D6.(2018全国全国高考高考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想是“每个大于每个大于2的的偶数可以表示为两个素数的和偶数可以表示为两个素数的和”,如如30=7+23.在不超过在不超过30的素的素数中数中,随机选取两个不同的
31、数随机选取两个不同的数,其和等于其和等于30的概率是的概率是()解析解析:不超过不超过30的素数有的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共共10个个.随随机选取两个不同的数机选取两个不同的数,样本空间共包含样本空间共包含9+8+2+1=45个样个样本点本点,其中和为其中和为30的情形有的情形有7+23,11+19,13+17共共3种种,故故答案答案:C 考点三考点三独立事件的概率独立事件的概率7.(2019全国全国高考高考)甲、乙两队进行篮球决赛甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜采取七场四胜制制(当一队赢得四场胜利时当一队赢得四场胜利时,该队获胜该队获胜,决赛结束决赛
32、结束).根据前期比根据前期比赛成绩赛成绩,甲队的主客场安排依次为甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主主主客客主客主”.设甲队设甲队主场取胜的概率为主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果且各场比赛结果相互独立相互独立,则甲队以则甲队以4 1获胜的概率是获胜的概率是.解析解析:前五场中有一场客场输时前五场中有一场客场输时,甲队以甲队以4 1获胜的概率是获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时前五场中有一场主场输时,甲队以甲队以4 1获胜的概率是获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述综上所述,甲队以甲队以
33、4 1获胜的概率是获胜的概率是0.108+0.072=0.18.答案答案:0.188.(2019全国全国高考高考)11分制乒乓球比赛分制乒乓球比赛,每赢一球得每赢一球得1分分.当某当某局打成局打成10 10平后平后,每球交换发球权每球交换发球权,先多得先多得2分的一方获胜分的一方获胜,该局比赛结束该局比赛结束.甲、乙两名同学进行单打比赛甲、乙两名同学进行单打比赛,假设甲发球时假设甲发球时甲得分的概率为甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果各球的结果相互独立相互独立.在某局双方在某局双方10 10平后平后,甲先发球甲先发球,两人又打了两人又打了X个个
34、球该局比赛结束球该局比赛结束.(1)求求P(X=2);(2)求事件求事件“X=4且甲获胜且甲获胜”的概率的概率.解解:(1)X=2就是就是10 10平后平后,两人又打了两个球该局比赛结束两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分或者均由乙得分.因此因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜且甲获胜,就是就是10 10平后平后,两人又打了两人又打了4个球该局比赛个球该局比赛结束结束,且这且这4个球的得分情况为个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得前两球是甲、乙各得1分分,后两后两球均为甲得分球均为甲得分.因
35、此所求概率为因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.考点四考点四频率估计概率与概率的意义频率估计概率与概率的意义9.(2019全国全国高考节选高考节选)某商场为提高服务质量某商场为提高服务质量,随机调查了随机调查了50名男顾客和名男顾客和50名女顾客名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价意或不满意的评价,得到下面列联表得到下面列联表:分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.10.(2019北京高考北京高考)改革开放以来改革开放以来,人们的支付方式发生了巨人们的支付方式发生
36、了巨大转变大转变.近年来近年来,移动支付已成为主要支付方式之一移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某为了解某校学生上个月校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况两种移动支付方式的使用情况,从全校所有从全校所有的的1 000名学生中随机抽取了名学生中随机抽取了100人人,发现样本中发现样本中A,B两种支付两种支付方式都不使用的有方式都不使用的有5人人,样本中仅使用样本中仅使用A和仅使用和仅使用B的学生的的学生的支付金额分布情况如下支付金额分布情况如下:(1)估计该校学生中上个月估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用从样本仅使用B的学生
37、中随机抽取的学生中随机抽取1人人,求该学生上个月支求该学生上个月支付金额大于付金额大于2 000元的概率元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样现从样本仅使用本仅使用B的学生中随机抽查的学生中随机抽查1人人,发现他本月的支付金额大发现他本月的支付金额大于于2 000元元.结合结合(2)的结果的结果,能否认为样本仅使用能否认为样本仅使用B的学生中本的学生中本月支付金额大于月支付金额大于2 000元的人数有变化元的人数有变化?说明理由说明理由.解解:(1)由题知由题知,样本中仅使用样本中仅使用A的学生有的学生有27+3=30(人人
38、),仅使用仅使用B的学生有的学生有24+1=25(人人),A,B两种支付方式都不使用的学生有两种支付方式都不使用的学生有5人人.故样本中故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人人.估计该校学生中上个月估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为两种支付方式都使用的人数为(2)记事件记事件C为为“从样本仅使用从样本仅使用B的学生中随机抽取的学生中随机抽取1人人,该学生该学生上个月的支付金额大于上个月的支付金额大于2 000元元”,(3)记事件记事件E为为“从样本仅使用从样本仅使用B的学生中随机抽查的学生中随机抽查1人人,该学生该学生
39、本月的支付金额大于本月的支付金额大于2 000元元”.假设样本仅使用假设样本仅使用B的学生中的学生中,本月支付金额大于本月支付金额大于2 000 元的人元的人数没有变化数没有变化,则由则由(2)知知,P(E)=0.04.答案示例答案示例1:可以认为有变化可以认为有变化.理由如下理由如下:P(E)比较小比较小,概率比较小的事件一般不容易发生概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生一旦发生,就就有理由认为本月支付金额大于有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化元的人数发生了变化.所以可以认为有变化所以可以认为有变化.答案示例答案示例2:无法确定有没有变化无法确定有没有变化.理由如下理
40、由如下:事件事件E是随机事件是随机事件,P(E)比较小比较小,一般不容易发生一般不容易发生,但还是有可但还是有可能发生的能发生的.所以无法确定有没有变化所以无法确定有没有变化.考点五考点五概率与统计的综合问题概率与统计的综合问题11.(2019天津高考天津高考)2019年年,我国施行个人所得税专项附加扣我国施行个人所得税专项附加扣除办法除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、某单位老、中、青员工分别有中、青员工分别有72,108,120人人,现
41、采用分层随机抽样的方法现采用分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的抽取的25人中人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有享受至少两项专项附加扣除的员工有6人人,分别记为分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表享受情况如下表,其中其中“”表示享受表示享受,“”表示不享受表示不享受.现从这现从这6人中随机抽取人中随机抽取2人接受采访人接受采访.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设设
42、M为事件为事件“抽取的抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相人享受的专项附加扣除至少有一项相同同”,求事件求事件M发生的概率发生的概率.解解:(1)由题意知由题意知,老、中、青员工人数之比为老、中、青员工人数之比为6 9 10,由于采由于采用分层随机抽样的方法从中抽取用分层随机抽样的方法从中抽取25名员工名员工,因此应从老、中、因此应从老、中、青员工中分别抽取青员工中分别抽取6人人,9人人,10人人.(2)从已知的从已知的6人中随机抽取人中随机抽取2人的所有可能结果为人的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),
43、(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共共15种种.由表格知由表格知,符合题意的所有可能结果为符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共共11种种.所以所以,事件事件M发生的发生的概率概率12.(2018天津高考天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从现采用分层随机抽样的方法从中抽取中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动名同学去某敬
44、老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人人?(2)设抽出的设抽出的7名同学分别用名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示表示,现从中随机现从中随机抽取抽取2名同学承担敬老院的卫生工作名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设设M为事件为事件“抽取的抽取的2名同学来自同一年级名同学来自同一年级”,求事件求事件M发生发生的概率的概率.解解:(1)已知甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为已知甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3 2 2,由于采用
45、分层随机抽样的方法从中抽取由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学名同学,因因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人人,2人人,2人人.(2)从抽出的从抽出的7名同学中随机抽取名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果名同学的所有可能结果为为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共共21种种.由由(1),不妨设抽出的不妨设抽出的7名同学中名同学中,来自甲年级的是来自甲年级的是A,B,C,来自来自乙年级的是乙年级的是D,E,来自丙年级的是来自丙年级的是F,G,则从抽出的则从抽出的7名同学中名同学中随机抽取的随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为名同学来自同一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共共5种种.所以所以,事件事件M发生的概率发生的概率
