1、北师北师大新版数学必修第一册第大新版数学必修第一册第八章数学建模活动（一）综合测试题八章数学建模活动（一）综合测试题 一、单选题一、单选题 1当强度为 x 的声音对应的等级为 ( )f x分贝时，有 0 ( )10lg x f x A （其中 0 A为常数） . 装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强 度与普通室内谈话的声音强度的比值为（） A 5 3 B 5 3 10 C 4 10 D 4 e 2某市家庭煤气的使用量 3 (m )x和煤气费( )f x(元)满足关系( )f x ,(0) (),() CxA CB xAxA 已知某家庭 2019 年前
2、三个月的煤气费如下表： 月份用气量煤气费 一月份4 3 m 4 元 二月份25 3 m 14 元 三月份35 3 m 19 元 若四月份该家庭使用了 20 3 m的煤气，则其煤气费为（ ） A11.5 元B11 元 C10.5 元D10 元 3某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x1.992.845.18 y0.991.582.012.353.00 现有如下 4 个模拟函数： y=0.6x-0.2；y=x2-55x+8；y=log2x；y=2x-3.02 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（） ABCD 4下表显示出函数值y随自变量x变化的
3、一组数据，由此可判断它最可能的函数模型 为（） A一次函数模型B二次函数模型 C对数函数模型D指数函数模型 5甲、乙二人从 A 地沿同一方向去 B 地，途中都使用两种不同的速度 v1与 v2(v1 v2)，甲前一半的路程使用速度 v1，后一半的路程使用速度 v2；乙前一半的时间使用 速度 v1，后一半的时间使用速度 v2，关于甲、乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间 的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间，纵轴 s 表示路程，C 是 AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为 AB CD 6某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月
4、考和期 末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每 次都比上次提高了 10，但数学成绩每次都比上次降低了 10，期末时这两科分值恰 好均为 m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（） A提高了B降低了 C不提不降（相同）D是否提高与 m 值有关系 7向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h随时间t变化的大致图像是 （） AB C D 8 下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据， 判断它最可能的函数模型是 （） A一次函数模型B二次函数模型 C指数函数模型D对数函数模型 9 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化 根据对农贸市场蔬菜价格的调查得
5、知， 购买2 千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千 克乙种蔬菜所需费用之和小于22元 设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元， 购买3千 克乙种蔬菜所需费用为B元，则（） AAB BAB CAB DA，B大小不确定 10某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式为 2 0.3 210 x y （010 x， * Nx ） ，若每台产品的售价为6万元，则当产量为8台时，生产者可 获得的利润为（） A18.8万元B19.8万元 C20.8万元D29.2万元 11有一组数据，如表所示： x 12345 y 356.999.0111 下列函数模型中，最接
6、近地表示这组数据满足的规律的一个是（） A指数函数B反比例函数C一次函数D二次函数 12图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规 律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（） A捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期 B由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少 C捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图 1 乙描述 D捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少 二、填空题二、填空题 13 算法统宗中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十 八， 试问能算者， 合与多少肉”， 意思是一个哑子来买肉， 说不出钱的数目
7、， 买一斤 （ 两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 _文 14李老师每天开车上班，10 月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表 记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米) 2018 年 10 月 1 日1235000 2018 年 10 月 30 日4835600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米均 耗油量为_升. 15如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲 城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系， 有人根据函数图像提出关于
8、这两个旅行者的如下信息： （1） 骑自行车比骑摩托车者早出 发3h，晚到1h； （2）骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； （3）骑摩托 车者在出发1.5h后追上了骑自行车者，其中正确信息的序号_ 16根据市场调查，某种商品在最近的 40 天内的价格 f t与时间t满足关系 1 11,020, 2 41,2040 tt f t tt tN，销售量 g t与时间t满足关系 143 33 g tt 040,ttN 则这种商品的日销售额 （销售量与价格之积） 的最 大值为_. 三、解答题三、解答题 17某企业生产某产品，年产量为x万件，收入函数和成本函数分别为 2 ( )590R xxx （
9、万元） ，( )30C xx（万元） ，若税收函数( )T xtx（万元） ， （其 中常数%t为税率）. （1）设20t ，当年产量x为何值时，该产品年利润y（纳税后）有最大值，并求出 最大值； （2）若该企业目前年产量为 2 万件，通过技术革新等，年产量能够有所增加，为使在 增加产量的同时，该企业年利润也不断增加，求政府对该产品征税时t的取值范围. 18湖北省第二届（荆州）园林博览会于 2019 年 9 月 28 日至 11 月 28 日在荆州园博园 举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之 韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次
10、博览会期间，某 公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备 年固定研发成本为 50 万元，每生产一台 需另投入 80 元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台 的销售收入 G x（万元）与年产量x（万台）满足如下关系 式： 1802 ,020 20009000 70,20 1 xx G x x xx x . （1）写出年利润 W x（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式； （利润=销售收 入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 19养鱼场中鱼群的最大养殖量为 tm，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到
11、 最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量 ty和实际养殖量 tx与空 闲率的乘积成正比，比例系数为0k k 注： 养鱼场中鱼群的最大养殖量实际养殖量 空闲率 养鱼场中鱼群的最大养殖量 （1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值； （3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围 20如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中 4AE 米， 6CD 米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形 块BNPM，使点P在边DE上. （1）设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围
12、； （2）求矩形BNPM面积的最大值. 21 “菊花”型烟花是最壮观的烟花之一， 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 通 过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）存在 函数关系，并得到相关数据如表： 时间t1 3 2 3 高度h1923.519 （1） 根据表中数据， 从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与 时间t的变化关系： 1 yktb， 2 2 yatbtc， 3 t yab，确定此函数解析式并简 单说明理由； （2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度 22用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清
13、洗一次的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 1 2 ， 用水越多洗掉的农药量也越多，但总还 有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后， 蔬菜上残留的农药量与本次清洗 前残留的农药量之比为函数 2 1 1 fx x . （1）求 0f的值，并解释其实际意义； （2）现有0a a 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次， 试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由. 参考答案参考答案 1C 【分析】 设装修电钻的声音强度为 1 x， 普通室内谈话的声音强度为 2 x， 由装修电钻的声音约为100分 贝，普通室内谈话的声音约为60
14、分贝，列出方程组解出 1 x， 2 x，可得出 1 2 x x 的值，得到答 案. 【详解】 设装修电钻的声音强度为 1 x，普通室内谈话的声音强度为 2 x， 由题意， 1 1 10 0 10 6 220 2 0 10010lg 10 10 6010lg x f x AxA xxA f x A ， 所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为 10 4 01 6 20 10 10 10 Ax xA . 故选：C 【点睛】 本题考查函数的实际应用问题，考查对数的性质、运算法则等基础知识，属于基础题. 2A 【分析】 由表知一月份用气量 4 3 m，煤气费 4 元，结合分段函数解析式可得
15、=4C ，结合二三月份用 气量及煤气费代入分段函数()CB xA中求出,B A,即可得答案. 【详解】 根据一月份用气量 4 3 m，煤气费 4 元,可知 (4)=4fC， (25)(25)14 (35)(35)19 fCBA fCBA 解得 1 =5= 2 AB，所以 4,(05) ( ) 1 4(5),(5) 2 x f x xx 所 以 ( ) 1 204+(205).5=11 2 f-= 故选 A. 【点睛】 本题考查利用表中数据求分段函数解析式及函数值，属于基础题. 3C 【分析】 根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象， 这个函数便可反应这些
16、数据的规律 【详解】 解：根据表中数据，画出图象如下： 通过图象可看出，y=log2x 能比较近似的反应这些数据的规律 故选：C 【点睛】 本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二 次函数的图象 4D 【分析】 由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型；取点（0，1） ， （1，4） ， （2，16） ，设出 函数解析式，代入其他对应值验证即可得到结论. 【详解】 由变量可取负数，故函数模型暂排除对数函数模型； 取点（0，1） ， （1，4） ， （2，16） ，设一次函数 y=kx+b（k0） ，则 1 4 b kb ， 解得 b=1，k=3，即
17、y=3x+1，而当 x=2 时，y=7，所以不是一次函数模型； 设二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，则 1 4 4216 c abc abc 解得 1 9 2 3 2 c a b ， 即 2 93 1 22 yxx当 x=-1 时，y7，故不满足题意； 设指数函数 y=ax（a0，a1） ，则 2 4 16 a a ，a=4，解得指数函数 y=4x， 代入其他 x 值，验证：f（-1）=4-1=0.25 接近 0.26；f（0）=1 接近 1.11；f（1）=4 接近 3.96； f（3）=43=64 接近 63.98 由上面验证可知，故选 D. 【点睛】 选择函数模型的常用方法：绘出
18、数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它 们接近我们熟悉的哪一种函数图象； 设函数的一般表达式，将一些数据代入这个函数的一 般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数 基本反映了事物规律. 5A 【解析】 由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除 C，D，再根 据v1v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示 A 正 确 6B 【解析】 设期中考试数学和英语成绩为 a 和 b,则 22 1 10%1 10%abm, ,2.062 0.811.210.811.21 mmmm ababmm,
19、所以总成绩比期中降低了,故选 B. 7C 【分析】 因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢， 可知选 C. 【详解】 结合容器的形状， 可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时 间，接近上部时，水位高度变快，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题. 8A 【分析】 观察图表中函数值y随自变量x变化规律，得到：随着自变量每增加 1 个单位，函数值增加 2 个单位，函数值是均匀增加的，由此可以确定该函数模型是一次函数模型. 【详解】 根据已知数据可知，自变量每增加 1，函数值增加
20、 2， 因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型， 故选 A. 【点睛】 该题考查的是有关根据实际问题选择函数模型的问题， 在解题的过程中， 需要认真分析题中 所给的表格，分析所给的数据之间的关系，从而得到结果，属于简单题目. 9C 【解析】 设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元， 则 28 4522 xy xy ，2Ax，3By， 两式分别乘以22，8， 整理得12180 xy， 即230 xy， 所以AB 故选C 10A 【解析】 总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式为 2 0.3 210 x y （010 x， * Nx ） ，且产量为8台 总成本为 8 2 0.3 2102
21、9.2y 万元 每台产品的售价为6万元 当产量为8台时，生产者可获得的利润为6 829.24829.218.8 万元 故选 A 11C 【解析】 随着自变量每增加1函数值大约增加2， 函数值的增量几乎是均匀的， 故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律 故选C 12C 【解析】 分析：由题意可知：捕食者和被捕食者数量与时间以 10 年为周期呈周期性变化，故捕食者 和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案 详解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律 可得捕食者和被捕食者数量与时间以 10 年为周期呈周期性变化， 捕食者的数量在第 25 年和 30 年之间数量在急速减少，
22、正确； 由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少， 故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状， 捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图 1 乙描述，显然不正确； 故选 C 点睛：本题考查的知识点是函数的图象的识别，本题比较抽象，属于中档题 136 【分析】 设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案. 【详解】 设肉价是每两x文，由题意得1630818xx，解得6x ，即肉价是每两6文. 【点睛】 本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键. 148 【分析】 第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为 48 升，而
23、 这段时间内行驶的里程数 35600-35000=600 千米，通过计算即可得出答案 【详解】 因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 48 升， 而这段时间内行驶的里程数 35600-35000=600 千米，所以这段时间内，该车每 100 千米平均 耗油量为 48(600100)=8 升 答案为：8 【点睛】 本题考查根据题意从表格提取信息的能力， 是一道函数应用类题目， 从统计图中获取信息是 解题关键 15 （1） （2） （3） 【解析】 看时间轴可知骑自行者0h出发，看时间轴可知自行者 0h 出发，6h到达乙地，骑摩托者3h 出发，5h到达乙地，所以骑
24、自行者比骑摩托者早出发3h，晚到1h，故（1）正确； 骑摩托者行驶的路程与时间的函数图象是直线， 所以是匀速运动，而骑自行者行驶的路程与 时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故（2）正确； 两条曲线的交点的横坐标是4.5，即在4.5h时骑摩托车者追上可骑自行车者，故（3）正 确 综上所述，故正确信息的序号是： （1） （2） （3） 16176 【分析】 根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额 F t的最大值，即可求解，得到答 案. 【详解】 由题意，设日销售额为 F t， 当020t ，tN时， 2 11431211 441 11946 2336264 F tttt ，故当10t
25、 或 11 时，最 大值为 max176F t； 当2040t ，tN时， 214311 4142 3333 F tttt ， 故当20t 时，最大值为 max161F t， 综合知，当10t 或 11 时，日销售额最大，最大值为176. 故答案为176. 【点睛】 本题主要考查了函数的实际应用问题， 其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与 性质，分别求得函数的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 17 （1）4x 时， max=80 y（万元） （2）政府对该产品征税时t的取值范围是(0,40) 【分析】 （1）当20t 时，用总收入减去成本和税收，求得年利润
26、y的表达式，并利用配方法求得 最大值，以及此时对应x的值.（2）总收入减去成本和税收表示出年利润y，利用配方法求 得y的对称轴，结合二次函数的开口方向和单调性列不等式，解不等式求得t的取值范围. 【详解】 （1）20t 时， 22 ( )( )( )5405(4)80(0),4yR xC xT xxxxxx 时， max=80 y（万元） （2） 22 2 60 59030556 1010 tt yxxxtxx ，由题意得，当 60 2 10 t x 时，y是增函数040t ， 即政府对该产品征税时t的取值范围是(0,40) 【点睛】 本小题主要考查实际应用中利润最大值的计算问题， 考查二次函
27、数最值的求法，考查二次函 数单调性，属于中档题. 18 （1） W x 2 210050,020 9000 101950,20 1 xxx xx x （2）当年产量为 29 万台时，该公司获得 的利润最大为 1360 万元 【分析】 （1）先阅读题意，再建立起年利润 W x关于年产量x的函数解析式即可； （2）利用配方法求二次函数的最值可得当020 x时 2 2251200W xx ，即 max 201150W xW，再利用重要不等式可得当 900 1 1 x x 即29x 时 max1360W x，再比较两段上的最大值即可得解. 【详解】 解： （1） 8050W xxG xx 2 2100
28、50,020 9000 101950,20 1 xxx xx x . （2）当020 x时 2 2 2100502251200W xxxx ， max 201150W xW. 当20 x 时 900 1011960 1 W xx x 900 10 2119601360 1 x x ， 当且仅当 900 1 1 x x 即29x 时等号成立， max 291360W xW. 13601150， 当年产量为 29 万台时，该公司获得的利润最大为 1360 万元. 【点睛】 本题考查了分段函数及分段函数的最值， 主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解 决实际问题的能力，属中档题. 19 （1）
29、10 x ykxxm m （2） t 4 km .（3）0,2. 【分析】 （1）鱼群的年增长量 ty 和实际养殖量 tx与空闲率的乘积成正比，比例系数为0k k ， 根据空闲率的公式求出空闲率的表达式，即可得到y关于x的函数关系式； （2）结合（1） ，使用配方法，易分析出鱼群每年增长量的最大值； （3）由于0 xym，结合（2）的结论，解不等式，即可得到答案 【详解】 （1）由题意得，空闲率为 mx m ，由于鱼群的年增长量 ty和实际养殖量 tx与空闲率的乘 积成正比，比例系数为0k k ，所以10 mxx ykxkxxm mm . （2）由（1）得： 2 2 24 kkmkm yxkx
30、x mm . 当 2 m x 时， 4 km y 最大 ， 即鱼群年增长量的最大值为 t 4 km . （3）由题意可得，0 xym，即0 24 mkm m，22k .又0k ， 02k . k的取值范围是0,2. 【点睛】 本题解题的关键是理解题意， 将实际问题转化为常规的数学问题二次函数问题， 然后利用 二次函数的知识解决该实际问题，属于中档题 20 （1） 1 10 2 yx ，4,8x； （2）最大值为48平方米. 【分析】 （1）作PQAF于点Q，可得8PQy ，4EQx，且48x，在EDF中， 利用 EQEF PQFD ，即可求得答案. （2）设矩形BNPM的面积为S，得到 2 4
31、,8 1 1050, 2 xS xx ，利用二次函数 的性质，即可求解，得到答案. 【详解】 （1）如图所示，作PQAF于点Q，则8PQy ，484EQxx， 其中48x， 在EDF中， EQEF PQFD ，即 44 82 x y ， 所以 1 10 2 yx ，其中4,8x. （2）设矩形BNPM的面积为S， 则 21 101050,4, 2 8 2 x S xxyxxx ， 根据二次函数的性质，可得当4,8x时， S x单调递增， 所以当8x 米时，矩形BNPM的面积最大，最大值为48平方米. 故矩形BNPM面积的最大值为48平方米. 【点睛】 本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答
32、中认真审题，得到函数的解析式，结合二次 函数的图象与性质求解是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试 题. 21 （1） 2 ( )6241(0)h tttt ； （2）烟花冲出后2s是爆裂的最佳时刻，此时距地面 高度为 25 米. 【解析】 试题分析： （1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋 势，则在给定的三类函数中，只有 y2可能满足，设 h（t）=at2+bt+c，利用待定系数法将表 格所提供的三组数据代入，列方程组求出函数解析式； （2）由二次函数的图象与性质，求出即可 试题解析： （1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间
33、的变化呈先上升再下降的趋势，则在 给定的三类函数中，只有 2 y可能满足，故选取该函数 设 2 h tatbtc，有 19, 4793 , 242 1993, abc abc abc 解得 6, 24, 1, a b c 所以 2 62410h tttt （2） 2 6225h tt ，得烟花冲出后2s是爆裂的最佳时刻，此时距地面高度为 25 米 22 （1） 01f，没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量； （2）0 2 2a 时，清 洗一次残留的农药量更少； 2 2a 时，清洗一次或两次残留的农药量一样； 2 2a 时， 清洗两次残留的农药量更少. 【分析】 （1）(0)1f，表示没有用水
34、洗时，蔬菜上残留的农药量保持原样； （2）先设仅清洗一次，计算出残留在蔬菜中的农药量，再求分清洗两次后，农药的残留量， 比较二者的大小关系，即可得出结论. 【详解】 （1） 01f，其实际意义为没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量； （2） 2 1 0 1 f a a ， 22 14 24 1 2 a f a a ， 2 2 22 2 416 0 24 4 a f a a ， 2 2 2 2 4 161 2 a f a a a f ， 2 1 2 f a a f ，即 2 2a 时， 2 2 a ff a ， 此时清洗两次残留的农药量更少， 2 1 2 f a a f ，即 2 2a 时， 2 2 a ff a ， 此时清洗一次或两次残留的农药量一样， 2 1 2 f a a f ，即0 2 2a 时， 2 2 a f af ， 此时清洗一次残留的农药量更少， 综上，0 2 2a 时，清洗一次残留的农药量更少； 2 2a 时，清洗一次或两次残留的农药量一样； 2 2a 时，清洗两次残留的农药量更少. 【点睛】 本题考查函数模型的选择与应用， 理解函数解析式的意义及比较大小等知识， 意在考查数学 建模、数学计算能力，属于中档题.
