1、第2课时函数的最值 激趣诱思知识点拨 某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10 元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元, 日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那 么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均 毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗? 激趣诱思知识点拨 函数的最值 1.定义 f(x)M f(x)M 最高 最低 激趣诱思知识点拨 微思考 若函数y=f(x)是定义在区间a,b上的增(或减)函数,这个函数有最值 吗?如果是区间(a,b)呢? 提示:若y=f(x)是定义在区间a,b
2、上是增函数,则其最小值为f(a),最 大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b), 则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b)(或f(b),f(a). 激趣诱思知识点拨 2.函数的最大值和最小值统称为最值. 名师点析函数的最值和值域的联系与区别 1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整 个定义域. 2.区别: (1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素; (3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数 的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的
3、最值. 激趣诱思知识点拨 微练习 已知函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大 值分别是() A.f(-2),0B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 答案:C 解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用函数的图象求最值利用函数的图象求最值 例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并 写出值域. 分析去绝对值分段函数作图识图结论 由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为 (-,2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 探究一
4、探究二探究三素养形成当堂检测 (1)画出f(x)的图象; (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 解:(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用函数的单调性求最利用函数的单调性求最值值 (1)判断f(x)在区间1,2上的单调性; (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间1,2上的最值. 分析(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论; (2)借助最值与单调性的关系,写出最值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 x1x2,x1-x20.当1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),
5、即f(x)在区间1,2上单调递减. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为 f(1),f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间 a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(或单调递减),在区间(b,c上 单调递减(或单调递增),则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最 小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
6、 (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的线,则函数 f(x)在区间a,b上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定 有最大(小)值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求 f(x)在区间1,3上的最值. 解:任取x1,x21,3,且x1x2,由本例知, f(x)在区间1,2上单调递减; 当2x10,4x1x20, f(x1)400时,f(x)=60 000-100 x单调递减, f(x)60 000-10040025 000. 当x=300时,f(x)max=25 000.即每
7、月生产300台仪器时利润最大,最 大利润为25 000元. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值 典例求函数y=x2-2ax-1在区间0,2上的最值. 【审题视角】可变对称轴x=a与定区间0,2的 相对位置关系结合单调性与图象求解 解:y=(x-a)2-1-a2. 当a0时,函数在0,2上单调递增,如图. 故函数在x=0处取得最小值-1, 在x=2处取得最大值3-4a. 当0a1时,结合函数图象(如图)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1, 在x=2处取得最大值3-4a. 探究一探究二探究三素养形成
8、当堂检测 当12时,函数在区间0,2上单调递减,如图. 函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 综上,当a0时,函数在区间0,2上的最小值为-1,最大值为3-4a; 当0a1时,函数在区间0,2上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a; 当12时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数 图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区 间上最值问题的
9、主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位 置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给 区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下 讨论: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t),求 g(t)的表达式. 解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分 三种情况讨论: 当t+11,即t0时,如图所示,此时函数f(x)在t,t+1上单调递减, 所示,此时
10、,函数f(x)在t,1上单调递减,在(1,t+1上单调递增, g(t)=f(1)=1.当t1时,如图所示,此时,函数f(x)在t,t+1上单调 递增.g(t)=f(t)=t2-2t+2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.函数y=|x+1|+2的最小值是() A.0B.-1C.2D.3 答案:C 解析:y=|x+1|+2的图象如图所示. 由图可知函数的最小值为2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为() A.0,3 B.-1,0 C.-1,+)D.-1,3 答案:D 解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值 为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为-1,3,故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:11 解析:当x1,2时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x-4,1 时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个 正方形面积之和的最小值.
