1、2.2分层随机抽样 激趣诱思知识点拨 某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加 调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数分别为:很喜欢4 800人,喜欢3 600人,一般1 800人,不喜欢1 800人.电视台为进一步了 解观众的具体想法和意见,打算从这12 000人中抽取60人进行更为 详细的调查,应采取什么样的抽样方法呢? 激趣诱思知识点拨 一、分层随机抽样 1.定义 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后 在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体,这种抽样方法通 常叫作分层随机抽样. 2.特点 (1)分层随机抽样适用于已知总体是由差异明
2、显的几部分组成; (2)分成的各层互不重叠; (3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即 ,其中n 为样本容量,N为总体容量中的个体数. 激趣诱思知识点拨 名师点析关于分层随机抽样应注意的问题 (1)分层随机抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原 则是每层内样本的差异要小,不同层之间样本的差异要大,且互不 重叠. (2)每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中 所占的比例得到. (3)各层抽样可以按简单随机抽样进行. 激趣诱思知识点拨 微思考1 分层随机抽样中要将总体中层次分明的几部分分层按比例抽取,其 中“比例”一词如何理解? 微思考2 分层随机抽样有什么优
3、点? 提示:可从两个方面理解:一是所抽取样本中各层个体数之比与总 体中各层个体数之比相同;二是每层所抽个体数与该层个体总数之 比等于样本容量与总体容量之比. 提示:分层随机抽样时,每个个体被抽到的机会是均等的,而且样本 更有较好的代表性. 激趣诱思知识点拨 二、分层随机抽样的步骤 1.分层:根据已经掌握的信息,按某种标准将总体分成互不交叉的若 干部分. 2.求比:根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比K= . 3.定数:确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni-K(Ni是第i层所包含的 个体数),使得各层抽取的样本之和等于样本容量n. 4.抽样:按照第三步中确定的应在各层抽取的个体数,分别在各
4、层抽 取样本,然后合在一起就得到所需要抽取的容量为n的样本. 激趣诱思知识点拨 解:由于一级、二级、三级产品的数量之比为 243660=235,所以应分别从一级、二级、三级产品中抽 微练习 设有120件产品,其中一级品有24件,二级品有36件,三级品有60件, 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本,则在每一级产品 中应各抽取多少件? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分层随机抽样的概念分层随机抽样的概念 例1(1)下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是() A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90100分,12人 低于9
5、0分,现从中抽取12人了解有关情况 C.从某校1 000名高中一年级学生中,抽取100名调查上学途中所用 时间 D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量 (2)分层随机抽样将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个 个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样,必 须进行() A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比例等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案: (1) B(2)C 解析:(1)A中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽 样;C和D中总体个体无明显差异且个数较多,不适合用分层随机抽 样;B
6、中总体个体差异明显,适合用分层随机抽样. (2)保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样与分层随机抽样 的共同特征,为了保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按 同一抽样比等可能抽取. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟1.使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显 区别,而层内个体间差异较小. 2.使用分层随机抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互 不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则; (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行 简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于样
7、本容量与 总体中个体数的比. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是. 答案:分层随机抽样 解析:由于被抽取的个体属性有明显的差异,因此宜采用分层随机 抽样. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分层随机抽样的方案设计分层随机抽样的方案设计 例2一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的 有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体 状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职
8、工年龄与 这项指标有关,应该怎样抽取? 分析观察特征,确定抽样方法分层求比例,确定各层样本数从 各层中抽取样本 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层随机抽样. 步骤如下: (1)分层.按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职 工;50岁及50岁以上的职工. (3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟应用分层随机抽样的解题策略 1.在分层随机抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性是 相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比 等于样本容
9、量与总体的个体数之比,即niNi=nN. 2.分层后,可采用简单随机抽样取出各层中的个体,一定要注意按比 例抽取.当抽样比不是整数时,可在该层随机剔除部分个体. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2某工厂有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一 般干部70人,工人20人.上级部门为了了解他们对机构改革的意见, 要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体 实施操作. 解:因机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样方法较 合适. 从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中 抽取4人. 副处级以上干部与工人人数都较少,把他们分别按110编号
10、和120 编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人; 对一般干部70人进行00,01,69编号,然后用随机数法抽取14人.这 样便得到了一个容量为20的样本. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 抽样方法的综合应用抽样方法的综合应用 例3选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程. (1)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个; (2)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个; (3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个. 下面给出的是随机数表中的第8行到第12行 2 7 4 86 1 9 87 1 6 44 1 4 87 0 8 62 8 8 88 5
11、 1 91 6 2 0 7 4 7 70 1 1 11 6 3 02 4 0 42 9 7 97 9 9 19 6 8 35 1 2 5 5 3 7 97 0 7 62 6 9 42 9 2 74 3 9 95 5 1 98 1 0 68 5 0 1 9 2 6 44 6 0 72 0 2 13 9 2 07 7 6 63 8 1 73 2 5 61 6 4 0 5 8 5 87 7 6 63 1 7 00 5 0 02 5 9 30 5 4 55 3 7 07 8 1 4 分析应结合两种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样 方法解决问题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1
12、)总体容量较小,用抽签法. 将30个篮球编号,编号为00,01,29; 将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上,揉成小球,制成 号签; 把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌; 从袋子中逐个抽取3个号签,并记录上面的号码; 找出和所得号码对应的篮球即可得到样本. (2)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层随机抽样. 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这 些篮球便组成了我们要抽取的样本. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (3)总体容量较大,样本容量较小,宜用随机数法. 将300个篮球用随机方式编号,编号为001,002,300; 在随机数表中随机地确定一个数作为
13、开始,如第8行第29列的数 “9”开始.任选一个方向作为读数方向,比如向右读; 从数“9”开始向右读,每次读三位,凡不在001300中的数跳过去不 读,遇到已经读过的数也跳过去不读,依次得到10个号码,这就是所 要抽取的10个样本个体的号码. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟抽样方法的选取 1.若总体由差异明显的几个层次组成,则选用分层随机抽样; 2.若总体没有差异明显的层次,则考虑采用简单随机抽样.当总体中 个体数较小时宜用抽签法;当总体中个体数较大,样本容量较小时 宜用随机数法. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练3下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理? (1)从1
14、0台电冰箱中抽取3台进行质量检查; (2)某学校有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员 24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个 容量为20的样本. 解:(1)抽签法,总体中个体数较小,宜用抽签法.(2)分层随机抽样,由 于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,用分层随机抽样. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分层随机抽样的有关样本计算分层随机抽样的有关样本计算 典例 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类 及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为 20的样本进行食品安全检测,若采用分层随机抽样的方法抽取
15、样本, 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是() A.4B.5C.6D.7 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛解决分层随机抽样中的容量问题,关键是求出抽样比,即 样本中个体数与总体容量的比.由分层随机抽样的特点可知: ,这是求解分层随机抽样中有关容 量问题的依据. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.某班有60名学生,其中男生有40人,现将男、女学生用分层随机抽 样法抽取12人观看校演讲总决赛,则该班中被抽取观看校演讲总决 赛的女生人数为() A.8B.6C.4D.2 答案:C 解析:某班有60名学生,其中男生有40人,则女生20人,男女生人数之 比为21,抽取的12
16、人,女生人数为12 =4人.故选C. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.某次娱乐节目中有A,B,C三个方阵,其人数之比为334,现用分 层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,方阵A被抽出人数为12人, 则此样本容量n为() A.20B.25C.30 D.40 答案:D 解析:因为A,B,C三个方阵,其人数之比为334,现用分层随机抽 样方法抽出一个容量为n的样本,则A方阵抽取的人数占样本容量 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、 150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点 中抽取一个容量为100的
17、样本,记这项调查为(1);在丙地区中有20个 特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记 这项调查为(2).则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次 是、. 答案:分层随机抽样简单随机抽样 解析: 对应的总体明显分成互不交叉的四层,即甲,乙,丙,丁四个 地区,故用分层随机抽样. 对应的总体容量较少,故用简单随机抽样. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.(2020重庆高三月考)脱贫攻坚是一项历史性工程,精准脱贫是习 近平总书记给扶贫工作的一剂良方.重庆市贫困人口分布相对集中, 截至目前,渝东北地区贫困户占全市贫困户48%,渝东南地区贫困户 占全市贫困户32%,为
18、精准了解重庆市贫困户现状,“脱贫攻坚”课题 组拟深入到其中25户贫困户家中调研,若按地区采用分层随机抽样 的方法分配被调研的贫困户,课题组应到其他地区(除渝东南和渝 东北地区外)调研的贫困户的户数是. 答案:5 解析:渝东南和渝东北地区贫困户占全市的48%+32%=80%,故其他 地区贫困户占全市的20%.故课题组应到其他地区(除渝东南和渝东 北地区外)调研的贫困户的户数是2520%=5. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.某企业共有3 200名职工,其中青、中、老年职工的比例为 352.若从所有职工中抽取一个容量为400的样本,则采用哪种 抽样方法更合理?青、中、老年职工应分别抽取多少人? 解:因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成,所以采用分 层随机抽样的方法更合理. 因为青、中、老年职工的比例是352,所以应分别抽取:
