1、章末整合 专题一随机事件的概率 例1某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果 如下: (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少(结果精确 到0.01)? (2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少? (3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30 次一定都击不中靶心吗? 解:(1)由题意,击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,当 射击次数越来越大时,击中靶心的频率在0.9附近摆动,故概率约为 0.9. (2)击中靶心的次数大约为3000.9=270(次). (3)由概率的意义,可知
2、概率是个常数,不因试验次数的变化而变化. 后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击中靶心. 方法规律概率与频率的关系 随机事件的概率是指在相同的条件下,大量重复进行同一试验,随 机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的 频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作事件A的概率,记作P(A). 它反映的是这个事件发生的可能性的大小. 一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说),又有规律性(对 大量重复试验来说).其概率一般不好求,但可以用频率来估计. 变式训练1对一批U盘进行抽检,结果如下表: (1)计算表中次品的频率(结果精确到0.001); (2)从这批U盘中
3、任抽一个是次品的概率约是多少? (3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少 需进货多少个U盘? 解:(1)表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以 从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1- 0.02)2 000,因为x是正整数, 所以x2 041,即至少需进货2 041个U盘. 专题二互斥事件与对立事件的概率求法 例2甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中
4、,选择 题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多 少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2. 共有20个样本点. “甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况 有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个样本点; “甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况 有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个样本点; “甲、乙都抽到选择题”的情况 有
5、:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6个样本点; “甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2个样本点. 方法技巧互斥事件与对立事件的概率求法 互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事 件的概率公式是基本公式,必须学会正确运用.运用互斥事件的概 率加法公式时,首先要确定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分 别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种 方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,运用互斥事件 的概率加法公式P(AB)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事
6、件的 概率,然后 变式训练2某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响 第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时 被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少? (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少? 解:(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(kN),那么事件Ak彼此互 斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率 加法公式,得 P(A)=P(A1A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3 +0.35=0.95. (2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接
7、”是事件“打进的电话在 专题三古典概型 例3从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件, 每次取出后不放回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则 取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少? 解:(1)每次取一件,取出后不放回,则连续取两次的所有的样本点共 有6个,分别是(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2),其中小括号内左 边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品. 可以确定这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两
8、件产品 中恰有一件次品”,则A包含的样本点是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2). 因为A中的样本点的个数为4,所以 (2)有放回地连续取出两件,则所有的样本点共有9个,分别是 (a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b).由于每一件 产品被取到的机会均等,因此可以确定这些样本点的出现是等可能 的.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则B包含的样本点 是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2). 方法技巧古典概型的概率求法 古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率
9、模型的基础, 在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古 典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性. 列举样本点时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏. 变式训练3从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选 取一个数为b,则ba的概率是() 答案:D 解析:当b=1时,没有满足条件的a值;当b=2时,a=1;当b=3时,a可以 是1,可以是2,共3种情况.而从1,2,3,4,5中随机取一个数a,再从 1,2,3中随机取一个数b,共有35=15种不同取法,ba的 专题四相互独立事件同时发生的概率 例4计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只 记“合格
10、”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”, 并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次 否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得 合格证书的可能性最大? (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证 书的概率. 规律总结相互独立事件概率的求法 (1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是 否对立),正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件 B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B). (2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这 样可减少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化. 变式训练4甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的 (1)求至多1个人译出密码的概率; (2)求至少1个人译出密码的概率.
