1、3频率与概率 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 一、概率 在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通 常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这 时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A). 名师点析概率的性质 (1)随机事件A的概率P(A)满足0P(A)1. (2)当A是必然事件时,P(A)=1;当A是不可能事件时,P(A)=0. 激趣诱思知识点拨 微练习 已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正 确的是() A.合格产品少于8件 B.合格产品多于8件 C.合格产品正好是8件 D.合格产品可能是8件 答案:D 解析:抽出10
2、件产品检查合格产品约为100.8=8件,由概率的意义 可得合格产品可能是8件. 激趣诱思知识点拨 二、频率与概率之间的关系 1.区别: 2.联系:随机事件的频率是指大量随机试验中,此事件发生的次数与 试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总是在某一个常数附近摆 动,且随着试验次数的不断增加,这种摆动幅度越来越小.我们给这 个常数取了一个名字,叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率 在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大 小,频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 名师点析频率本身是随机的,在试验前不能确定;概率是一个确定 的数,是客观存在的,是事件的固有属性,
3、与每次试验无关. 激趣诱思知识点拨 微练习 在一次掷硬币试验中,掷30 000次,其中有14 984次,正面朝上,则出 现正面朝上的频率是, (结果精确到0.000 1),掷一枚硬币, 正面朝上的概率是. 答案:0.499 50.5 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 概率概念的概率概念的理解理解 例1试从概率角度解释下列说法的含义: (1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ,是否意味着把它 掷6次能得到1次6点? (2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治 愈吗?如何理解治愈率是0.3? (3)据报道:某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这里,“千 年
4、一遇”是什么意思? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的 结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷 一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数, 不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是 ,并不意味着 把它掷6次能得到1次6点. (2)如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是0.3,是指随着试验 次数的增加,即治疗病人人数的增加,大约有30%的人能够治愈,对 于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没治愈是可能的, 对后3个人来说,其结果仍然是随机的,即有可能治愈,也可能没有治
5、 愈. (3)“千年一遇”是指0.001的概率,虽然0.001的概率比较小,但不代表 没有可能;但也不能说每1 000年就一定会发生一次9级地震. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟对概率的正确理解 1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属 性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的 近似值. 2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是 随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反 映. 3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的 问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个 具体的
6、事件. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究我们知道,每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为 0.5,则连续抛掷质地均匀的硬币两次,是否一定出现“一次正面向上, 一次反面向上”呢? 解:不一定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律,对于具体的 一次试验而言,它带有很大的随机性(即偶然性),通过具体试验可以 知道除上述结果外,也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反 面向上”.尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性,但是 如果我们知道某事件发生的概率的大小,也能作出科学的决策.例 如:做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1 000次,可以预见:“两 个都是正面向上”大约出现250次
7、,“两个都是反面向上”大约出现 250次,而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 概率与频率的关系及求法概率与频率的关系及求法 例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: (1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少(结果精确到0.01)? 分析由表中数据计算事件频率观察频率的稳定值估计概率. 解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于 频率稳定在常数0.89附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率 约是0.89. 探究一探究二探究三素养形成当堂
8、检测 反思感悟概率与频率的求解策略 1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可 求出它们的频率.频率是变化的,当n很大时,频率总是在一个稳定值 附近左右摆动,这个稳定值就是概率. 2.解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算频率,然后 用频率估计概率. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1下表是某批乒乓球质量检查结果表: (1)在上表中填上优等品出现的频率; (2)估计该批乒乓球优等品的概率约是多少(结果精确到0.01)? (3)若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)如下表所示: (2)
9、从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率约是0.95. (3)由优等品的概率为0.95,则抽取1 700只乒乓球时,优等品数量约 为1 7000.95=1 615. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 概率的概率的应用应用 例3一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球,从箱中抽到 白球的概率是99%,抽到黑球的概率是1%.现在随机取出一球,你估 计这个球是白球还是黑球? 解:从箱子中任取一球,所取的球是白球的概率为99%比取到黑球的 概率为1%要大得多.因此随机取出一球,取到白球的可能性比取到 黑球的可能性要大,所以估计取出的球是白球. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟概率是根
10、据大量的随机试验结果得到的一个相应的稳定 值,它说明了一个事件发生的可能性的大小,但并未说明一个事件 是否发生.接近1的大概率事件不是一定发生,只是发生的可能性较 大,而接近0的小概率事件不是一定不发生,只是发生的可能性较小, 即概率仅表示事件发生可能性的大小. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2某中学为了了解初中部学生的佩戴胸卡的情况,在学校 随机抽取初中部的150名学生,其中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调 查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初 中部一共有多少名学生. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 概率的意义概率的意义 典例 某出版社对某教辅图书
11、的写作风格进行了5次“读者问卷调 查”,结果如下: (1)计算表中的各个频率(结果精确到0.001); (2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)是多少? (3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意度情况. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)表中各个频率依次是:0.998,0.998,0.998,0.999,1.000. (2)由(1)中的结果,知某出版社在5次“读者问题调查”中,读者对此教 辅图书满意的概率约是0.998. (3)由(1)(2)可以看出,读者对此教辅图书满意程度较高,且呈上升趋 势. 方法点睛随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是 在大量重复的试验情
12、况下,它的发生呈现一定的规律性,可以用事 件发生的频率去“测量”,因此可通过计算事件发生的频率去估算概 率. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.对以下命题: 随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关; “姚明投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题. 其中正确的个数是() A.0B.1C.2D.3 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.我国古代数学名著九章算术中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收 粮,有人送来米1 536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得256粒内 夹谷18粒,则这批米内夹谷约为() A.108石 B.169石C.23
13、7石D.338石 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.某工厂为了节约用电,现规定每天的用电量指标为1 000度,按照 上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月 (按30天计)仍没有采取具体的节电措施,则该月的第一天用电量超 过指标的概率是. 答案:0.4 解析:电量超过指标的频率是 =0.4,又频率是概率的近似值,故 该月的第一天用电量超过指标的概率为0.4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.对某产品进行抽样检查,数据如下: 根据上表中的数据,如果要从该产品中抽到950件合格品,则大约需 要抽查件产品. 答案:1 000 解析:根据题表中数据可知合格品出现的频率为 0.94,0.92,0.96,0.95,0.95,因此合格品出现的概率约为0.95,因此要抽 到950件合格品,大约需要抽查1 000件产品.
