1、3对数函数 第1课时对数函数的概念、图象 与性质 激趣诱思知识点拨 某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,则1个 这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?反之,如果知道一 个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,该如何求解x的值呢? 激趣诱思知识点拨 一、对数函数 1.对数函数的概念 (1)一般地,函数 叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:定义域是 ;图象过定点. (2)指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为 反函数.两者的定义域与值域正好互换. 2.两种特殊的对数函数 以为底的对数函数为常用对数函数,记
2、作y=lg x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x. y=logax(a0,且a1) 底数 (0,+) (0,1) 10 无理数e 激趣诱思知识点拨 名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据: (1)形如y=logax; (2)底数a满足a0,且a1; (3)真数为x,而不是x的函数. 2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x, 由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a0,且a1,x0,yR. 3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线 y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数 的定义域. 激趣诱思知识点拨 微练习
3、(1)下列函数是对数函数的是() A.y=logax+2(a0,且a1,x0) 激趣诱思知识点拨 微拓展 1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上; 反之亦然. 2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性. 3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数. 激趣诱思知识点拨 二、对数函数y=logax(a0,a1)的图象和性质 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数 图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴. 2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对 底数a的分类讨
4、论. 3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数 越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接 近x轴,底数越小. 激趣诱思知识点拨 微练习 (1)(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值不可能是() A.0.5B.2 C.e D. (2)下列函数中,在区间(0,+)上不单调递增的是() A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 (3)函数f(x)=loga(x-2)的图象必经过定点. 激趣诱思知识点拨 答案:(1)BCD(2)D(3)(3,0) 解析:(1)函数y=logax在(0,+)上单调递减,0a0,且m1,所以m=2.
5、探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 反思感悟1.对数函数是一个形式定义: 2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解 析式时只须一个条件即可. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=. 解得a=4. (2)设对数函数为f(x)=logax(a0,且a1). 则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3, 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 指数函数与对数函数关系的应用指数函数与对数函
6、数关系的应用 例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x) 的反函数,则f(g(2)=() A.1B.2C.3D.4 答案:B 解析:g(x)是f(x)的反函数,g(x)=2x. g(2)=22=4,f(g(2)=f(4)=log24=2. 反思感悟涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前 提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象 关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x0时,函数f(x)的图象 与函数y=l
7、og2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=() A.-7B.-9C.-11 D.-13 答案:C 解析:由题意知f(x)=2x, 所以当x0时,g(x)=2x+x2. 又g(x)为奇函数,g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8. g(-1)+g(-2)=-11. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 与对数函数有关的定义域、值域问题与对数函数有关的定义域、值域问题 例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为() A.(-,0)(1,+) B.(-,01,+) C.(0,1) D.0,1 (2)已知函数f(x)=2lo x
8、的值域为-1,1,则函数f(x)的定义域是 . 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 解析: (1)由题意得x2-x0, 解得x1或x1时“底大图 低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底 数,如图所示. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义 域、值域以及单调区间. 解:先画出函数y=lg x的图象(如图). 再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象 (如图). 最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来 在x轴上方的部分不
9、变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图). 由图易知函数的定义域为在区间(1,+),值域为0,+),函数在区间 (1,2上单调递减,在区间(2,+)上单调递增. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 利用对数函数的性质比较大小利用对数函数的性质比较大小 例5比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)loga,loga3.141(a0,且a1). 分析(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小; (2)分别比较两个对数与0的大小; (3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小. 探究一探
10、究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.92,所以 f(1.9)f(2),即log31.9log21=0,log0.32log0.32. (3)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有 logaloga3.141; 当0a1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有loga1时,logaloga3.141; 当0a1时,loga0,且a1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3,log3. 解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.32, 所以ln 0.3
11、1时,函数y=logax在(0,+)上是增函数,又3.15.2,所以 loga3.1loga5.2; 当0a1时,函数y=logax在(0,+)上是减函数,又3.1loga5.2. 故当a1时,loga3.1loga5.2; 当0aloga5.2. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 (3)(方法一)因为0log0.23log0.24, (方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示, 由图可知log40.2log30.2. (4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且3, 所以log3log33=1. 同理,1=loglog3,所以log3log3. 探究一探
12、究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 互为反函数的两个函数图象间的关系互为反函数的两个函数图象间的关系 我们知道,指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1) 互为反函数.它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学 知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! (1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=log2x的 图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗? (2)取y=2x图象上的几个点,如P1 ,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于 直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=log2x的图象上吗?为什 么?
13、 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 (3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称 点在函数y=log2x的图象上吗?为什么? (4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论? (5)上述结论对于指数函数y=ax(a0,且a1)及其反函数y=logax(a0, 且a1)也成立吗?为什么? 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 答案:(1)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称. (2)点P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标分别为 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 (4)y=2x与y=log2x的图象关于直线
14、y=x对称. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 A.-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3 D.-1,3 A.-1,0 B.0,1 C.1,+)D.(-,-1 答案:C 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 A.yx1B.xy1 C.1xy D.1y0,且a1)的图象恒过定点P,则点P的 坐标是. 5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 . 答案: (2,2) 解析:令x-1=1,得x=2.f(2)=2, f(x)的图象恒过定点(2,2). 答案:bac 解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.20.31log0.20.3log0.21log0.24, 即1a0c. 同理log26log22=1,所以bac. 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测 6.已知函数f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)若f(a)f(2),利用图象求a的取值范围. 解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示. (2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+)上单调递增.当0a2时,恒有 f(a)f(2),故所求a的取值范围为(0,2).
