1、1对数的概念 激趣诱思知识点拨 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的运算 而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把 对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学 的三大成就.伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造 一个宇宙.”对数究竟是什么?它何以有如此大的魅力?它的作用何 在? 激趣诱思知识点拨 一、对数的概念 1.一般地,如果a(a0,且a1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以 为底的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫 作真数. 名师点析“log”同+、-、等符号一样,表示一种运算,即已知一个 底数和它
2、的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算 的符号写在数的前面. a N 激趣诱思知识点拨 2.两种特殊的对数: a=10 常用对数 lg N 激趣诱思知识点拨 微点拨 给定底数后,对数运算是指数运算的逆运算. 激趣诱思知识点拨 微练习 答案: (1) B (2)D 激趣诱思知识点拨 二、对数的基本性质 1.负数和零没有对数. 2.对于任意的a0,且a1,都有 名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于 1”. 2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和 对数的底数相同;(3)其值为对数的真数. N 激趣诱思知识点拨 微
3、练习 (2)若log3(log2x)=0,则x=. 答案: (1) D (2)2 解析: (2)由已知得log2x=1,故x=2. 探究一探究二探究三当堂检测当堂检测 对数式与指数式的互化对数式与指数式的互化 例1将下列指数式与对数式互化: 分析利用当a0,且a1时,logaN=bab=N进行互化. 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟1.logaN=b(a0,且a1)与ab=N(a0,且a1)是等价的,表 示a,b,N三者之间的同一种关系.如下表: 2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不 变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为 指数,底数不变.
4、探究一探究二探究三当堂检测 变式训练1将下列指数式与对数式互化: 探究一探究二探究三当堂检测 利用对数式与指数式的关系求值利用对数式与指数式的关系求值 例2求下列各式中x的值: (1)4x=53x;(2)log7(x+2)=2; (3)ln e2=x;(4)logx27= ; (5)lg 0.01=x. 分析利用指数式与对数式之间的关系求解. (2)log7(x+2)=2,x+2=72=49.x=47. (3)ln e2=x,ex=e2.x=2. 探究一探究二探究三当堂检测 反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a0,且a1)表示了三个量 a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时
5、,可以通过对数式与 指数式的相互转化求出第三个. 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练2求下列各式中的x值: (2)log216=x,2x=16.2x=24.x=4. (3)logx27=3,x3=27.即x3=33.x=3. 探究一探究二探究三当堂检测 利用对数的基本性质与对数恒等式求值利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3求下列各式中x的值: (1)ln(log2x)=0;(2)log2(lg x)=1; 分析利用logaa=1,loga1=0(a0,且a1)及对数恒等式求值. 解:(1)ln(log2x)=0,log2x=1.x=21=2. (2)log2(lg x)=1,lg x=2
6、.x=102=100. 反思感悟1.在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和 零没有对数;(2)loga1=0(a0,且a1);(3)logaa=1(a0,且a1). 2.对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数 恒等式的应用.对数恒等式 =N(a0,且a1,N0)的结构特点 是:(1)指数中含有对数;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数. 探究一探究二探究三当堂检测 探究一探究二探究三当堂检测 变式训练3求下列各式中x的值: (1)ln(lg x)=1; (2)log2(log5x)=0; 解:(1)ln(lg x)=1,lg x=e.x=10e. (2)log2(log5x)=0,log5x=1.x=5. 探究一探究二探究三当堂检测 1.将log5b=2化为指数式是() A.5b=2 B.b5=2C.52=bD.b2=5 答案:C 答案:C 探究一探究二探究三当堂检测 3.若对数log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是() 4.已知a=log23,则2a=. 答案:C 答案:3 解析:由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3. 探究一探究二探究三当堂检测 5.求下列各式中x的值: (3)log3(lg x)=1.
