1、2.1实际问题的函数刻画 2.2用函数模型解决实际问题 激趣诱思知识点拨 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种 方案回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. (1)请你分析比较三种方案每天回报的增长情况,各方案每天回报的 变化情况可用什么函数模型来反映? (2)你会选择哪种投资方案? 激趣诱思知识点拨 一、实际问题的函数刻画 1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中 存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对 其进行刻画.
2、函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解 析式. 2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认 定是函数关系,就可以通过研究函数的,使问题得到解决. 性质 激趣诱思知识点拨 通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标 系中的点,观察这些点的,看它们接近我们熟悉 的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的 一般表达式,求出具体的,再做必要的检验,基 本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法 称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先 通过,得到,再通过数据得到的. 整体特征 函数解析式 实验 数据 拟合 激趣
3、诱思知识点拨 微练习 某地为了改善生态环境,政府决定绿化荒山,计划第一年先植树0.5 万公顷,以后每年比上年增加1万公顷,每年植树的公顷数y(单位:万 公顷)是时间x(单位:年)的函数,这个函数的图象是下图中的() 激趣诱思知识点拨 答案:A 解析:由题意知该一次函数的图象必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排除 B,C,D. 激趣诱思知识点拨 二、数学建模 1.定义:用数学思想、解决实际问题的过程叫作数 学建模. 2.过程:如下图所示 方法 知识 激趣诱思知识点拨 名师点析常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k0), 其增长特点是直线式上升(k0)或下降(k0)或
4、先增大后减小(a0时,y随x的增大而减小(k0)或y随x的增大而增大 (k0,且b1,a0),其增长特点是 随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0),常 形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n (a0,a1,m0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速 度越来越慢(底数a1,m0).(6)幂函数模型:y=axn+b(a0),其增长 特点是y随x的增大而增大(n0,a0,x0). 激趣诱思知识点拨 微练习 某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据: 则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数() A.y=a+bx B.y=bx C.
5、y=ax2+b 激趣诱思知识点拨 答案:B 解析:画出散点图(如图所示): 由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的, 是增函数,排除C,D,故选B. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 建立二次函数模型解决实际问题建立二次函数模型解决实际问题 例1设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值 a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流 后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0 x100).而分流出的从事第三产业的人员平均每人每年可 创造产值1.2a万元. (1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
6、 (2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产 业的总产值每年增加最多? 分析求解(1)时应明确第二产业的产值不减少的条件是分流之后剩 余人员创造的产值应不小于没有分流时创造的产值100a,求解(2)时 应根据题意求出分流后第二、三产业的总产值每年增加量f(x)关于 x的函数关系式,并求其最值. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 x(0,50时,f(x)单调递增,当x=50时,f(x)max=60a. 即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最 多. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟求解本题时,应注意以下两点:一是xN+,二是第
7、二、三产 业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产 值的和减去没有人员分流时创造的产值. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地 建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不 得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正 比,比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/ 月. (1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求其定义域; (2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小? 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探
8、究四素养形成当堂检测 建立建立指数指数型型函数函数、对数对数型型函数函数模型解决实际问题模型解决实际问题 例2某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定 用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1 元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼 品价值为n元(nN+)时的销售量增加10%. (1)写出礼品价值为n元时,利润yn(单位:元)与n的函数关系式; (2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为 m(1+10%)n,
9、利润yn=(100-80-n)m(1+10%)n =(20-n)m1.1n(0n20,nN+). (2)令yn+1-yn0, 即(19-n)m1.1n+1-(20-n)m1.1n0,解得n9. y1y2y3y11y12y13y19, 当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟1.指数型函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利 息、细胞分裂等问题都可以建立指数型函数模型来解决问题,建立 函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系, 探寻内在的规律. 2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在. 探究一探究二探究
10、三探究四素养形成当堂检测 变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研 究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 单 位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. (3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较 大?并说明理由. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 建立分段函数模型建立分段函数模型 例3WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min),按30元 计费;超过500 mi
11、n的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小 于60 min)使用量在1 min以下不计费,在1 min以上(包括1 min)按0.5 元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费. (1)写出上网时间x min与所付费用y元之间的函数关系式. (2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱? (3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少? 分析由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨 论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 (2)当x=2060=1 200(min)时
12、,x500, 应付y=30+0.15(1 200-500)=135(元). (3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上网 时间为900 min. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范 围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段 函数建立函数模型解决问题. 2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数. 求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数 最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小 的一个. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
13、 变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福 利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价 为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间 满足关系式:q= 该企业职工每人每月工 资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元. (1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月 刚好收支平衡,求该企业的职工人数; (2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外, 剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)设该企业职工人数为t,依题
14、意p=52时,q=36时,则(52- 40)36100=1 200t+13 200,t=25. 即该企业有25名职工. (2)设每个月的利润为f(p),则f(p)= 当p=55时,(-2p+140)(p-40)max=450, 当p=61时,(-p+82)(p-40)max=441, 450441,p=55时,能更早还清贷款, 当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 拟合函数模型解决实际问题拟合函数模型解决实际问题 例4某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与 所获纯利润列成下表: 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不
15、知投入 A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案, 使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可 获得的最大纯利润. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画 出散点图,如图所示. 观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化 规律可以用二次函数模型进行模拟,如图所示.取(4,2)为最高点, 则y=a(x-4)2+2(a0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=- 0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变
16、化规律是线性的,可以用 一次函数模型进行模拟,如图所示. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 设y=kx+b(k0),取点(1,0.25)和(4,1)代入, 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系 式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的 金额x的函数关系式是y=0.25x. 设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则 0 x10,不合题意;若2x+10=60,则x=25, 满足题意;若1.5x=60,则x=400)来模拟 这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问用以上哪个函数 拟合较好?并说明理由. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:若用函数y=kx+m(k0),取(1,50),(2,52), y=2x+48. 当x=3时,y=56. 由题知3月份的产量为53.9千件,由上可知用函数y=2x+48估计时误 差较小,故用函数y=2x+48拟合比较好.
