1、椭圆椭圆基础过关基础过关 一、一、选择题选择题 1 1椭圆椭圆 6 6x x 2 2 y y 2 2 6 6 的长轴端点坐标为的长轴端点坐标为( () ) A A( (1,0)1,0)，(1,0)(1,0)B B( (6,0)6,0)，(6,0)(6,0) C C( ( 6 6，0)0)，( ( 6 6，0)0)D D(0(0， 6 6) )，(0(0， 6 6) ) 2 2已知椭圆已知椭圆C C：x x 2 2 a a 2 2 y y 2 2 4 4 1 1 的一个焦点为的一个焦点为(2,0)(2,0)，则，则C C的离心率为的离心率为( () ) A.A.1 1 3 3 B.B.1 1 2
2、 2 C.C. 2 2 2 2 D.D.2 2 2 2 3 3 3.3.（20192019 文科文科） （新课标（新课标）已知椭圆）已知椭圆 C C 的焦点为的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过 ，过F F2 2的直的直 线与线与C C交于交于A A，B B两点两点. .若若 22 2AFF B ， 1 ABBF ，则，则C C的方程为的方程为 A A 2 2 1 2 x yB B 22 1 32 xy C C 22 1 43 xy D D 22 1 54 xy 4 4 “22m m6 b b0)0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为A A1 1，A A2 2，且以线段，且以线段
3、A A1 1A A2 2为为 直径的圆与直线直径的圆与直线bxbxayay2 2abab0 0 相切，则相切，则C C的离心率为的离心率为( () ) A.A. 6 6 3 3 B.B. 3 3 3 3 C.C. 2 2 3 3 D.D.1 1 3 3 7 7 已知已知P P为椭圆为椭圆 x x 2 2 2525 y y 2 2 1616 1 1 上的一点上的一点，M M，N N分别为圆分别为圆( (x x3)3) 2 2 y y 2 2 1 1 和圆和圆( (x x3)3) 2 2 y y 2 2 4 4 上的点，则上的点，则| |PMPM| | |PNPN| |的最小值为的最小值为( ()
4、 ) A A5 5B B7 7 C C1313D D1515 8 8 若若O O和和F F分别为椭圆分别为椭圆x x 2 2 4 4 y y 2 2 3 3 1 1的中心和左焦点的中心和左焦点，P P为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点， 则则OPOP FPFP 的最大值为的最大值为( () ) A A2 2B B3 3C C6 6D D8 8 9 9 （多选）已知方程（多选）已知方程mxmx 2 2 nyny 2 2 1(1(m m，n nR)R)，则，则( () ) A A当当mnmn00 时，方程表示椭圆时，方程表示椭圆 B B当当mnmn00 时，方程表示双曲线时，方程表示双曲线 C
5、C当当m m0 0 时，方程表示两条直线时，方程表示两条直线 D D方程表示的曲线不可能为抛物线方程表示的曲线不可能为抛物线 1010 （多选）设椭圆（多选）设椭圆C C：x x 2 2 2 2 y y 2 2 1 1 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，P P是是C C上的动点上的动点， 则下列结论正确的是则下列结论正确的是( () ) A.A.|PF PF1 1| |PF PF2 2| 2 2 2 2 B B离心率离心率e e 6 6 2 2 C CPFPF1 1F F2 2面积的最大值为面积的最大值为 2 2 D D以线段以线段F F1 1F F2 2为直径的
6、圆与直线为直径的圆与直线x xy y 2 20 0 相切相切 二、二、填空题填空题 1111在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中，椭圆椭圆C C的中心为原点的中心为原点，焦点焦点F F1 1，F F2 2在在x x轴上轴上，离离 心率为心率为 2 2 2 2 . .过过F F1 1的直线的直线l l交交C C于于A A，B B两点，且两点，且ABFABF2 2的周长为的周长为 1616，那么椭圆，那么椭圆C C 的方程为的方程为_ 1212 已知椭圆的短半轴长为已知椭圆的短半轴长为 1 1， 离心率离心率 00 b b0)0)的左的左、右焦点右焦点，点点P P在椭圆上在椭圆上， P
7、OFPOF2 2是面积为是面积为 3 3的正三角形，则的正三角形，则b b 2 2 _._. 三、解答题三、解答题 1515(1)(1)求与椭圆求与椭圆x x 2 2 9 9 y y 2 2 4 4 1 1 有相同的焦点，且离心率为有相同的焦点，且离心率为 5 5 5 5 的椭圆的标准方程；的椭圆的标准方程； (2)(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为已知椭圆的两个焦点间的距离为 8 8，两个顶点坐标分别是两个顶点坐标分别是( (6,0)6,0)，(6,0)(6,0)，求求 焦点在焦点在x x轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程 1616已知椭圆已知椭圆C C：x x 2 2 a a 2 2
8、 y y 2 2 b b 2 2 1(1(a a b b0)0)过点过点 1 1，3 3 2 2 ，离心率为，离心率为1 1 2 2，左、右焦点分别 ，左、右焦点分别为为 F F1 1，F F2 2，过，过F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于A A，B B两点两点 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)当当F F2 2ABAB的面积为的面积为12 12 2 2 7 7 时，求直线的方程时，求直线的方程 17.(201817.(2018 年全国统一考试理科数学（新课标年全国统一考试理科数学（新课标 I I 卷）卷）) ) 设椭圆设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点
9、为的右焦点为F，过过F的直线的直线l与与C交于交于,A B两点两点，点点M的坐标的坐标 为为(2,0). . （1 1）当）当l与与x轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线AM的方程；的方程； （2 2）设）设O为坐标原点，证明：为坐标原点，证明：OMAOMB . . 18.(202018.(2020 年全国统一高考数学试卷（文科）年全国统一高考数学试卷（文科）) ) 已已知知A A、B B分别为椭分别为椭圆圆E E： 2 2 2 1 x y a （a a11） 的左的左、 右顶点右顶点，G G为为E E的上顶点的上顶点，8AG GB ， P P为直线为直线x x=6=6 上的动点，上的动点，PAP
10、A与与E E的另一交点为的另一交点为C C，PBPB与与E E的另一交点为的另一交点为D D （1 1）求）求E E的方程；的方程； （2 2）证明：直线）证明：直线CDCD过定点过定点. . 一、一、选择题选择题 1.D1.D2 2C C3.B3.B4 4B B5.B5.B6 6A A7 7B B8 8C C9 9BDBD1010ADAD 二、二、填空题填空题1111 x x 2 2 1616 y y 2 2 8 8 1 11212(2,4(2,4131324 24 7 7 14.14.2 2 3 3 三、解答题三、解答题 1515解解(1)(1)c c 9 94 4 5 5， 所求椭圆的焦
11、点为所求椭圆的焦点为( ( 5 5，0)0)，( ( 5 5，0)0) 设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为x x 2 2 a a 2 2 y y 2 2 b b 2 2 1(1(a a b b0)0) e ec c a a 5 5 5 5 ，c c 5 5，a a5 5，b b 2 2 a a 2 2 c c 2 2 2020， 所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 x x 2 2 2525 y y 2 2 2020 1.1. (2)(2)椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为x x 2 2 a a 2 2 y y 2 2 b b 2 2 1(1(a a b
12、 b0)0)， 2 2c c8 8，c c4 4， 又又a a6 6，b b 2 2 a a 2 2 c c 2 2 20.20. 椭圆的方程为椭圆的方程为 x x 2 2 3636 y y 2 2 2020 1.1. 1616解解(1)(1)椭圆过点椭圆过点 1 1，3 3 2 2 ， 1 1 a a 2 2 9 9 4 4b b 2 2 1 1， 又又e ec c a a 1 1 2 2且 且a a 2 2 b b 2 2 c c 2 2， ， 解得解得a a 2 2 4 4，b b 2 2 3 3，c c 2 2 1 1， 椭圆方程为椭圆方程为x x 2 2 4 4 y y 2 2 3
13、3 1.1. (2)(2)显然直线显然直线ABAB的斜率不为的斜率不为 0 0， 设设ABAB的方程为的方程为x xtyty1 1，A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )， 联立联立 x xtyty1 1， x x 2 2 4 4 y y 2 2 3 3 1 1， 整理得整理得(3(3t t 2 2 4)4)y y 2 2 6 6tyty9 90 0， 3636t t 2 2 36(336(3t t 2 2 4)4)144144t t 2 2 14401440， y y1 1y y2 2 6 6t t 3 3t t 2 2 4 4， ，y y
14、1 1y y2 2 9 9 3 3t t 2 2 4 4， ， 2 ABF S1 1 2 2| |F F 1 1F F2 2| |y y1 1y y2 2| | | |y y1 1y y2 2| |y y1 1y y2 2 2 2 4 4y y1 1y y2 2 6 6t t 3 3t t 2 2 4 4 2 2 3636 3 3t t 2 2 4 4 12 12t t 2 2 1 1 3 3t t 2 2 4 4 12 12 2 2 7 7 ， 解得解得t t 2 2 1 1， 直线方程为直线方程为x xy y1 1， 即即y yx x1 1 或或y yx x1.1. 17.(201817.
15、(2018 年全国统一考试理科数学（新课标年全国统一考试理科数学（新课标 I I 卷）卷）) ) （1 1）由已知得）由已知得1,0F，l l 的方程为的方程为1x . . 由已知可得，点由已知可得，点A的坐标为的坐标为 2 1, 2 或或 2 1, 2 . . 所以所以AM的方程为的方程为 2 2 2 yx 或或 2 2 2 yx. . （2 2）当）当l与与x轴重合时，轴重合时，0OMAOMB o. . 当当l与与x轴垂直时，轴垂直时，OM为为AB的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以OMAOMB . . 当当l与与x轴不重合也不垂直时轴不重合也不垂直时， 设设l的方程为的方程为 10yk
16、xk ， 1122 ,A x yB xy ， 则则 12 2,2xx，直线，直线MA、MB的斜率之和为的斜率之和为 12 12 22 MAMB yy kk xx . . 由由 1122 ,ykkxykxk 得得 1212 12 234 22 MAMB kx xk xxk kk xx . . 将将 1yk x 代入代入 2 2 1 2 x y得得 2222 214220kxk xk . . 所以，所以， 22 1212 22 422 , 2121 kk xxx x kk . . 则则 333 1212 2 441284 2340 21 kkkkk kx xk xxk k . . 从而从而 0 M
17、AMB kk ，故，故MA、MB的倾斜角互补，所以的倾斜角互补，所以OMAOMB . . 综上，综上，OMAOMB . . 18.(202018.(2020 年全国统一高考数学试卷（文科）年全国统一高考数学试卷（文科）) ) （1 1）依据题意作出如下图象：）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得：可得： ,0Aa ，,0B a， 0,1G ,1AGa ，, 1GBa 2 18AG GBa ， 2 9a 椭圆方程为： 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2 2）证明：设）证明：设 0 6,Py ， 则直线则直线AP的方程为：的方程为： 0
18、 0 3 63 y yx ，即：，即： 0 3 9 y yx 联立直线联立直线AP的方程与椭圆方程可得：的方程与椭圆方程可得： 2 2 0 1 9 3 9 x y y yx ，整理得：，整理得： 2222 000 969810yxy xy ，解得：，解得：3x 或或 2 0 2 0 327 9 y x y 将将 2 0 2 0 327 9 y x y 代入直线代入直线 0 3 9 y yx可得：可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点所以点C的坐标为的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . . 同理可得：点同理可得：点D的坐标为的坐标为 2 00 22 00 3
19、32 , 11 yy yy 当当 2 0 3y 时，时， 直线 直线CD的方程为：的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得：整理可得： 2 22 00 0000 222 42 000 00 83 233833 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得：整理得： 000 2 22 0 00 4243 323 33 3 yyy yxx yyy 所以直线所以直线CD过定点过定点 3 ,0 2 当当 2 0 3y 时，直线时，直线CD： 3 2 x ，直线过点，直线过点 3 ,0 2 故直线故直线CDCD过定点过定点 3 ,0 2
