1、章末整合 专题一集合的运算 例1已知全集U=x|x0,集合 A=x|3x7,B=x|2x10,C=x|5-axa. (1)求AB,(UA)B; (2)若C(AB),求a的取值范围. 解:(1)AB=x|3x7x|2x10=x|2x10,UA=x|0 x3, 或x7,(UA)B=x|2x3,或7x10. 方法技巧 集合运算过程中应力求做到“三化” (1)意义化:首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形; 是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围,还是表示方程 或不等式的解集. (2)具体化:具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的取值范 围或方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也
2、应力求将相关集 合转化为最简形式. (3)直观化:借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来,从而 借助数形结合思想解决问题. 变式训练1已知全集U=xN|1x6,集合A=x|x2-6x+8=0,集 合B=3,4,5,6. (1)求AB,AB; (2)写出集合(UA)B的所有子集. 解:(1)全集U=xN|1x6=1,2,3,4,5,6,集合A=x|x2- 6x+8=0=2,4,集合B=3,4,5,6. AB=4,AB=2,3,4,5,6. (2)UA=1,3,5,6, (UA)B=3,5,6,它的所有子集是 ,3,5,6,3,5,3,6,5,6,3,5,6,共8个. 专题二用集合知识解决
3、实际应用题 例2某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的 人数. 解:设全集U=全班30名学生,A=喜爱篮球运动的学生,B=喜爱 乒乓球运动的学生,画出Venn图如图所示. 设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x,则喜爱篮球运动 但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x,喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球 运动的人数为10-x,则有(15-x)+x+(10-x)+8=30,解得x=3.所以喜爱 篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-x=15-3=12. 方法技巧 容斥原理的应用 在部分有限集中,经常遇到有关集合中元素的
4、个数问题,我们常用 Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合中元素 的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数.则有如下结论: card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB). 变式训练2某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组, 每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人 数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物 理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有多少人? 解:设参加数学、物理、化学小组的同学构成的集合分别为A,B,C, 同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn
5、图. 由全班共36名同学参加课外探究小组可得 (26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8,即同时参加数学和 化学小组的有8人. 专题三根据充分和必要条件求参数范围 例3设p:0 x+26,q:1-mx0). (1)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 分析设p,q所对应的集合分别为A,B,再由p是q的必要不充分条件得 到集合B是集合A的真子集,由p是q的充分不必要条件得到集合A是 集合B的真子集,数形结合建立不等式(组)求解. 解:(1)设条件p对应的集合为A, 则A=x|-2x4,设条件q对
6、应的集合为B,则B=x|1-mx0,所以B. 若p是q的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,所以 方法技巧 根据充要条件求参数范围的方法 (1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的 包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价 转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决. (2)在求解参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验, 在利用集合关系列不等式时,不等式是否能取到等号直接决定着端 点值的取舍,在这里容易增解或漏解. 解:由题意得p:-2x10, 设P=x|-2x10,Q
7、=x|1-mx1+m. q是p的必要不充分条件,PQ. Q, 所以实数m的取值范围为m|m9. 专题四用基本不等式求最值 (1)若m=1,求当x1时函数的最小值; (2)当x1时,函数有最大值-3,求实数m的值. 分析(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2) 当x1时,x-10(aR). 分析首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a0时, 是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根 与2的大小 关系. 解:当a=0时,化为x0. 方法技巧 解含参不等式的一般方法 (1)二次项系数不含参数时,对的取值进行讨论. 若0,再根据两根大小进行比较,分
8、x1x2三种情况解 答. (2)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系, 当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;当a0时,不等 式是一元二次不等式,可分a0和a0两种情况进行解答. 变式训练5已知常数aR,解关于x的不等式ax2-2x+a0. 解:(1)若a=0,则原不等式为-2x0. (2)若a0,=4-4a2. 当0,即0a1时,方程ax2-2x+a=0的两根为 当=0,即a=1时,原不等式的解集为. 当1时,原不等式的解集为. (3)若a0,即-1a0, 当a=-1时,原不等式的解集为x|xR且x-1. 当0,即a-1时,原不等式的解集为R. 综上所述,当a1时
9、,原不等式的解集为; 当0a0; 当-1a0时,原不等式的解集为 当a=-1时,原不等式的解集为x|xR且x-1; 当a4x+m-4. (1)若xR时,不等式恒成立,求实数m的取值范围; (2)若x1时,不等式恒成立,求实数m的取值范围. 分析(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取 值范围; (2)通过x1时,不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置 及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.也可分离参数m,用基本不等 式求最值,得出m的取值范围. 解:(1)将不等式x2+mx4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+40. 由=(m-4)2-4(4-m)0,解得0m0对于满足1x0在(1,4)上不成立; (2)当a0时,函数f(x)=ax2-2x+2的图象开口向下,对称轴为直线
