1、6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 知识梳理知识梳理 1、平面向量的基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e1 2e2。其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3、平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21. （2）向量
2、坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | （x 2x1）2（y2y1）2. 4、平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10. 5、注意 （1）若 a(x1，y1)，b(x2，y2)且 ab，则 x1x2且 y1y2. （2）若 a 与 b 不共线，ab0，则0. （3）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系。两个相等的向量，无论起点在什么位置，它 们的坐标都是相同的。 知识典例知识典例 题型一 平面向量基本定理及其应用
3、例 1在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC 2 3OA 1 3OB ，则|AC | |AB |_. 【答案】1 3. 【解析】因为OC 2 3OA 1 3OB ，所以OCOA1 3OA 1 3OB 1 3(OB OA)，所以AC1 3AB ，所以|AC | |AB | 1 3. 巩固练习巩固练习 在ABC中，AN 1 4NC ，若 P是直线BN上的一点，且满足AP mAB2 5AC ，则实数 m的值为() A.4B.1C.1D.4 【答案】B 【解析】根据题意设BP nBN(nR)，则APABBPABnBNABn(ANAB)ABn 1 5AC AB (1n)AB n 5AC
4、 . 又AP mAB2 5AC ， 1nm， n 5 2 5， 解得 n2， m1. 题型二 平面向量的坐标表示 例 2已知点1,3 ,4, 1 ,AB则与AB 同方向的单位向量为( ) A 34 55 ， B 43 55 ，C 3 4 5 5 ，D 4 3 5 5 ， 【答案】A 【详解】 试题分析：(4 1, 1 3)(3, 4)AB ,所以与AB 同方向的单位向量为 134 (3, 4)( ,) 555 AB e AB ，故选 A. 巩固练习巩固练习 已知ABC中，(2,8) AB，( 3,4) AC，若BMMC ，则AM 的坐标为 （） A 1 (,6) 2 B 5 ( ,2) 2 C
5、( 1,12)D(5,4) 【答案】A 【分析】 根据(2,8)AB ，( 3,4)AC ，可得BC ；由BM MC 可得 M 为 BC 中点，即可求得BM 的坐标，进而利用 AMABBM 即可求解 【详解】 因为(2,8)AB ，( 3,4)AC 所以( 5, 4)BCAC AB 因为BM MC ，即 M 为 BC 中点 所以 15 , 2 22 BMBC 所以 51 2,8, 2,6 22 AMABBM 所以选 A 题型三 数量积等相关运算 例 3已知向量a 、b 的夹角为 3 4 ，3,4a ， 10a b ，则b （） A2 2B2 3C3 3D4 2 【答案】A 【分析】 求出a r
6、 ，利用平面向量数量积的定义可求出b 的值. 【详解】 3,4a ，则 2 2 345a ， 由平面向量数量积的定义得 35 2 cos10 42 a babb ，解得2 2b . 故选：A. 巩固练习巩固练习 已知向量(2,2),( 8,6) ab，则cos,a b_. 【答案】 2 10 【分析】 利用向量夹角公式即可得到结果. 【详解】 282 64a b ， 22 222 2a ， 2 2 8610b ， 42 cos, 102 2 10 a b 故答案为： 2 10 题型四 坐标求解 例 4设(3,4)AB ，点A的坐标为( 1,0)，则点B的坐标为_. 【答案】(2,4) 【分析】
7、 向量AB 的坐标等于点B的坐标减去点A的坐标 【详解】 解：设点B的坐标为( , ) x y，则 3,4,1,01,ABx yxy ， 13x ，4y ，点B的坐标为(2,4) 故答案为：(2,4) 巩固练习巩固练习 已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_. 【答案】(2，4) 【解析】 在梯形 ABCD 中，DC=2AB，ABCD， 2DCAB .设点 D 的坐标为(x，y)，则DC =(4x，2y)，AB =(1，1)， (4x，2y)=2(1，1)，即(4x，2y)=(2，2)， 42 22 x y
8、，解得 2 4 x y ，故点 D 的坐标为(2，4) 题型五 参数问题 例 5已知向量 a=(2，1)，b=(1，2)若 manb=(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_ 【答案】3 【详解】 由 a=(2，1)，b=(1，2)，可得 manb=(2m，m)(n，2n)=(2mn，m2n)， 由已知可得，解得，从而 mn=3. 巩固练习巩固练习 已知2,0a ，1,2b ，实数满足5ab ，则_. 【答案】1 或 1 5 【分析】 根据向量模的坐标计算，可得结果. 【详解】 由题意可得： 2, 2ab , 22 225ab , 解得1或 1 5 . 故答案为：1 或 1 5 巩固提升巩固
9、提升 1、若2,3 ,4,7ab ，b 方向上的单位向量为e .则a 在b 上的投影向量为（） A 65 5 e B 65e C 13 5 e D 13e 【答案】A 【分析】 由向量的投影计算公式，代值计算即可求得. 【详解】 由向量的投影计算公式可得， 故a 在b 上的投影向量为 1365 565 a b eee b . 故选：A. 2、 在ABC中， 已知2,3A，6, 4B，4, 1G是中线AD上一点， 且2AGGD ， 那么点C的坐标为 （） A4,2B4, 2C4, 2D4,2 【答案】C 【分析】 假设,C x y，根据2AGGD ，可得G为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
10、【详解】 由题意知：G是ABC的重心，设,C x y， 则有 26 4, 3 34 1, 3 x y 解得 4, 2. x y 故4, 2C. 故选：C 3、向量,12 ,4,5 ,10,PAkPBPCk ，若, ,A B C三点共线，则k的值为（） A-2B11C-2 或 11D2 或-11 【答案】C 【分析】 根据向量的坐标运算，结合向量的共线的条件，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，向量,12 ,4,5 ,10,PAkPBPCk ， 则 ,124,54,7BAPAPBkk ， ,1210,10,12CAPAPCkkkk ， 因为, ,A B C三点共线，所以BA CA
11、，所以4 127100kkk， 整理得 2 9220kk ，解得2k 或11k . 故选：C. 4、已知4,3a ，23,18ab ，则a 与b 的夹角的余弦值为（） A 8 65 B 8 65 C 16 65 D 16 65 【答案】C 【分析】 根据题意，解得两个向量的坐标，利用坐标计算两向量的夹角余弦值即可. 【详解】 因为4,3a ，23,18ab 故可得5,12b ，设向量a 与b 的夹角为 则5,13ab 则 1616 5 1365 a b cos a a . 故选：C. 5、已知向量2,6a ，1,b ，若 ba / ，则a b _，ab _ 【答案】20 10 【分析】 由 b
12、a / 可求得的值，再利用数量积的坐标运算求a b ，计算出a b 的坐标，再利用模长公式求模长. 【详解】 由 ba / 可得1 623 ， 所以216320a b ， 又因为1,3ab ， 所以10ab 故答案为：20； 10 6、已知向量1, 3OA ，2, 1OB ，,2OCk k ，若 A，B，C 三点共线，则实数 k 的值_则 AC _ 【答案】3 2 5 【分析】 用向量坐标表示AB 、AC ，由 A，B，C 三点共线即可求 k 的值，进而求AC 【详解】 向量1, 3OA ，2, 1OB ，,2OCk k ， 1,2AB ，1,1ACkk ， A，B，C 三点共线，即AB 与A
13、C 共线 2110kk，即3k 则 22 24202 5AC 故答案为：3；2 5 7、已知向量( 3,1),(1, 2),()abmakb kR （1）若m 与向量2a b 垂直，求实数k的值； （2）若向量(1, 1)c ，且m 与向量kb c 平行，求实数k的值 【答案】（1） 5 3 ；（2） 1 3 【分析】 （1）由m akb 代入, a b 的坐标，然后得到m 的坐标表示，再由m 与 2ab 垂直，得到20mab ，分别代 入坐标，得到关于k的方程，求出答案. （2）先得到kb c 的坐标，然后根据m 与kb c 平行，得到坐标关系，即关于k的方程，求出答案. 【详解】 （1）由
14、题意， 3,1, 23,1 2makbkkkk ， 26,21, 27,4ab ， 因为m 与 2ab 垂直， 所以27341 20mabkk 整理得25 150k，解得 5 3 k （2）由题意， , 21, 11, 21kbckkkk ， 由（1）知，3,1 2mkk ， 因为m 与kb c 平行， 所以 2131 21kkkk ， 整理得620k ，解得 1 3 k 8、已知平面向量1,ax ，23,bxxxR （1）若a b ，求x的值； （2）若 ba / ，求 |ba . 【答案】（1）1或3；（2）2或2 5. 【分析】 （1）由平面向量垂直的坐标表示可得出关于x的等式，进而可求
15、得实数x的值； （2）由平面向量共线的坐标表示求得x的值，可求得a b 的坐标，由此可求得 |ba . 【详解】 （1）1,ax ，23,bxx ，且a b ，则 2 230a bxx ， 整理得 2 230 xx ，解得1x 或3x ； （2）1,ax ，23,bxx ，且 ba / ，23xxx ，即 2 240 xx ， 解得0 x 或2x . 若0 x ，则1,0a ，3,0b ，则2,0ab ，此时2ab ； 若2x ，则1, 2a r ，1,2b r ，则2, 4ab ，此时 2 2 242 5ab . 综上所述，2ab 或2 5. 9、已知向量, a b 同向，1,2b ，10a b . （1）求a 的坐标； （2）若2, 1c ，求ab c 及a bc . 【答案】（1）2,4a . （2）0ab c ，20, 10a bc . 【分析】 （1）由a 与b 同向，设,20ab ，代入数量积a b 计算可得； （2）计算b c ，再根据向量的数乘运算求解 【详解】 （1）设,20ab ， 则有 410a b ，2，2,4a . （2） 1 22 10b c ， 10a b r r ， 0ab c ，102, 120, 10a bc .
