1、7.2 复数的四则运算复数的四则运算 知识梳理知识梳理 1、复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； 除法：)( )( )( 0 2222 2 1 dici dc adbc dc bdac dicdic dicbia dic bia z z 2、复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 知
2、识典例知识典例 题型一 加减运算 例 1复数(1 )(2)3iii等于（） A1i B1iCiD-i 【答案】A 【分析】 按照加法和减法法则进行求解. 【详解】 (1)(2)3(12)(3 )1iiiiiii 故选：A. 巩固练习巩固练习 计算：(1 3 )( 2)(23 )iii 原式 ( 14 )(23 )1iii 题型二 复数乘除 例 2 12i 1 2i A 43 i 55 B 43 i 55 C 34 i 55 D 34 i 55 【答案】D 【解析】 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解： 2 12(12 )34 1 255 iii i 选 D. 巩固练习巩固练习 计
3、算(1) (2)ii= A1iB1 3i C3iD3 3i 【答案】B 【解析】 分析：根据复数乘法法则求结果. 详解：122 1 31 3 ,iiii 选 B. 题型三 四则运算 例 3计算: 1331 (1) 2222 iii ; 【答案】 1313 22 i 【分析】 先计算 133131 = 222222 iii ，再计算 31 (1) 22 ii 得到答案. 【详解】 13313331 i(1 i)i (1) 22224444 ii 3131131313 (1) 22222222 iiii 巩固练习巩固练习 计算： (14 )(1)24 34 iii i . 【答案】(2)1i. 【
4、分析】 化简得到 (14 )(1)247 3434 iiii ii ，再计算得到答案. 【详解】 (14 )(1)24 34 iii i 5324 34 ii i 7(7)(34 ) 34(34 )(34 ) iii iii 2128342525 2525 iii 1 i . 题型四 模长的计算 例 4设 3 5 1 i zi i ，则z （） A 2 B 1 2 C 2 2 D 10 2 【答案】C 【分析】 根据复数运算法则求得 11 22 zi ，根据模长的定义求得结果. 【详解】 3 5 111 1222 iii ziii i 112 442 z 本题正确选项：C 巩固练习巩固练习 已
5、知 i 为虚数单位，若(1)2zii，则| z （） A2B 2 C1D 2 2 【答案】B 【分析】 由已知条件，结合复数的运算可得1zi ，由模长公式可得答案. 【详解】 (1)2zii， 22 (1)22 1 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 故 22 |112z . 故选：B. 题型五 复数的几何意义 例 5如图，在复平面内，复数 12 ,z z对应的向量分别是 ,OA OB ，则复数 12 zz() A12i B22i C1 2iD1 2i 【答案】B 【分析】 由图可得 1 2zi , 2 zi,进而求解即可 【详解】 由图,2, 1A ,0,1B, 所以2, 1OA
6、,0,1OB ,则 1 2zi , 2 zi, 所以 12 222zziii , 故选:B 巩固练习巩固练习 如图，在复平面内，复数 1 z， 2 z对应的向量分别是OA ，OB ，则 12 zz（） A1B 5 C2D3 【答案】B 【分析】 根据向量的坐标，写出复数，再求加法及模. 【详解】 由题图可知 1 22zi ， 2 zi， 所以 12 2zzi ， 12 5zz. 故选：B. 题型六 解方程 例 6在复数范围内解下列方程： （1） 2 9160 x ； （2） 2 10 xx 【答案】（1） 4 3 xi （2） 13 2 i x 【分析】 （1）利用配方法得到方程的根； （2）
7、利用公式法得到方程的根. 【详解】 解：（1）因为 22 4416 339 ii ，所以方程 2 9160 x 的根为 4 3 xi （2）因为 2 14 1 10 ，所以方程 2 10 xx 的根为 1( 3) 2 1 i x ，即 13 2 i x 巩固练习巩固练习 在复数范围内解下列方程： （1） 2 450 xx ； （2） 2 2340 xx . 【答案】（1）2xi （2） 323 4 i x 【分析】 （1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可； （2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可. 【详解】 解：（1） 2 44 1 540 , 方程 2
8、 450 xx 的根为 4( 4) 2 1 i x ，即2xi . （2） 2 ( 3)4 2 4230A ， 方程 2 2340 xx 的根为 3( 23) 2 2 i x ，即 323 4 i x . 巩固提升巩固提升 1、已知 1 1 i z ，则z _，z _ 【答案】 11 22 i 2 2 【分析】 先根据复数除法法则化简 , z 再根据共轭复数概念得第一空，根据复数模的性质求解第二空. 【详解】 111 1112 ii z iii ，则 11 22 zi， 112 442 z 故答案为： 11 22 i， 2 2 2、在复平面内，复数 22 1 1 i zi i 对应的点位于第_
9、象限；z _ 【答案】四 2 【分析】 先根据复数运算法则化简，再根据复数几何意义确定点所在象限，最后根据共轭复数概念以及模的定义求结果. 【详解】 由 22 1121 1 i ziiiii i ， 对应的点的坐标为1, 1，位于第四象限，1zi ，2z 故答案为：四， 2 3、已知复数z满足(12 )1zi（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为_. 【答案】 2 5 【解析】 由题得 11212 1 2(1 2 )(12 )5 ii z iii ，所以复数的虚部为 2 5 .故填 2 5 . 4、已知aR，i为虚数单位，若 2 ai i 为实数，则a的值为_ 【答案】-2 【解析】 i(i)
10、(2i)(21)(2)i212 i 2i(2i)(2i)555 aaaaaa 为实数， 则 2 0,2 5 a a . 5、复数 3 1+i i 1 i 的值是_. 【答案】0 【分析】 先利用复数的除法运算计算 1+i 1 i ，再计算 3 i，相加即得解. 【详解】 2 3 1 i1 i2i iii0 1 i1 i1 i2 . 6、已知复数z满足 286z zizi ，则复数z的实部与虚部的和为_. 【答案】4 【分析】 设出复数，根据复数相等，列方程进行计算即可. 【详解】 设,zabi a bR，则 22 z zab ， 22 286abi abii ， 即 22 2286abbaii
11、 ， 22 28 26 abb a ， 解得 3 1 a b ， 4ab， 即复数z的实部与虚部的和是 4. 故答案为：4. 7、已知复数2i（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程 2 0 xbxc 的一个根，则bc_. 【答案】1 【分析】 2i的共轭复数2i是实系数一元二次方程 2 0 xbxc 的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b、c. 【详解】 解:因为2i是实系数一元二次方程 2 0 xbxc 的一个根， 所以2i是实系数一元二次方程 2 0 xbxc 的一个根， 所以(2)(2)4bii ，(2) (2)5cii， 因此451bc . 故答案为：1. 8、已知四边形OAC
12、B是复平面内的平行四边形，O是原点，点,A B分别表示复数3,24ii，M是OC，AB的交 点，如图所示，求点,C M表示的复数. 【答案】55i， 55 22 i 【分析】 利用OC OAOB 求得点C表示的复数,利用 1 2 OMOC 求得点M表示的复数 【详解】 因为OA ,OB 分别表示复数3i,24i, 所以OC OAOB 表示的复数为 32455iii,即点C表示的复数为55i, 又 1 2 OMOC ,所以OM 表示的复数为 55 22 i,即点M表示的复数为 55 22 i 9、如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0，32i，24i ，其中 i
13、 为虚数单位. (1)求AO 对应的复数. (2)求CA 对应的复数； (3)求OB 对应的复数. 【答案】(1)32i ；(2)52i；(3)16i. 【分析】 （1）由A点坐标，即可求解； （2）由根据向量的减法几何意义，结合,A C坐标，即可求解； （3）根据向量的加法的几何意义，以及,A C坐标，即可求解. 【详解】 (1)因为AO OA ，所以AO 表示的复数为32i . (2)因为CA OAOC ，所以CA 表示的复数为(32 )( 24 )52iii . (3)OB OAOC ，所以OB 对应的复数为(32 )( 24 )16iii . 10、计算： （1）( 87 )( 3 )
14、ii ； （2）(43 )( 54 )ii ； （3） 13 (1) 22 ii ； （4） 3113 2222 ii ； （5）(1)(1)( 1)iii . 【答案】（1）21 24i；（2）32i；（3） 1313 22 i ；（4） 13 22 i ；（5）1 i 【分析】 运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可. 【详解】 （1） 2 ( 87 )( 3 )24212124iiiii ； （2） 2 (43 )( 54 )20 16151232iiiiii ； （3） 2 1311331313 (1) 22222222 iiiiii ； （4） 2 3113331313
15、2222444422 iiiiii ； （5） 2 (1)(1)( 1)111iiiiiiii . 11、计算： （1） 2 2 i i ； （2） 2 74 i i ； （3） 2 1 (2) i ； （4） 2 5(4) (2) i ii . 【答案】（1） 24 55 i；（2） 181 6565 i；（3） 34 2525 i；（4）1 38i. 【分析】 运算复数除法的运算法则，结合复数的乘法和加减法的运算法则直接求解即可. 【详解】 （1） 2 22 (2)4224 2(2)(2)555 iiiii i iii ； （2） 2 2(2)(74 )14 874181 74(74 )(
16、74 )656565 iiiiii i iii ； （3） 22 1113434 (2)4434(34 )(34 )2525 i i iiiiii ； （4） 22 2 2 5(4)5(168)5(15 8 )( 1 2 ) 15 308161 38 (2)2( 1 2 )( 1 2 ) iiiii iiii iiiiii . 12、在复数范围内解下列方程： （1） 2 20 x ； （2） 2 0axbxc ，其中, ,a b cR，且 2 0,40abac 【答案】（1） 2xi （2） 2 4 22 bac b xi aa 【分析】 （1）利用配方法得到方程的根； （2）利用配方法得到方程的根 【详解】 解：（1）因为 22 ( 2i)(2i)2 ，所以方程 2 20 x 的根为 2xi （2）将方程 2 0axbxc 配方，得 2 2 2 4 24 bbac x aa ， 2 4 22 bac b xi aa 所以原方程的根为 2 4 22 bac b xi aa
