1、6.4 平面向量的应用平面向量的应用 知识梳理知识梳理 1、正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccosA； b2c2a22cacosB； c2a2b22abcosC 常见 变形 (1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsinAsinBsinC； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A
2、cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2、SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B abc 4R 1 2(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. 3、在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aabab 解的个数一解两解一解一解无解 4、相关结论 （1）三角形中的三角函数关系 sin(AB)sin Ccos(AB)cos C sinAB 2 cosC 2 cosAB 2 sinC 2 （2）
3、三角形中的射影定理 在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B. （3）在ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos Acos B. 知识典例知识典例 题型一 几何图形中的向量应用 例 1已知直角梯形ABCD中，/ /ADBC，90ADC，2AD ，1BC ，P是腰DC上的动点，则3PAPB 的最小值为_. 【答案】5 【分析】 以,DA DC为 , x y轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值. 【详解】 由题：以,DA DC为 , x y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
4、 设0,0,1,2,0 ,0CaPbBaAba， 则32,3 1,5,34PAPBbabab 2 325345PAPBab ，当 3 4 a b 取得最小值. 故答案为：5 巩固练习巩固练习 已知三个点2,1A，3,2B，1,4D . （1）求证：ABAD； （2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2）0,5C，矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为 4 5 . 【分析】 （1）利用向量垂直证明即可； （2）设C坐标，根据向量相等求C点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值. 【详解】 解： （1）由题知，1,1AB ，
5、3,3AD ，所以131 30AB AD ，所以AB AD ，所以ABAD； （2） 设点C的坐标为,C x y， 则根据四边形ABCD为矩形得AB DC ， 即：1,11,4xy， 所以 11 41 x y ， 解得0,5xy，所以0,5C； 所以2,4AC ，4,2BD ， 所以 16164 cos, 2052 52 5 AC BD AC BD AC BD ， 矩形ABCD两对角线所成锐角的余弦值为 4 5 . 题型二 物理问题中的向量应用 例 2一条两岸平行的河流，水速为1/m s，小船的速度为2/m s，为使所走路程最短，小船应朝_的方 向行驶. 【答案】与水速成120角 【分析】 使
6、小船所走路程最短，v v 水船应与岸垂直，结合图形和解三角形的知识，即可求解. 【详解】 如图所示，为使小船所走路程最短，v v 水船应与岸垂直， 又1vAB 水，2vAC 船，90ADC， 所以30CAD.所以小船应朝与水速成120角的方向行驶. 故答案为：与水速成120角. 巩固练习巩固练习 在水流速度大小为4 3km/h的河中,如果船以大小为12km/h的实际航速垂直于河岸行驶,求船航行速度的大小和方 向. 【答案】大小为8 3km/h,方向与水流方向所成角为 120. 【分析】 根据向量物理含义，结合向量加法平行四边形法则求解. 【详解】 如图,设AB 表示水流速度,AC 表示船实际的
7、航行速度,作 /AD BC,则AD 表示船航行的速度 由题知| 4 3AB ,| 12AC ,90CAB ,所以 4 33 tan 123 ACB ,所以30ACB ,30CAD. 所以| 8 3,120ADBAD ,即船航行的速度的大小为8 3km/h,方向与水流方向所成角为 120. 题型三 余弦定理 例 3在ABC中，60B ， 2 bac ，则ABC一定是 A锐角三角形B钝角三角形 C等腰三角形D等边三角形 【答案】D 【分析】 根据余弦定理得到ac，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】 ABC中，60B ， 2 bac , 222 2 22 1 cos200 22 acb B
8、acacac ac 故得到ac，故得到角 A 等于角 C，三角形为等边三角形. 故答案为 D. 巩固练习巩固练习 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，如果 2b=a+c，B=30，ABC 的面积是 3 2 ，则 b=（） A1+ 3 B1 3 2 C 2 2 3 D2+ 3 【答案】A 【分析】 由三角形面积得ac，由余弦定理结合已知条件可得b 【详解】 由已知 1113 sinsin30 2242 SacBacac，6ac ， 所以 22222 2cos30()2346(23)bacacacacacb ，解得31b 故选：A 题型四 正弦定理 例 4（多选）在ABC中，内
9、角A，B，C所对的边分别为, ,a b c，若1a ， 3b ，30A ，则B （） A30B150C60D120 【答案】CD 【分析】 由题意结合正弦定理即可得 3 sin 2 B ，进而可得B，即可得解. 【详解】 由正弦定理 sinsin ab AB ， 所以 1 3 sin3 2 sin 12 bA B a ， 又ba，0180B ， 所以60B 或 120B . 故选：CD. 巩固练习巩固练习 在ABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c， 已知 b1， c2 且 2cosA （bcosC+ccosB） a， 则 A_； 若 M 为边 BC 的中点，则|AM
10、|_ 【答案】 3 7 2 【分析】 利用正弦定理、 两角和的正弦公式、 三角形内角和定理化简已知条件， 求得cos A的值， 进而求得A的大小.由M是BC 的中点，得到2AM ABAC uuuruuu ruuu r ，两边平方后进行化简，由此求得AM 的长. 【详解】 2cosA（bcosC+ccosB）a，由正弦定理可得 2cosA（sinBcosC+sinCcosB）sinA， 2cosAsin（B+C）2cosAsinAsinA，A（0，），sinA0，cosA 1 2 ，可得 A 3 . M 为边 BC 的中点，b1，c2， 则 2AM AB AC ，两边平方可得 4|AM |2|A
11、B |2+|AC |2+2AB AC 1+4+212 1 2 7， 解得|AM | 7 2 故答案为： 7 32 ， 题型五 三角形的形状 例 5若O为ABC所在平面内任意一点，且满足20BCOBOCOA ，则ABC一定为（） A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形 【答案】C 【分析】 由向量的线性运算可知 2OBOCOAABAC ，所以0BCABAC ，作出图形，结合向量加法的平行四 边形法则，可得BC AD ，进而可得ABAC，即可得出答案. 【详解】 由题意， 2OBOCOAOBOAOCOAABAC ， 所以0BCABAC ， 取BC的中点D，连结AD，并延长AD到E，使得A
12、DDE，连结BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形， 所以AB ACAE . 所以 0BC AE ，即BC AD ， 故ABAC，ABC是等腰三角形. 故选：C. 巩固练习巩固练习 在ABC中,AB a ,BC b ,且 0a b ,则ABC是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形 【答案】C 【分析】 根据数量积的公式分析 B 为钝角即可. 【详解】 因为 0a b ,所以 0AB BC , 所以 0BA BC uur uuu r .因为0a ,0b ,所以cos0B ,所以 B 为钝角,所以ABC是钝角三角形.无法判断其是不是等腰 三角形. 故选：C. 题型六 正余弦定理
13、的应用 例 6在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sincos 6 bAaB . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和sin 2AB的值. 【答案】() 3 ；() 7b ， 3 3 14 . 【解析】 分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 3tanB ，则 B= 3 （）在ABC 中，由余弦定理可得 b= 7结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 3 3 2 14 sinAB 详解：（）在ABC 中，由正弦定理 ab sinAsinB ，可得bsinAasinB， 又由 6 bsinAacos B ，得 6 asin
14、Bacos B ， 即 6 sinBcos B ，可得 3tanB 又因为0B，可得 B= 3 （）在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= 3 ， 有 222 27bacaccosB ，故 b= 7 由 6 bsinAacos B ，可得 3 7 sinA 因为 ac，故 2 7 cosA 因此 4 3 22 7 sin AsinAcosA ， 2 1 221 7 cos Acos A 所以，222sinABsin AcosBcos AsinB 4 31133 3 727214 巩固练习巩固练习 在ABC 中，CA 2 ，sinB 1 3 . （1）求 sinA 的值； （2）设 A
15、C 6，求ABC 的面积 【答案】（1） 3 3 ；（2）3 2 【解析】 分析：（1）由已知 2 CA 和三角形的内角和定理得到A与B的关系式2 2 BA 及A的范围，然后利用二倍角 的余弦函数公式化简得到一个关于sinA的方程，即可求得结果；（2） 先根据sinsin 2 CA 可求出sinC的值， 再由正弦定理求出BC，最后根据三角形面积公式可得结果. 详解：（1）由 2 CA 和ABC ，得B 2 2A, 0A 4 . 故sincos2BA，即12 2 sin A 1 3 ， 3 sin 3 A . （2）由(1)得 2 6 sinsincos1 sin 23 CAAA . 又由正弦定
16、理 sinsin BCAC AB ，得 3 2BC ， 所以 1 sin3 2 2 ABC SAC BCC . 巩固提升巩固提升 1、设ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若coscossinbCcBaA，则ABC的形状为（） A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形 【答案】B 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，判断出三角形的 形状. 【详解】 coscossinbCcBaA， 由正弦定理得： 2 sincossincossinsinsinBCCBBCAA， sin0A，sin1A， 2 A
17、，故三角形为直角三角形， 故选：B. 2、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 222 tan3abcBac，则角B的值为（） A 6 B 3 C 6 或 5 6 D 3 或 2 3 【答案】D 【分析】 先根据余弦定理进行化简，进而得到sinB的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案 【详解】 解：由 222 tan3acbBac， 222 3 cos 22 sin acbB acB ，即 3 cos cos 2 sin B B B ， 因为tanB有意义，所以cos0B ，sin0B ， 3 sin 2 B ，又在ABC中，所以B为 3 或 2 3 ， 故选:D 3、
18、已知在ABC中，1a ，2b ，60C ，则 c 等于（） A 3 B 2 C 5 D5 【答案】A 【分析】 根据已知条件,代入余弦定理,即可求得c的值. 【详解】 在ABC中,1a ,2b ,60C , 由余弦定理得 222 122 1 2cos603c , 所以 3c . 故选:A 3、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC,2b 3a，则 cosA_. 【答案】 1 3 【解析】 由BC,2b 3a， 可得bc 3 2 a， 所以 cosA 222 2bc bca 222 33 44 33 2 22 aaa aa 1 3 . 故答案为 1 3 4、（多选）下列命题中
19、，正确的是（） A在ABC中，AB，sinsinAB B在锐角ABC中，不等式sincosAB恒成立 C在ABC中，若coscosaAbB，则ABC必是等腰直角三角形 D在ABC中，若 0 60B ， 2 bac ，则ABC必是等边三角形 【答案】ABD 【分析】 对于选项A在ABC中，由正弦定理可得sinsinABabAB，即可判断出正误；对于选项B在锐角 ABC中，由0 22 AB ，可得sinsin()cos 2 ABB ，即可判断出正误；对于选项C在ABC中，由 coscosaAbB，利用正弦定理可得：sin2sin2AB，得到22AB或222AB即可判断出正误；对于选项 D在ABC中
20、，利用余弦定理可得： 222 2cosbacacB ，代入已知可得ac，又60B ，即可得到ABC的 形状，即可判断出正误. 【详解】 对于A，由AB，可得：ab，利用正弦定理可得：sinsinAB，正确； 对于B，在锐角ABC中，A，(0,) 2 B ， 2 AB ，0 22 AB ， sinsin()cos 2 ABB ，因此不等式sincosAB恒成立，正确； 对于C，在ABC中，由coscosaAbB，利用正弦定理可得：sincossincosAABB， sin2sin2AB， A， (0, )B， 22AB或222AB， AB或 2 AB ， ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假
21、命题，C错误. 对于D，由于 0 60B ， 2 bac ，由余弦定理可得： 222 bacacac ， 可得 2 ()0ac，解得a c ，可得60ACB，故正确. 故选：ABD. 5、一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行.设 C 地恰好在A地的南偏西60， 并且,A C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移. 【答案】飞机从 B 地到 C 地的位移大小是1000 3km，方向是南偏西30. 【分析】 画图，设 A 在东西基线和南北基线的交点处.由题意可知60BAC ，过点 B 作东西基线的垂线，交 AC于 D，可知 ABD为等边三角形，1000B
22、DCDkm，30CBDBCD ，再求解BC ，即可. 【详解】 如图， 设 A 在东西基线和南北基线的交点处. 依题意，AB 的方向是北偏西60，| 1000ABkm ， AC 的方向是南偏西60，| 2000ACkm ， 所以60BAC . 过点 B 作东西基线的垂线，交AC于 D， 则ABD为正三角形， 所以1000BDCDkm， 1 30 2 CBDBCDBDA . 所以90ABC . 3 sin6020001000 3 2 BCACkm ，| 1000 3BCkm . 答：飞机从 B 地到 C 地的位移大小是1000 3km，方向是南偏西30. 6、在锐角ABC中， 32 sinacA
23、 . （1）求角C的值； （2）若 7c 且 3 3 2 ABC S ，求a b的值. 【答案】（1） 3 ；（2）5 【分析】 （1）用正弦定理把已知条件转化为角的关系后可求 C； （2）用余弦定理 222 2coscababC和面积公式in 1 2 sSabC，然后 【详解】 （1） 32 sinacA ， 3sin2sinsinACA ，显然sin0A， 3 sin 2 C ， 3 C （2）由 222 2coscababC得 22 2cos7 3 abab ，即 22 7abab ， 又in 1 2 sSabC， 3 31 sin 223 ab ，即6ab ， 22222 ()2()3
24、73 625abababababab ， 5ab 7、在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长， cos2 cosaBbA ， 3 cos 3 A （1）求角B的值； （2）若 6a ，求ABC的面积 【答案】（1） 4 B ；（2） 63 2 4 S 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理化简已知等式可求 sin tan1 cos B B B ，结合范围 0B，可求B的值 （2）由（1）及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式即可计算得解 【详解】 解：（1）在ABC中，因为 3 cos 3 A ，0A，
25、 所以 2 6 sin1 cos 3 AA 因为 cos2 cosaBbA ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得sin cos2sincosABBA 所以cossinBB 若cos0B ，则sin0B ，与 22 sincos1BB 矛盾，故cos0B 于是 sin tan1 cos B B B 又因为0B， 所以 4 B （2）因为 6a ， 6 sin 3 A ， 由（1）及正弦定理 sinsin ab AB ，得 6 62 32 b ， 所以 3 2 2 b 又 62322 36 sinsin()sin()sincoscossin 32326 CABABABAB 所以ABC的面
26、积为 113 22 3663 2 sin6 22264 SabC 8、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 2 cosacbC. （1）求sin 2 AC B 的值； （2）若 3b ，求ca的取值范围. 【答案】（1） 3 2 ；（2）33，. 【分析】 （1）利用余弦定理将已知22 cosacbC化简整理得 1 cos 2 B ，可得角 B,A C，代入所求可得答案. （2）利用正弦定理和两角和差公式以及辅助角公式化简2sin60Cca ，根据0120C求解可得结果. 【详解】 （1）因为 222 22 cos2 2 abc acbCb ab ，整理可得， 222 acbac ， 由余弦定理可得 1 cos 2 B ，故60B ，120AC，所以 3 sinsin120 22 AC B ； （2）由正弦定理可得， 3 sinsinsin60 ac AC ，所以2sinaA，2sincC，所以 2sin2sin2sin2sin 1 31 2sin2cossin 22 20CCCcaCACC sin3cos2sin60CC=C， 因为0120C，所以606060C，所以 33 sin60 22 C ， 故 33ca . 所以取值范围为33，.
