1、7.3 复数的三角表示复数的三角表示 知识梳理知识梳理 1、复数biaz化为三角形式)sin(cosirz， 式中 22 bar，是复数的模（即绝对值），是以 x 轴的 正半轴为始边，射线 OZ 为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值为,(，通常记为Zarg这种形式便于作 复数的乘、除、乘方、开方运算 2、复数三角形式的乘法法则：模数相乘，幅角相加 复数三角形式的乘方法则：模数乘方，幅角 n 倍 复数三角形式的除法法则：模数相除，幅角相减 知识典例知识典例 题型一 复数的代数形式与三角形式互化 例 1复数的代数形式与三角形式互化： （1） 13i ； （2） 55 2 cossin 66 i
2、. 【答案】（1） 22 2 cossin 33 i .（2） 3i 【分析】 （1）先求得模长，以及辐角主值，再写出三角形式即可； （2）将三角形式的复数进行化简整理即可. 【详解】 （1） 2 132,arg13 3 rii ， 所以 22 132 cossin 33 ii . （2） 5531 2 cossin23 6622 iii 所以 55 2 cossin 66 i =3i. 巩固练习巩固练习 复数的代数形式与三角形式互化： （1）3 3i ； （2） 55 3 cosisin 44 . 【答案】（1） 1111 33i2 3 cosisin 66 （2） 3 23 2 i 22
3、【分析】 （1） 先根据模公式 22 rab 求出模来， 再根据其对应的点是3,3在第四象限， 求出 11 arg 33i 6 ， 最后写成三角形式. （2）分别求出 55 cos,sin 44 再整理为abi的形式. 【详解】 （1） 2 2 332 3r . 因为与3 3i 对应的点在第四象限， 所以 11 arg 33i 6 ， 所以 1111 33i2 3 cosisin 66 . （2） 5555223 23 2 3 cosisin3cos3sini33ii 44442222 题型二 三角形式化简 例 2计算： 5 (13 ) 16 2 cossin 66 i i . 【答案】 62
4、 22 i 【分析】 利用复数的三角形式化简求解即可. 【详解】 原式= 5 2 cossin 33 16 2 cossin 66 i i 5 255 cossin 363616 2 i 1111 2 cossin 66 i 3162 2 2222 ii 巩固练习巩固练习 已知 i 为虚数单位，计算： 13 2 cossin 2233 ii _. 【答案】 13 44 i 【分析】 先把 13 22 i 转化为cossin 33 i ，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】 解：原式cossin2cossin 3333 ii cossin2 cos 3333 iisin 1
5、cossin 23333 i 13 44 i . 故答案为： 13 44 i. 题型三 辐角主值 例 3复数 2021 1 1 1 i z i 的辐角主值为_. 【答案】 3 4 【分析】 先化简 2021 1 1 1 i z i 再根据辐角主值的定义求解即可. 【详解】 因为 1 1 i i i ,所以 2021 2021 1 1 i ii i 所以 33 12 cossin 44 zii ,所以复数 z 的辐角主值为 3 4 . 故答案为： 3 4 巩固练习巩固练习 复数 55 sincos 1818 zi 的辐角主值为（） A 5 18 B 16 9 C 2 9 D 7 9 【答案】D
6、【分析】 化简 55 sincos 1818 zi 利用诱导公式化成标准形式再判断即可. 【详解】 5577 sincoscossin 181899 zii ,故复数 z 的辐角主值为 7 9 . 故选：D 题型四 向量旋转 例 4将复数1 3i 对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转 2 ，得到的向量为 1 ON ，那么 1 ON 对应的复数是 （） A 3i B 3i C 3i D 3i 【答案】A 【分析】 先将复数1 3i 写成三角形式,再根据三角形式的运算法则求解即可. 【详解】 复数1 3i 的三角形式是2 cossin 33 i ,向量 1ON 对应的复数是 2 cossin 3
7、3 2 cossin3 66 cossin 22 ii i 故选：A 巩固练习巩固练习 在复平面内，把与复数22i 对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75，求与所得向量对应的复数（用代数形式表 示）. 【答案】 62i 【分析】 根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【详解】 与所得向量对应的复数为 22cos75sin75ii 2 2 cos135sin135cos75sin75ii 2 2 cos 13575sin 13575i 2 2 cos210sin210i = 31 2 2 22 i 62i . 巩固提升巩固提升 1、将复数1 i对应的向量OM 绕原点按逆时针方向旋
8、转 4 ，得到的向量为 1 OM ，那么 1OM 对应的复数是（） A2iB 2i C 22 22 i D 22i 【答案】B 【分析】 根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】 复数1 i的三角形式是2 cossin 44 i ,向量 1OM 对应的复数 2 cossincossin 4444 i 2 cossin2 22 ii 故选：B 2、复数cossin 44 zi 的辐角主值是（） A 3 4 B 4 C 3 4 D 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得. 【详解】 由辐角主值的定义，知复数cossin 44 zi 的辐角主值是 4 . 故选：
9、B. 3、将复数4 cossin 22 i 化成代数形式，正确的是（） A4B-4C4iD4i 【答案】D 【分析】 根据特殊角的三角函数值，化简即可. 【详解】 4 cossin 22 i 4 01i 4i 故选：D. 4、复数 3zi 化成三角形式为_. 【答案】 55 2 cossin 66 i 【分析】 利用复数的几何意义分析即可. 【详解】 如图,2r = =, 3 cos 2 , 5 6 , 55 32 cossin 66 ii 故答案为： 55 2 cossin 66 i 5、计算：6 3 cos135isin135 _. 【答案】 22i 【分析】 先将 6 转化三角形式6 c
10、os0isin0，再用复数的除法求解. 【详解】 6 3 cos135isin1356 cos0isin03 cos135isin135 2 cos 0135isin 01352 cos135isin135 22i . 故答案为： 22i . 6、复数3 cossin 55 zi 的模是_. 【答案】3 【分析】 根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模. 【详解】 复数3 cossin 55 zi 是三角形式， 故z的模是 3. 故答案为：3. 7、复数 1 cossin 33 i 的代数形式是_. 【答案】 13 22 i 【分析】 根据复数的除法运算进行计算，即可化简为代数运算. 【详
11、解】 113 cossin 3322 cosisin 33 ii . 故答案为： 13 22 i. 8、计算：82 cos45sin45ii _. 【答案】2 2 2 2i 【分析】 将8i化为复数的三角形式，再利用除法法则，进行计算即可. 【详解】 82 cos45sin45ii 8 cos90sin902 cos45sin45ii 4 cos 9045sin 9045i 4 cos45sin45i 2 22 2i 故答案为：2 2 2 2i . 9、已知复数z的模为 2，实部为 3，求复数z的代数形式和三角形式. 【答案】 3zi 或 3zi ；2 cossin 66 zi 或2 coss
12、in 66 zi . 在复平面内，把与复数4 4 3i 对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转15，求与所得向量对应的复数（用代数形式 表示）. 【答案】4 2 4 2i 【分析】 根据复数除法的意义，进行计算即可. 【详解】 与所得向量对应的复数为44 3cos15sin15ii 8 cos60sin60cos15sin15ii 8 cos 6015sin 6015i 8 cos45sin45i 22 8 22 i 4 24 2i . 10、把复数 1 z与 2 z对应的向量OA ，OB 分别按逆时针方向旋转 4 和 5 3 后，与向量 OM 重合且模相等，已知 2 13zi ，求复数 1 z的代数式和它的辐角主值. 【答案】 22i , 3 4 【分析】 根据题意列出等式,再根据复数的三角形式运算求解即可. 【详解】 由复数乘法的几何意义得 12 55 cossincossin 4433 zizi , 又 2 44 132 cossin 33 zii 1 4455 2 cossincossin 3333 cossin 44 ii z i 2 cos 3sin 3 44 i 22i 1 z的辐角主值为 3 4
