1、8.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 知识梳理知识梳理 1、表面积公式 图形表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就 是展开图的面积 旋转 体 圆柱 底面积：S底r2 侧面积：S侧2rl 表面积：S2rl2r2 圆锥 底面积：S底r2 侧面积：S侧rl 表面积：Srlr2 圆台 上底面面积：S上底r2 下底面面积：S下底r2 侧面积：S侧l(rr) 表面积：S(r2r2rlrl) 2、体积公式 （1）柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 VSh. （2）锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V1 3Sh. （3）台体：台体的上，下底面面积分别为
2、S，S，高为 h，则 V1 3(S SSS)h. 3、球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V4 3R 3. 4、球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍 知识典例知识典例 题型一 棱柱的体积 例 1底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱的体积是（ ） A 3 B1C 3 2 D 1 3 【答案】A 【分析】 根据棱柱体积公式求得结果. 【详解】 底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱的体积是 2 3 (2 ) 13 4 故选：A 巩固练习巩固练习 已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，体对角线的长为2 14，则这个长方体的体积是（）
3、 A48B24C12D6 【答案】A 【分析】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 a，2a，3a，利用过一个顶点的三条棱的平方和等于对角线长的平方 求得 a，则答案可求. 【详解】 由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 a，2a，3a， 则有 2 22 2 232 14aaa， 即 2 144 14a ，解得2a ， 长方体的过一个顶点的三条棱长分别为 2，4，6， 这个长方体的体积是2 4 648V ， 故选：A. 题型二 棱锥的表面积与体积 例 2如图，已知高为 3 的棱柱 111 ABCABC的底面是边长为 1 的正三角形，则三棱锥 1 BABC的体积为（ ） A 1
4、 4 B 1 2 C 3 4 D 3 6 【答案】C 【分析】 利用棱锥的体积公式计算即可 【详解】 三棱锥 1 BABC的体积为： 11133 1 13 33224 ABC Sh 故选：C 巩固练习巩固练习 如图，在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，截去三棱锥 1 AABD，求 （1）截去的三棱锥 1 AABD的表面积； （2）剩余的几何体 1111 ABC DDBC的体积. 【答案】（1）6 2 3 ；（2） 20 3 【分析】 （1）三棱锥 1 AABD中 1 ABD是边长为2 2的等边三角形， 1 A AD、 1 A AB、ABD都是直角边为2的等腰直 角三角形，计算四
5、个三角形面积之和即可求解. （2）正方体的体积减去三棱锥 1 AABD的体积即得剩余的几何体 1111 ABC DDBC的体积. 【详解】 （1）由正方体的特点可知三棱锥 1 AABD中， 1 ABD是边长为2 2的等边三角形， 1 A AD、 1 A AB、ABD都 是直角边为2的等腰直角三角形， 所以截去的三棱锥 1 AABD的表面积 111 2 31 2 232 262 3 42 A BDA ADA ABABD SSSSS （2）正方体的体积为 3 28 ， 三棱锥 1 AABD的体积为 1 1114 2 2 2 3323 ABD SAA ， 所以剩余的几何体 1111 ABC DDBC
6、的体积为 420 8 33 . 题型三 圆锥的表面积与体积 例 3将半径为3，圆心角为 2 3 的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（） AB2 2C3D 2 2 3 【答案】D 【分析】 求得扇形弧长后可得圆锥底面周长，由此确定底面半径和圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果. 【详解】 由扇形弧长公式可求得弧长 2 32 3 L ，圆锥底面周长为2， 圆锥底面半径 1r ，圆锥的高 22 312 2h ， 圆锥的体积 2 12 2 33 Vrh . 故选：D. 巩固练习巩固练习 圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为（） A 2 20 cm B 2 10 cm C
7、2 28 cm D 2 14 cm 【答案】A 【分析】 根据圆柱的侧面积公式计算即可. 【详解】 圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm， 则圆柱的侧面积为 2 22 520cmS 侧 . 故选：A 题型四 多面体的表面积与体积 例 4如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且 ADE、BCF均为正三角 形，/ /EFAB，2EF ，则该多面体的体积为（） A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 4 3 【答案】A 【分析】 将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【详解】 在EF上取点,M N使 1 2 EMFN，连接,AM DM BN CN， A
8、BCD是边长为 1 的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB， 所以四边形ABFE为等腰梯形，2EF ，1MN ， 根据等腰梯形性质，,AMEF DMEF BNEF CNEF， ,AM DM是平面AMD内两条相交直线，,BN CN是平面BNC内两条相交直线， 所以EF 平面AMD，EF 平面BNC， 3 2 MAMDNBNC ， 几何体体积为2 E AMDAMD BNC VVV 22 22 113111312 1211 322222223 ， 故选：A 巩固练习巩固练习 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.正四棱锥PEFGH的高 为 3，2
9、EF ，1AE ，则该组合体的表面积为（） A20B4 3 12 C16D4 3 8 【答案】A 【分析】 该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出 正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可. 【详解】 由题意，正四棱锥PEFGH的斜高为3 12，该组合体的表面积为 1 2 24 2 142 220 2 . 故选：A 题型五 台体的表面积与体积 例 5已知圆台的上下底面半径分别为2,5，母线长为5求： （1）圆台的高； （2）圆台的体积 注：圆台的体积公式： 1 3 VSS SS h，其中 S ，S 分别为上下底面
10、面积，h 为圆台的高 【答案】（1）4；（2）52. 【分析】 （1）作出圆台的直观图，过点 A 作 2 AHBO，垂足为 H，由勾股定理可求圆台的高； （2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积 【详解】 （1）作出圆台的直观图，如图， 设圆台上下底面圆心分别为 12 ,O O，AB为圆台的一条母线， 连接 12 OO， 12 ,AO BO，过点 A 作 2 AHBO，垂足为 H，则AH的长等于圆台的高， 因为圆台的上下底面半径分别为2,5，母线长为5 所以 12 2,5AOBO，5AB ， 则523BH ，可得 22 4AHABBH ， 故圆台的高为4； （2）圆 1 O的面积 1
11、 4S 圆 2 O的面积为 2 25S 故圆台的体积为 1156 (41025 )452 33 巩固练习巩固练习 正四棱台两底面边长分别为3和9. （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 【答案】（1）72 3；（2） 9 4 . 【分析】 （1）设 1 O、O分别为上、下底面的中心，过 1 C作 1 C EAC于E，过E作EFBC于F，连接 1 C F，则 1 C F为 正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积； （2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高. 【详解】 （1） 如图， 设 1
12、 O、O分别为上、 下底面的中心， 过 1 C作 1 C EAC于E， 过E作EFBC于F， 连接 1 C F， 则 1 C F 为正四棱台的斜高， 由题意知 1 45C CO ， 11 2 (93)3 2 2 CECOEOCOC O ， 又 2 sin453 23 2 EFCE ， 斜高 2222 11 (3 2)33 3C FC EEF ， 1 (4 34 9) 3 372 3 2 S 侧 ； （2）由题意知， 22 3990SS 上底下底 ， 1 (39)490 2 h 斜 ， 90 215 12 44 h 斜 ，又 93 3 2 EF ， 22 9 4 hhEF 斜 . 题型六 球体的
13、表面积与体积 例 6一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 acm，则球的表面积为（） A 2 3 B 2 C 3 3 3 2 D 3 3 2 【答案】A 【分析】 由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项. 【详解】 如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为 R，则 222 2+aaRa ，解得 3 2 Ra ， 所以外接球的表面积为 2 2 3 43 2 aa ， 故选：A. 巩固练习巩固练习 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（） A 4 3 B 2 3 C 3 2 D 6 【
14、答案】A 【分析】 计算得到球的半径为 1，再计算体积得到答案. 【详解】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长相等，故可得球的直径为 2，故半 径为 1，其体积为 3 44 1 33 . 故选：A 题型七 表面积、体积与函数 例 7 底面半径为 2，高为4 2的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱). （1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数. （2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值. 【答案】（1） 24 2hx ；（2） 4 2 3 x = ， max 64 3 S. 【分析】 （1）根
15、据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据, h x，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最 大值. 【详解】 （1）由题意： 2 4 2 2 24 2 24 2 x h hx . （2） 2 24Sxh x 22 2816 2xxx 2 616 2xx 2 4 264 6 33 x ，0,2 2x， 当 4 2 3 x = 时， max 64 3 S . 巩固练习巩固练习 已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱. （1）求此圆柱的侧面积的表达式. （2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）过圆锥及其内接圆
16、柱的轴作截面，设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积2Srx ，由 rHx RH 能求出圆 柱的侧面积（2）圆柱侧面积为关于x的二次函数，利用二次函数性质可知圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积 最大. 【详解】 （1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示， 因为 rHx RH ，所以 R rRx H 从而 2 2 22 R SrxRxx H 侧 （2）由（1） 2 2 2 R SRxx H 侧 ，因为 2 0 R H ， 所以当 2 4R 22 bRH x a H 时，S侧最大， 即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大 巩固提升巩固提升 1、已知正方体外接球的体积是 32 3 ，那么
17、该正方体的内切球的表面积为_ 【答案】 16 3 【分析】 由正方体的对角线是外接球直径，正方体的棱长等于内切球直径可求解 【详解】 设正方体棱长为a，则 3 4332 323 a ，解得 4 3 3 a ， 内切球半径为 2 3 23 a r ，表面积为 2 2 316 4 33 S 故答案为： 16 3 2、若圆柱的高 h 和底面半径 r 之比:2:1h r ，且圆柱的体积54V，则r _ 【答案】3 【分析】 根据:2:1h r 与54V列方程求解即可. 【详解】 因为圆柱的高 h 和底面半径 r 之比:2:1h r ， 所以 23 2 ,254hr Vr hr，得3r 故答案为：3.
18、3、已知一圆台的底面圆的周长分别为4和10，高为 4，则圆台的表面积为_. 【答案】64 【分析】 先计算出母线的长，再计算表面积和底面积，然后求和即可. 【详解】 解：圆台的上下底面半径分别为, r R，则24 ,2=10rR，=2, =5rR， 圆台的母线长 2 2 4525l ， 所以圆台的表面积 22 1 54104253564 2 SrR ， 故答案为：64 4、若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，则球的表面积为_. 【答案】 2 3 2 a 【分析】 如图所示，把正四面体放在正方体中，计算半径得到球的表面积. 【详解】 如图所示：把正四面体放在正方体中，设正
19、方体的棱长为 x，则 2ax ， 2 2 xa ， 由题意得 26 233 22 a Rxa ， 6 4 Ra ， 22 3 4 2 SRa 球 . 故答案为： 2 3 2 a 5、母线长为 5 的圆锥的侧面展开图的圆心角为 8 5 ，则该圆锥的底面圆的半径为_，体积为_ 【答案】416 【分析】 求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积 【详解】 母线长为 5 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 8 5 ， 所以侧面展开图的弧长为： 8 58 5 l ， 由弧长底面周长，即82 r，4r ， 所以圆锥的高为 22 543h ， 所以圆锥体积 22 11 4316 33
20、 Vrh 故答案为：4；16. 6、如图，直三棱柱，高为 6，底边三角形的边长分别为 3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩 余部分几何体的体积. 【答案】366 【分析】 由勾股定理得底面是直角三角形，求得其内切圆的半径，再利用三棱柱和圆柱的体积公式可求得答案. 【详解】 因为 222 345 ，所以底面是直角三角形， 所以上、下底面内切圆半径 345 1 2 r ， 所以剩余部分几何体的体积 2 1 3 4 616366 2 V ， 所以剩余部分几何体的体积为366. 7、如图，在长方体ABCDA B C D中，截下一个棱锥CA DD，求棱锥CA DD的体积与剩余部分的体
21、积 之比 【答案】1:5 【分析】 利用棱锥和棱柱的体积公式即可求解. 【详解】 长方体ABCDA B C D可以看成四棱柱ADD ABCC B设四棱柱的底面ADD A的面积为 S，高为 h，则 它的体积为VSh 棱锥CA DD的底面面积为 1 2 S，高为 h 因此，棱锥CA DD的体积 111 326 CA DD VShSh ，余下的体积是 15 66 ShShSh : 1:5 CA DD VV 棱锥剩 8、已知正四面体棱长为 2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径. 【答案】 66 , 26 【分析】 设外接球和内切球的半径分别为 R，r，球心 O 在高线上，底面中心为 1 O,根据
22、正四面体棱长为 2，分别求得 1 CO，在 1 OOC中，由 222 11 ROOCO求外接球半径，利用等体积法由 1 11 4 33 ABCABC SPOSr 求内切球半径即可., 【详解】 如图所示： 设外接球和内切球的半径分别为 R，r，由于正四面体是中心对称图形， 所以外心和内心重合，球心 O 在高线上，底面中心为 1 O, 因为正四面体棱长为 2， 所以 22 111 22 32 6 , 333 COCDPOCPCO， 在 1 OOC中， 222 11 ROOCO，即 22 2 2 62 3 33 RR ， 解得 6 2 R ， 因为正四面体的体积为 1 11 4 33 ABCABC
23、 SPOSr , 所以 112 611 23423 32332 r ， 解得 6 6 r 9、在直三棱柱 111 ABCABC中， 1AB ，2BC ，3AC ， 1 1AA . （1）求三棱锥 1 AABC的表面积； （2）求 1 B到面 1 ABC的距离. 【答案】（1） 17 3 2 ；（2） 21 7 . 【分析】 （1）根据 222 ABACBC ，得到ABC为直角三角形，再根据直三棱柱 111 ABCABC，得到 1 A AB， 1 A AC 为直角三角形， 1 ABC是等腰三角形，分别求得各三角形的面积即可. （2）易得三棱锥 1 CA AB与三棱锥 11 CAB B的体积相等，
24、又 11 1 1133 1 3326 CA ABAABCABC VVSAA ， 则 1 111 3 6 CA B BBA BC VV ，利用等体积法求解. 【详解】 （1）因为 222 ABACBC ， 所以ABC为直角三角形， 则 13 22 ABC SAB AC . 因为直三棱柱 111 ABCABC， 所以 1 A AB， 1 A AC为直角三角形， 则 2AB ， 1 2AC ， 1 1 11 22 A AB SA A AB ， 1 1 13 22 ACA SA A AC ， 在等腰 1 ABC中， 1 AB边上的高 14 2 h ，则 1 1 2 17 2 A BC SAB h ，
25、所以三棱锥 1 AABC的表面积 111 17 3 2 ABCA ABA ACA BC SSSSS . （2）因为三棱锥 1 CA AB与三棱锥 11 CABB的底面积相等 11 1 A ABA B B SS ， 高也相等（点 C 到平面 11 ABB A的距离）； 所以三棱锥 1 CA AB与三棱锥 11 CAB B的体积相等. 又 11 1 1133 1 3326 CA ABAABCABC VVSAA ， 所以 1 111 3 6 CA B BBA BC VV . 设 1 B到面 1 ABC的距离为 H， 则 111 13 36 BA BCA BC VSH ，解得 21 7 H . 10、
26、已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 和 8 的正方形，侧面是腰长为 8 的等腰梯形，求该四棱台的表面积. 【答案】80 48 15 【分析】 首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可. 【详解】 如图， 在四棱台 1111 ABCDABC D中， 过 1 B作 1 B FBC，垂足为F， 在 1 Rt B FB中， 1 (84)2 2 BF ， 1 8B B ， 故 22 1 822 15B F ， 所以 1 1 1 (84) 2 1512 15 2 BB C C S 梯形 ， 故四棱台的侧面积4 12 1548 15S 侧 ， 所以四棱台的表面积48 154 48 88
27、048 15S 表 . 11、如图所示，已知直角梯形，ABCD，/ /BCAD，90ABC ，5ABcm，16BCcm，4ADcm求： （1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积； （2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 【答案】（1） 2 532cm（2） 2 130cm 【分析】 （1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，计算圆台的表面积得到答案. （2）如图所示，以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案. 【详解】 （1）以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台， 其上底面半径是 4cm，下底面半径是 16cm，母线 22 5(164)13(cm)DC . 该几何体的表面积为 222 (4 16) 13416532cm. （2）以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体， 如图所示.其中圆锥的高为16412(cm)，由（1）可知圆锥的母线DC长为 13cm， 又圆柱的母线AD长为 4cm， 故该几何体的表面积为 22 25 455 13130cm .
