1、10.1 随机事件与概率随机事件与概率 知识梳理知识梳理 1、我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间，用表示样本空 间，用表示样本点。 2、将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写 字母 A，B，C，.表示。在每次试验中，当且仅当 A 中某个样本点出现时，称为事件 A 发生。作为自身的子集，包 含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件。而空集不包含任 何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件。 3、事件 A 与事件 B 至少有一个发
2、生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 A 中，或者在事件 B 中，我们称这个事件 为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作BA 4、事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中，我们称这样的一个事件为事 件 A 与事件 B 的交事件（或积事件），记作BA 5、如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是说BA是一个不可能事件，即BA，则称事件 A 与事件 B 互 斥（或互不相容） 6、如果事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即BA，且BA，那么称事件 A 与事件 B 互为对立。事件 A 的对立事件记为A 7、总结：
3、 8、古典概型 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同 我们把具有这两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看待 （3）P(A)A 包含的基本事件个数 总的基本事件个数 . 例如：掷一骰子正面向上点数是 3 的倍数的概率是1 3 知识典例知识典例 题型一 事件 例 1（多选）下列事件中，是随机事件的是（ ） A2021年8月18日，北京市不下雨 B在标准大气压下，水在4 C 时结冰 C从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1
4、号签 D若xR，则 2 0 x 【答案】AC 【分析】 根据事件的概念进行判断，在某次实验中可能发生也可能不发生的事件成为随机事件 【详解】 A 选项与 C 选项为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件 故选：AC 巩固练习巩固练习 给出下列四个命题： “三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当 x 为某一实数时，可使 x20”是不 可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”是随机事 件 其中正确命题的个数是（） A0B1 C2D3 【答案】C 【分析】 利用必然事件的概念可以判断是正
5、确的命题，是偶然事件，利用不可能事件的概念判断正确，利用随机事件的 概念判断正确. 【详解】 对于，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2 和 3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事 件，正确； 对于，x=0 时 x2=0，所以该事件不是不可能事件，错误； 对于，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，错误； 对于，“从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件， 正确故正确命题有 2 个. 故选：C 题型二 样本空间 例 2笼子中有 4 只鸡和 3 只兔，依次取出一只，直到 3 只兔全部取
6、出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间 _. 【答案】0,2,4,6,8 【分析】 由取动物的次数来确定样本点。 【详解】 解析：最少需要取 3 次，最多需要取 7 次，那么剩余鸡的只数最多 4 只，最少 0 只，所以剩余动物的脚数可能是 8，6， 4，2，0. 故答案为： 0,2,4,6,8 巩固练习巩固练习 在掷骰子的试验中，记一枚骰子向上的点数为样本点，则样本空间1,2,3,4,5,6 ，的子集可以确定一系列随机 事件. 问题 （1）此随机试验中的基本事件有哪些？ （2）设事件D 出现的点数大于 3，如何用基本事件表示事件 D？ （3）设事件D 出现的点数大于 3，事件E 出现的点数
7、小于 5，如何用基本事件表示事件DE？ 【答案】（1）见解析； （2） 456 DCCC; （3） 4 DEC. 【分析】 （1）基本事件就是向上的点数，用大括号括起来可得； （2）点数为 4,5,6 和事件组成，可用（1）中的 456 ,C C C相加； （3）既大于 3 又小于 5 的点数只有 4，由此可知 【详解】 （1）基本事件有 1 1C ， 2 2C ， 3 3C ， 4 4C ， 5 5C ， 6 6C ，共 6 个. （2）事件 D 可由基本事件的和表示，即 456 4,5,6DCCC. （3） 4 4,5,61,2,3,44DEC. 题型三 互斥事件与对立事件 例 3(多选)
8、从装有大小和形状完全相同的 5个红球和3 个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对 立的是（） A至少有 1 个红球与都是红球B至少有 1 个红球与至少有 1 个白球 C恰有 1 个红球与恰有 2 个红球D至多有 1 个红球与恰有 2 个红球 【答案】CD 【分析】 根据互斥不对立事件的定义辨析即可. 【详解】 根据互斥事件与对立事件的定义判断. A 中两事件不是互斥事件,事件“3 个球都是红球”是两事件的交事件; B 中两事件能同时发生,如“恰有 1 个红球和 2 个白球”,故不是互斥事件; C 中两事件是互斥而不对立事件;至多有 1 个红球,即有 0 个或 1 个红球,与恰
9、有 2 个红球互斥,除此还有 3 个都是红球的 情况,因此它们不对立, D 符合题意. 故选：CD 巩固练习巩固练习 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（） A“至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生” B恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生” C“至少 1 名男生”与“全是男生” D“至少 1 名男生”与“全是女生” 【答案】D 【解析】 从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加演讲比赛， “至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”不互斥； “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”是互斥不对立事件； “至少
10、 1 名男生”与“全是男生”不互斥； “至少 1 名男生”与“全是女生”是对立事件； 故选 D 题型四 古典概型 例 4某服务电话，打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1；响第 2 声时被接的概率是 0.2；响第 3 声时被接的概率 是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35. （1）打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？ （2）打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少？ 【答案】（1）0.95； （2）0.05. 【分析】 （1）利用互斥事件有一个发生的概率加法公式求得结果； （2）利用对立事件的概率公式进行求解即可得结果. 【详解】 （1）设事件“电话响第k声时被接”为A
11、k kN， 那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响 5 声之前被接”为事件A， 根据互斥事件概率加法公式， 得 1234P AP AAAA 1234P AP AP AP A 0.1 0.20.30.350.95. （2）事件“打进的电话响 4 声而不被接”是事件A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立事件，记为A. 根据对立事件的概率公式，得 11 0.950.05P AP A . 巩固练习巩固练习 在抛掷一颗骰子的试验中，事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 B 表示“小于 5 的点数出现”，则事件 A+B发生 的概率为_（B表示B的对立事件） 【答案】 2 3 【分析】 由
12、题意知试验发生包含的所有事件是 6，事件A和事件B是互斥事件，求出事件A和事件B包含的基本事件数，根据 互斥事件和古典概型概率公式得到结果 【详解】 随机抛掷一颗骰子一次共有 6 中不同的结果， 其中事件A“出现不大于 4 的偶数点”包括 2，4 两种结果， 21 ( ) 63 P A ， 事件B“出现小于 5 的点数”的对立事件B， 42 ( ) 63 P B ， 1 ( ) 3 P B ， 且事件A和事件B是互斥事件， 112 () 333 P AB 故答案为： 2 3 巩固提升巩固提升 1、（多选）在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，下列事件中，概率为
13、0.7 的事件是（） A恰有一件一等品B至少有一件一等品 C至多有一件一等品D至少有一件二等品 【答案】CD 【分析】 根据已知条件依次计算选项中事件的概率，即得结果. 【详解】 将 3 件一等品编号为 1，2，3，2 件二等品编号为 4，5，从中任取 2 件有 10 种取法:(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，样本空间共包含 10 个样本点. A 选项中，恰有 1 件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有 1 件一等品的概率为 P1=0.6； B 选项中，
14、恰有 2 件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，故恰有 2 件一等品的概率为 P2=0.3；其对立事件是“至多 有一件一等品”，即选项 C，概率为 P3=1-P2=0.7，满足题意； D 选项中，至少有一件二等品的取法(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，故至少有一件二等品的 概率为 P4=0.7，符合题意. 故选：CD. 2、（多选）下列命题为真命题的是（） A将一枚硬币抛两次，设事件 M：“两次出现正面”，事件 N：“只有一次出现反面”，则事件 M 与 N 互为对立事件 B若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A 与 B 为互
15、斥事件 C若事件 A 与 B 为互斥事件，则事件 A 与 B 互为对立事件 D若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 AB 为必然事件 【答案】BD 【分析】 根据互斥事件和对立事件的概念和性质，逐个分析判断即可得解. 【详解】 对 A，一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果， 则事件 M 与 N 是互斥事件，但不是对立事件，故 A 错； 对 B，对立事件首先是互斥事件，故 B 正确； 对 C，互斥事件不一定是对立事件，如 A 中两个事件，故 C 错； 对 D，事件 A，B 为对立事件，则一次试验中 A，B 一定有一个要发生，故 D 正确 故选：BD. 3、抛掷一枚骰子
16、，“向上的点数是 1 或 2”为事件A，“向上的点数是 2 或 3”为事件B，则（） AAB BAB CAB表示向上的点数是 1 或 2 或 3 DAB表示向上的点数是 1 或 2 或 3 【答案】C 【分析】 根据题意，可得122 3AB ， ，求得 113 2ABAB, , ,，即可求解 【详解】 由题意，可知122 3AB ， ， 则 113 2ABAB, , ,，AB表示向上的点数为 1 或 2 或 3 故选：C. 4、下列事件中，随机事件的个数为() 在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得 100 米短跑冠军； 在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； 从标有
17、 1，2，3，4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签； 在标准大气压下，水在 4C 时结冰 A1B2 C3D4 【答案】C 【分析】 由随机事件的定义判断事件是否即有可能发生也有可能不发生即可. 【详解】 张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件； 抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件； 有可能抽到 1 号签也有可能抽不到，所以为随机事件； 标准大气压下，水在 4C 时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件. 故选 C. 5、若 1 () 9 P AB , 2 ( ) 3 P A , 1 ( ) 3 P B ,则事件 A 与 B 的关系是() A事件 A 与
18、 B 互斥B事件 A 与 B 对立C事件 A 与 B 相互独立D事件 A 与 B 相互斥又独立 【答案】C 【分析】 先求得 P A，然后通过计算得到()( ) ( )P ABP A P B，从而判断出事件,A B相互独立. 【详解】 21 ( )1( )1 33 P AP A ， 1 ()( ) ( )0 9 P ABP A P B.事件 A 与 B 相互独立，不是互斥、对立事件. 故选：C 6、某人练习射击，他脱靶的概率为 0.20，命中 6 环、7 环、8 环、9 环、10 环的概率依次为 0.10，0.20，0.30，0.15， 0.05，则该人射击命中的概率为（） A0.50B0.6
19、0C0.70D0.80 【答案】D 【分析】 某人射击命中的对立事件是脱靶，根据对立事件概率，即可求解, 【详解】 某人练习射击，他脱靶的概率为 0.20， 该人射击命中的概率1 0.200.80P . 故选:D. 7、抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次 试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（） A 2 3 B 1 3 C 1 2D 5 6 【答案】A 【分析】 由古典概型概率公式分别计算出事件 A 和事件 B 发生的概率，又通过列举可得事件 A 和事件 B 为互斥事件，进而得出 事件 A 或
20、事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的概率之和 【详解】 事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”， P(A) 21 63 ，P(B) 21 63 ， 又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6， 所以事件 A 和事件 B 为互斥事件， 则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 P（AB）P(A)+P(B) 112 333 ， 故选：A 8、从一批羽毛球中任取一个，其质量小于4.8g的概率为 0.3，质量大于4.85g的概率为 0.32，那么质量在4.8,4.85 （单位：g）范围内的概率
21、是() A0.62B0.38C0.02D0.68 【答案】B 【分析】 根据互斥事件对立事件概率加法公式，即可求解. 【详解】 记“质量小于4.8g”为事件A，“质量大于4.85g”为事件B，“质量在4.8,4.85（单位：g）范围内”为事件C， 所以 11 0.3 0.320.38P CP AP B . 故选：B 9、已知随机事件A和B互斥，且0.5P AUB , 0.3P B .则 P A （） A0.5B0.2 C0.7D0.8 【答案】D 【分析】 根据互斥事件的概率公式可求得 P A，利用对立事件概率公式求得结果. 【详解】 A与B互斥 P ABP AP B 0.50.30.2P A
22、 11 0.20.8P AP A 本题正确选项：D 10、将一枚骰子抛掷两次. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示事件E “向上的点数之和大于 8”. 【答案】（1） 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6
23、. （2） 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6E 【解析】 【分析】 （1）方法一：用, x y表示先后抛掷的点数，并列举所有的实验结果，方法二：（树状图法）画图表示； （2）分别通过上述两种方法找到满足条件的基本事件. 【详解】 方法一（列举法）： （1）用, x y表示试验的结果，其中x表示第 1 次抛掷后向上的点数，y表示第 2 次抛掷后向上的点数，则样本空间 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,1
24、 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6. （2） 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6E . 方法二（树状图法）： 把一枚骰子抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示： （1）由图，知样本空间 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6. （2）事件E包含 10 个样本点（已用“”标记出）， 故 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6E .
