1、函数压轴之 26 个经典参变分离问题 微信公众号：渝城高中数学会 608396916 高中资料分享 QQ 群：608396916 1已知函数( )ex bf xax , a bR，且(0)1f，当0 x 时，( )cos(1)f xxx 恒成立，则a的取值范围为（） A( ) 0,+B1 e, C,eDe, 【解析】 由题意， 0e1 b f ，解得0b ，则( )exf xax， 则当0 x 时，ecos(1) x axxx，即 e cos(1) x ax x 恒成立， 令 e ,0, x s xx x ，则 2 e1 x x sx x ， 当0,1x时， 0s x ，1,x时， 0s x
2、， 所以 s x在( ) 0,1上是减函数，在( ) 1,+是增函数， min 1es xs， 又因为当1x 时，cos(1)x 取得最大值 1， 所以当1x 时， e cos(1) x x x 取得最大值1 e， 所以1 ea . 【小结】 本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为 e cos(1) x ax x ，进 而求出 e cos(1) x x x 的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算 求解能力，属于中档题. 2若函数( )ln x f xxxae没有极值点，则实数a的取值范围是（） A 1 , e B 1 0, e C 1 , e D 1 ,0 e 【
3、解析】 由题意可得，( )1 ln0 x fxxae 没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两 侧符号相同） ， 即 1 ln x x a e 没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令 1ln ( ) x x g x e ，0 x ， 则 1 ln1 ( ) x x x g x e ， 令 1 ( )ln1h xx x 则 h x在0,上单调递减且 10h， 所以当01x时，( )0h x ，( )0g x ， g x单调递增， 当1x 时，( )0h x ，( )0g x ， g x单调递减，故当1x 时， g x取得最大 值 1 (1)g e ， 又0 x 时，( ) g x ，
4、x 时，( )0g x ， 结合图象可知， 1 a e 即 1 a e . 故选：C. 【小结】 已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法： （1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一 平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 3 若函数 2 4lnf xxxbx 在0,上是减函数， 则b的取值范围是 （） A, 2 B, 2 C2,D2, 【答案】A 【分析】 2 ( )4lnf xxxbx 在0,上是减函数等价于 0fx 在0,上恒成立， 利用分离参数求解即可.
5、【解析】 2 ( )4lnf xxxbx 在0,上是减函数，所以 0fx 在0,上恒成 立，即 ( ) 240 b fxx x ，即 2 24bxx ， 22 242(1)22xxx ，2b ， 故选：A. 【小结】 本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数 的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知 数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较 求参数需注意若函数在区间, a b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上 也是单调的; 利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数 范围. 4 已知
6、函数 x e f xexe （e为自然对数的底数） ， ln4g xxaxea 若 存在实数 1 x， 2 x，使得 12 1f xg x，且 2 1 1 x e x ，则实数a的最大值为 （） A 5 2e B 2 5 ee C 2 e D1 【答案】C 【分析】 根据 1f e 可求得 2 2 exe，利用 2 1g x得到 2 2 ln3x a xe ，将问题转化为 ln3x h x xe ， 2 ,xe e 的最大值的求解问题，利用导数求得 maxh x，从而求 得结果. 【解析】 0 1f eeee ， 1 xe， 又 2 1 1 x e x 且 2 0 x ， 2 2 exe ，
7、由 2 1g x，即 22 ln41xaxea，整理得： 2 2 ln3x a xe ， 令 ln3x h x xe ， 2 ,xe e ，则 22 1 ln3ln2 e xexx xx h x xexe ， e y x 和lnyx在 2 , e e 上均为减函数， ln2 e yx x 在 2 , e e 上单调递减， max 1 ln220ye ， 即 0h x 在 2 , e e 上恒成立， h x在 2 , e e 上单调递减， max ln32 2 e h xh e ee ，即实数a的最大值为 2 e . 故选：C. 【小结】 本题考查导数在研究函数中的应用， 解题关键是能够通过分离
8、变量的方式将问题 转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果. 5 设函数 1 ax fxxe x 在0,上有两个零点， 则实数a的取值范围 （） A 2 , e B1,eC 1 2 , e e D 2 0, e 【答案】D 【分析】 令 0f x ，进行参变分离得 2ln 0 x ax x ，设 2ln 0 x g xx x ，将问题等 价于y=a与 g x在0 ，有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数 g x 的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项. 【解析】 令 0f x ，即 1 0 ax xe x ，解得 2ln 0 x ax x ，设 2ln
9、0 x g xx x ， 所以 f x在0 ，有两个零点等价于y=a与 g x在0 ，有两个交点. 因为 2 2 1 ln 00 x gx x x ，得x e，所以 g x在(0，e)上单调递增，在 e ，上单调递减，所以 max 2 g xg e e . 如图所示，画出 g x的大致图象。 结合图象可知， 当 2 0a e 时，y=a与 g x在0 ，有两个交点， 即此时 f x 在0 ，有两个零点. 故选：D. 【小结】 本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利 用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题. 6 已知关于x的方程 2 2ln
10、2xxxk x在 1 , 2 上有两解，则实数k的取值 范围为（） A ln2 1,1 5 B 9ln2 1, 105 C1,2D1,e 【答案】B 【分析】 利用参变量分离法可将问题转化为 2 2ln 2 xxx k x 在 1 , 2 上有两解， 进而可 将问题转化为函数 2 2ln ( ) 2 xxx f x x 与yk在 1 ,) 2 上有两个交点，利用导 数研究函数 ( )f x的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围. 【解析】 由已知可得 2 2ln 2 xxx k x 在 1 , 2 上有两解， 令 2 2ln ( ) 2 xxx f x x ， 1 ,) 2 x，则问题
11、转化为函数( )yf x与yk在 1 ,) 2 上有两个交点， 22 22 (2ln1)(2)(2ln )32ln4 ( ) (2)(2) xxxxxxxxx fx xx ， 令 2 ( )32ln4g xxxx，则 2 2232(21)(2) ( )23 xxxx g xx xxx ， 因为 1 ,) 2 x，所以( )0g x 恒成立，所以( )g x在 1 ,) 2 上单调递增，又 (1)0g， 所以当1)1, 2 x时，( )0g x， 则( )0fx ； 当1,)x时，( )0g x ， 则( )0fx ， 所以 ( )f x在 1 ,1) 2 上单调递减，在1,)上单调递增， 所以
12、 min ( )(1)1f xf，又 111 2ln 12 9ln29ln2 422 ( )() 1 25 42105 2 2 f ， 所以，实数k的取值范围为 9ln2 1, 105 . 故选：B 【小结】 本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量 分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题. 7若函数 2sin coscosfxxxxax在R上单调递增，则实数a的取值范围 是（） A 1,1B1,3C3,3D 3, 1 【答案】A 【分析】 求导 2 32sinsinfxxax ，由题意可得 0fx 恒成立，即为 2 32sinsin0 xax
13、， 设sin11txt ， 即 2 2+30tat ， 分0t ，01t ， 10t 三种情况，分别求得范围，可得实数a的取值范围. 【解析】 由函数 2sin coscosfxxxxax得 2 32sinsinfxxax ，由题意可得 0fx 恒成立，即为 2 32sinsin0 xax ， 设sin11txt ，即 2 2+30tat ， 当0t 时，不等式显然成立； 当01t 时， 3 2at t ， 由 3 2yt t 在0,1上单调递减， 可得1t 时， 3 2yt t 取得最小值 1，可得1a， 当10t 时， 3 2at t ，由 3 2yt t 在10 ，上单调递减，可得1t
14、时， 3 2yt t 取得最小值1，可得1a ， 综上可得实数a的取值范围是11 ， 故选：A. 【小结】 本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参 变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题. 8若关于x的不等式（a+2）xx2+alnx在区间 1 e ，e（e为自然对数的底数） 上有实数解，则实数a的最大值是（） A1B 1 2 (1) e e e C (3) 1 ee e D (2) 1 e e e 【答案】D 【分析】 先对 2 (2)lnaxxax化简， 2 (ln )2a xxxx， 用导数判断lnxx在x 1 , e e 的符号为正，可转化为 2
15、 2 ln xx a xx ，在x 1 , e e 有解，设( )f x 2 2 ln xx xx ，利用 导数求函数 ( )f x的最大值 max ( )f x，则a max ( )f x，即实数a的最大值为 max ( )f x. 【解析】 由 2 (2)lnaxxax，得 2 (ln )2a xxxx，令( )g x lnxx，x 1 , e e ， 则 1 ( )1g x x ，则( )g x在 1 ,1) e 递减，在(1, e递增，则( )(1)10g xg ， 即由 2 (ln )2a xxxx，得 2 2 ln xx a xx ，x 1 , e e 有解， 设( )f x 2
16、2 ln xx xx ，x 1 , e e ， 则( )fx 2 2 1 (22)(ln )(1)(2 ) (ln ) xxxxx x xx 2 (1)(22ln ) (ln ) xxx xx ， 令( )22lnu xxx，x 1 , e e ，则 2 ( )1u x x ， 故( )u x在 1 ,2) e 递减，在(2, e递增，故( )(2)42ln 20u xu， 故 ( )f x在 1 ,1) e 递减，在(1, e递增，又 1 ( )f e 2 12 0 e ee ， 2 2 ( ) 1 ee f e e 0， 故 2 max 2 ( )( ) 1 ee f xf e e ，故a
17、 2 2 1 ee e ， 即实数a的最大值为 2 2 1 ee e . 故选：D. 【小结】 本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查 了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大. 9已知函数 1 x f xex， ln1g xxax（0a ，e为自然对数的底数）. 若存在 0 0 x ,，使得 00 0f xg x，则实数a的取值范围为（） A0,1B 1 0, e C 2 1 0, e D 3 1 0, e 【答案】C 【分析】 证明出当0 x 时 0f x ，由题意可得出0 x 使得 0g x ，即 ln1x a x ， 构造函数 ln1x h x
18、 x ，利用导数求得函数 yh x的最大值，结合0a 可求 得实数a的取值范围. 【解析】 当0 x 时， 1 x f xex，则 10 x fex ， 所以，函数 yf x在0,上单调递增， 00f xf， 由题意可知，0 x 使得 0g x ，即 ln1x a x ， 令 ln1x h x x ， 其中0 x ， 则 maxah x， 2 2ln x h x x ， 令 0h x， 得 2 xe ， 列表如下： x 2 0,e 2 e 2, e h x 0 h x单调递增极大值单调递减 所以，函数 yh x的最大值为 2 2max 1 h xh e e ， 2 1 a e ， 又0a ，
19、2 1 0a e ，因此，实数a的取值范围是 2 1 0, e . 故选：C. 【小结】 本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计 算能力，属于中等题. 10 已知函数( )3 x f xeax， 其中aR， 若对于任意的 12 ,1,)x x ， 且 12 xx， 都有 21 x f x 1212 x fxa xx成立，则a的取值范围是（） A3,)B2,)C(,3D(,2 【答案】C 【分析】 由已知将原不等式等价于 12 12 f xaf xa xx 恒成立，构造函数 ( ) ( ) f xa h x x ， 求导 2 3 ( )0 xx xeea h x
20、x 在1,)上恒成立，运用参变分离可得选项 【解析】 对于任意的 12 ,1,)x x ，且 12 xx，都有 211212 x fxx fxa xx成立， 不等式等价为 12 12 f xaf xa xx 恒成立， 令 ( ) ( ) f xa h x x ，则不等式等价为当 12 xx时， 12 h xh x恒成立，即函数( )h x 在(1,)上为增函数； 3 ( ) x eaxa h x x ，则 2 3 ( )0 xx xeea h x x 在1,)上恒成立； 30 xx xeea ；即 3 xx axee 恒成立， 令( ) xx g xxee，( )0 x g xxe； ( )g
21、 x在1,)上为增函数；( )(1)0g xg；30a ； 3a . a的取值范围是(,3. 故选：C. 【小结】 本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关 键，属于较难题 11已知函数 2 12 2 x x fxmemR有两个极值点，则实数m的取值范 围为（） A 1 0 e ，B 1 11 e ，C 1 e ，D0 ， 【答案】B 【分析】 求导 1 x fxxme，将问题转化为 1 x fxxme有两个不同的零点， 也即是关于x的方程1 x x m e 有两个不同的解，构造函数 x x g x e ，求导 1 x x gx e ，分析导函数取得正负的区间，从
22、而得函数 g x的单调性和最值， 从而可得选项. 【解析】 函数 f x的定义域为R， 1 x fxxme，因为函数 f x有两个极值点， 所以 1 x fxxme有两个不同的零点， 故关于x的方程1 x x m e 有两个不同的解， 令 x x g x e ，则 1 x x gx e ，当(,1)x 时， 0gx，当(1,+)x时， 0gx， 所以函数 g x在区间(,1)上单调递增，在区间(1,+)上单调递减， 又当x时， g x ；当x 时， 0g x ， 且0, ( )0 xg x 1 1g e ，故 1 01m e ， 即 1 11m e . 故选：B. 【小结】 本题考查运用导函数
23、研究函数的单调性、 最值、 极值， 关键在于构造合适的函数， 参变分离的方法的运用，属于中档题. 12已知函数 3 fxxax在( 1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为（） A 1,B 3, C,1D,3 【答案】B 【分析】 根据 ( ) 0fx 在( 1,1)上恒成立求解 【解析】 3 ( )f xxax， 2( ) 3fxxa 又函数 f x在 1,1 上单调递减， 2( ) 30fxxa在( 1,1)上恒成立，即 2 3ax 在( 1,1)上恒成立 当( 1,1)x 时， 3 033x ，3a 所以实数a的取值范围是3,) 故选：B 【小结】 本题考查根据导函数研究函数的单调性，以
24、及不等式的恒成立问题，注意当 ( ) 0()fxxD时，则函数 ( )f x在区间D上单调递减；而当函数( )f x在区间D上 单调递减时， 则有 ( ) 0fx 在区间D上恒成立 解题时要注意不等式是否含有等 号，属于中档题 13对于函数 f x，把满足 00 f xx的实数 0 x叫做函数 f x的不动点.设 lnfxax，若 f x有两个不动点，则实数a的取值范围是（） A0,eB, e C 1,D 1,e 【答案】B 【分析】 根据定义分离出参数a，构造函数( ) ln x g x x ，讨论单调性和最值，结合图象可 得答案. 【解析】 由lnaxx得 ln x a x (0,1)xx
25、，令( ) ln x g x x ，则 2 ln1 ( ) (ln ) x g x x ， ( )0g x得( )g x在( ,)e 单调递增，( )0g x得( )g x在(0,1)和(1, )e单调递减， 所以( )g x的极小值为( )g ee，图象如图所示，由图可知，( ,)ae时， f x 有两个不动点， 故选：B. 【小结】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，考查了分离参 数法与构造函数法的应用. 14已知函数 x e f xax x ， 0,x，当 21 xx时，不等式 12 21 f xf x xx 恒 成立，则实数a的取值范围为（） A,eB,eC,
26、2 e D, 2 e 【答案】D 【分析】 由题意得出 1122 x f xx f x，构造函数 2x g xeax，可知函数 yg x在区 间0,上单调递增，可得出 20 x gxeax对任意的0 x 恒成立，利用参 变量分离法可得出 2 x e a x ，利用导数求得函数 2 x e h x x 在区间 0,上的最小 值，由此可求得实数a的取值范围. 【解析】 函数 x e f xax x 的定义域为 0,，当 21 xx时， 12 21 f xf x xx 恒成立， 即 1122 x f xx f x，构造函数 2x g xxfxeax，则 12 g xg x， 所以，函数 2x g x
27、eax在区间0,上为增函数， 则 20 x gxeax对任意的0 x 恒成立， 2 x e a x ， 令 2 x e h x x ，其中0 x ，则 minah x. 2 1 2 x ex h x x ，当01x时， 0h x ，此时函数 yh x单调递减； 当1x 时， 0h x ，此时函数 yh x单调递增. 所以，函数 yh x的最小值为 min 1 2 e h xh， 2 e a. 因此，实数a的取值范围是, 2 e . 故选：D. 【小结】 本题考查利用函数在区间上的单调性求参数， 根据不等式的结构特征构造合适的 函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、多
28、选题二、多选题 15对于函数 2 ln x f x x ，下列说法正确的是（） A f x在x e 处取得极大值 1 2e B f x有两个不同的零点 C 23fffD若 2 1 f xk x 在0,上恒成立， 则 2 e k 【答案】ACD 【分析】 A.先求函数的导数 3 12ln x fx x ，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B. 根据函数的解析式， 直接求函数的零点； C.根据函数的单调区间， 直接比较大小； D.不等式转化为 2 1 kfx x 在0,上恒成立，即求函数 22 1ln1 ( ) x g xfx xx 的最大值. 【解析】 由已知， 3 12ln x fx x ，
29、令 ( ) 0fx 得0 xe，令 ( ) 0fx 得xe，故 ( )f x 在(0,)e上单调递增，在(,)e 单调递减，所以 f x的极大值为 1 2 fe e ， A正确； 又令 0f x 得ln0 x ，即1x ， f x只有 1 个零点，B不正确； 函数在, e 上单调递减，因为2 3e ，所以 23fff，故C正确； 若 2 1 f xk x 在0,上恒成立，即 2 1 fxk x 在0,上恒成立，设 22 1ln1 ( ) x g xfx xx ， 3 2ln1 ( ) x g x x ，令 ( ) 0g x 得 1 2 0 xe ，令 ( ) 0g x 得 1 2 xe ，故(
30、 )g x 在 1 2 (0,)e 上单调递增，在 1 2 (,)e 单调递减，所以 1 2 max ( )() 2 e g xg e ， 2 e k ， 故D正确. 故选：ACD 【小结】 本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等 问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 16关于函数 ecos x f xax，,x 下列说法正确的是（） A当1a 时， f x在0 x 处的切线方程为y x B若函数 f x在,上恰有一个极值，则0a C对任意0a ， 0f x 恒成立 D当1a 时， f x在,上恰有 2 个零点 【答案】ABD 【分析】 直接逐一验证选项
31、，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断 A 选项；利用 分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断 BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即 可判断 D 选项. 【解析】 对于 A，当1a 时， ecos x fxx ，,x ， 所以 0 0ecos00f，故切点为（0，0） ， 则 esin x fxx，所以 0 0esin01 f ，故切线斜率为 1， 所以 f x在0 x 处的切线方程为：010yx ，即y x ，故 A正确； 对于 B， ecos x f xax，,x ，则 esin x fxax， 若函数 f x在,上恰有
32、一个极值，即 0fx 在,上恰有一个解， 令 0fx ，即e sin0 x ax 在,上恰有一个解， 则 sin x x a e 在,上恰有一个解， 即y a 与 sin x x g x e 的图象在,上恰有一个交点， sincos x xx gx e ，,x ， 令 0g x ，解得： 1 3 4 x ， 2 4 x ， 当 3 , 44 x 时， 0gx，当 3 , 44 x 时， 0gx ， g x在 3 , 4 上单调递增，在 44 3 , 上单调递减，在, 4 上单调递 增， 所以极大值为 3 4 2 3 2 0 4 g e ，极小值为 4 2 2 0 4 g e ， 而 0,0,0
33、0ggg， 作出 sin x g x e ，,x 的大致图象，如下： 由图可知，当0a 时，y a 与 sin x g x e 的图象在,上恰有一个交点， 即函数 f x在,上恰有一个极值，则0a ，故 B 正确； 对于 C，要使得 0f x 恒成立， 即在,x 上， ecos0 x f xax恒成立， 即在,x 上， cos x x a e 恒成立，即 max cos x x a e ， 设 cos x x h x e ，,x ，则 sincos x xx h x e ，,x ， 令 0h x ，解得： 1 4 x ， 2 3 4 x ， 当 3 , 44 x 时， 0h x，当 3 , 4
34、4 x 时， 0h x ， h x在, 4 上单调递增，在 3 , 44 上单调递减，在 3 , 4 上单调递 增， 所以极大值为 4 2 2 0 4 h e ， 11 ,hh ee ， 所以 cos x x h x e 在,x 上的最大值为 4 2 2 0 4 h e ， 所以 4 2 2 a e 时，在,x 上， ecos0 x f xax恒成立， 即当 4 2 2 a e 时， 0f x 才恒成立， 所以对任意0a ， 0f x 不恒成立，故 C 不正确； 对于 D，当1a 时， ecos x fxx ，,x ， 令 0f x ，则 ecos0 x f xx，即e cos x x ， 作
35、出函数 x ye和 cosyx 的图象， 可知在,x 内， 两个图象恰有两个交点， 则 f x在,上恰有 2 个零点，故 D 正确. 故选：ABD. 【小结】 本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分 离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零 点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 三、解答题三、解答题 17已知函数 lnf xaxax，且 0f x 恒成立 （1）求实数a的值； （2） 记 h xx fxx ， 若mZ， 且当 1,x时， 不等式 1h xm x 恒成立，求m的最大值 【答案】 （1）1； （2）3 【分析】 （1）
36、由条件可得1x 是 f x的极大值点，从而 10 f ，可得答案. (2)由条件 lnh xxxx，根据条件可得 ln 1 xxx m x 对任意的1x 恒成立，令 ln 1 1 xxx g xx x ，求出 g x的导函数，得出 g x单调区间，利用函数的 隐零点，分析得出答案 【解析】 （1） f x的定义域是0,， 因为 10f， 0f x 恒成立 ，所以1x 是 f x的极大值点， 所以 10 f ， 因为 1 fxa x ，所以 110fa ，所以1a （2）依题意得， lnh xxxx， 1h xm x， ln1xxxm x， 因为1x ，所以 ln 1 xxx m x 对任意的1
37、x 恒成立， 令 ln 1 1 xxx g xx x ，则 2 ln2 1 xx gx x ， 令 ln21s xxxx，则 11 10 x sx xx ， 所以函数 s x在 1,上单调递增 因为 31 ln30s ， 42ln40s， 所以方程 0s x 在 1,上存在唯一的实数根 0 x，且 0 3,4x ， 则 000 ln20s xxx， 所以 00 ln2xx， 当 0 1xx时， 0s x ，即 0gx； 当 0 xx时， 0s x ，即 0gx， 所以函数 ln 1 xxx g x x 在 0 1,x上单调递减，在 0, x 上单调递增 所以 00 0 min 0 1 ln 1
38、 xx g xg x x ， 把代入得， 00 00 0 12 1 xx g xx x ，3,4x， 所以 0 min 3,4mg xx， 故整数m的最大值是 3 【小结】 本题考查根据恒成立求参数的最大整数值， 考查函数的隐零点的整体然换的应用， 解答本题的关键是由函数 s x在 1,上单调递增，得出 0s x 在1,上存 在唯一的实数根 0 x，且 0 3,4x ，得出 g x单调性，从而得出 00 0 min 0 1 ln 1 xx g xg x x ，然后将 00 ln2xx代入，得出 0 3,4g x，属 于难题. 18已知函数 32 ( )()f xaxbxxR的图象过点( 1,2
39、)P ，且在P处的切线恰好 与直线30 xy垂直 （1）求 ( )f x的解析式； （2）若( )( )3g xmf xx在 1,0上是减函数，求m的取值范围 【答案】 （1） 32 ( )3f xxx； （2）1m . 【分析】 （1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解析式； （2）由题得 2 ( )3630g xmxmx 在 1,0上恒成立，法一：分0m 和0m 两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案. 法二：进行参变分离，运用不等 式恒成立的思想可得答案. 【解析】 （1） 2 ( )32fxaxbx，由题意可得 ( 1)2 ( 1)323 fab fab ，解
40、得 1 3 a b . 所以 32 ( )3f xxx （2）因为 32 ( )( )333g xmf xxmxmxx，所以 2 ( )363g xmxmx. 因为( )g x在 1,0上是减函数， 所以 2 ( )3630g xmxmx 在 1,0上恒成立， 当0m 时，30 在 1,0上恒成立； 当0m时，设 2 ( )363t xmxmx，由函数( )t x的图象的对称轴为1x 可得 ( 1)0 (0)0 t t ，即 3630 30 mm ，得1m . 故m的取值范围是 1,) . 法二： 2 ( )3630g xmxmx 对 1,0 x 成立， 当0 x 时；01恒成立， 当0 x
41、时； 2 222 111 1201 22(1)1 xxm xxxxx ， 1;m 【小结】 不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小 关系 19已知函数 2 1ln1fxxaxx（）. （1）讨论函数 f x的单调性；0a （2）若关于x的不等式 1lnx xfxx x 在1 ，上恒成立，求实数a的取值范 围. 【答案】 （1）答案不唯一，见解析； （2）02a. 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可； （2 原不等式化为： ln 2 x ax x 在1 ，上恒成立，设 ln 2 x h xx x ， 1,x， 求出函数的导数，再
42、令 2 21 lng xxx ，根据函数的单调性求出a的范围即 可 【解析】 （1） 11 21121 x fxxaxa xx 121 21 a xxax x xx ， 0,x， 令 0fx ，则 2 a x 或1x ， 当02a时，函数 f x在区间0, 2 a 和 1,上单调递增，在区间,1 2 a 上单 调递减， 当2a 时，函数 f x在0 ，上单调递增， 当2a 时，函数 f x在区间0,1和, 2 a 上单调递增，在区间1, 2 a 上单调 递减； （2）原不等式化为： ln 2 x ax x 在1 ，上恒成立， 设 ln 2 x h xx x ，1,x， 2 22 1 ln21
43、ln 2 xxx h x xx ，令 2 21 lng xxx ，则 1 40gxx x ， 所以 g x在1 ，上单调递增， 110g xg ，所以 0h x ， 则函数 h x在1 ，上单调递增，且 12h，02a. 【小结】 本题考查利用导数研究单调性（含参） ，考查利用导数研究恒成立问题，解决第 （2） 问的关键是将原不等式转化为 ln 2 x ax x 在1 ，上恒成立，进而利用导 数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化 和划归思想，属于常考题. 20已知函数 2 1 2 fxx， lng xax. （1） 若曲线 yf xg x在2x 处的切线与直线
44、370 xy垂直， 求实数a 的值； （2）设 h xf xg x，若对任意两个不等的正数 1 x， 2 x，都有 12 12 2 h xh x xx 恒成立，求实数a的取值范围； （3）若1,e上存在一点 0 x，使得 000 0 1 fxg xgx fx 成立，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）2a ； （2）1,； （3） 2 1 , 2, 1 e e . 【分析】 （1）先根据导数的几何意义得 23 y ，即可得a的值； （2）设 12 xx，构造函数 2F xh xx，则转化为 F x在0,上为增函 数，即 0Fx 在0,上恒成立，参变分离得： 2 max 2axx，最后根据二
45、 次函数最值求实数a的取值范围； （3）先化简不等式，并构造函数 1 ln a m xxax x ，求导数，按导数零点 与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据 最小值小于0即可得实数a的取值范围. 【解析】 （1）由 2 1 ln 2 yfxg xxax，得 a yxx x . 由题意，23 2 a ，所以2a . （2） 2 1 ln 2 h xf xg xxax. 因为对任意两个不等的正数 1 x， 2 x，都有 12 12 2 h xh x xx 恒成立，设 12 xx， 则 12 2h xh x 12 xx即 1122 22h xxh xx恒成立. 问题
46、等价于函数 2F xh xx， 即 2 1 ln2 2 F xxaxx在0,上为增函数， 所以 20 a Fxx x 在0,上恒成立.即 2 2axx 在0,上恒成立. 所以 2 max 21axx，即实数a的取值范围是1,. （3）不等式 000 0 1 fxg xgx fx 等价于 00 00 1 ln a xax xx ， 整理得 00 0 1 ln0 a xax x .构造函数 1 ln a m xxax x ， 由题意知，在1,e上存在一点 0 x，使得 0 0m x. 2 222 1111 1 xaxaxaxaa m x xxxx . 因为0 x ，所以10 x ，令 0m x ，
47、得1xa . 当11a，即0a 时， m x在1,e上单调递增.只需 120ma，解得 2a . 当11ae 即01ae时， m x在1xa 处取最小值. 令11ln 110maaaa 即1 1ln1aaa ，可得 1 1 ln1 * a a a . 令1ta，即1te ，不等式 *可化为 1 ln 1 t t t . 因为1te ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立. 当1ae，即1ae时， m x在1,e上单调递减，只需 1 0 a m eea e ，解得 2 1 1 e a e . 综上所述，实数a的取值范围是 2 1 , 2, 1 e e . 【小结】 本题考
48、查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，属于中档题. 21已知函数( )ln1f xxx， 2 ( )2g xxx （1）求函数( )( )( )h xf xg x在(1, (1)h处的切线方程； （2）若实数m为整数，且对任意的0 x 时，都有( )( )0f xmg x恒成立，求 实数m的最小值 【答案】 （1）210 xy ； （2）1. 【分析】 （1）利用导数的几何意义求出函数( )( )( )h xf xg x在(1, (1)h处的切线方程； （2）等价于 2 ln1 2 xx m xx 在(0,)上恒成立，设 2 ln1 ( )(0) 2 xx xx xx ，利用 二次
49、求导求出函数的最大值 max 0 11 ( ),1 22 x x ，即得解. 【解析】 （1） 2 ( )( )( )ln1h xf xg xxxx， 1(21)(1) ( )21 xx h xx xx ， (1)1h ，(1)2 h ， ( )h x在(1, (1)h处的切线方程为12(1)yx 即210 xy （2）( )( )0f xmg x，即 2 ln120 xxm xx 在(0,)上恒成立， 2 ln1 2 xx m xx 在(0,)上恒成立， 设 2 ln1 ( )(0) 2 xx xx xx ， 则 2 2 (1)(2ln ) ( ) 2 xxx x xx ， 显然10 x ，
50、 2 2 20 xx， 设( )(2ln )t xxx ，则 2 ( )10t x x ， 故( )t x在(0,)上单调递减， 由(1)10t ， 1111 2ln2ln20 2222 t ， 由零点定理得 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0t x， 即 00 2ln0 xx， 且 0 0,xx时，( )0t x ，则( )0 x， 0, xx时，( )0t x ，则( )0 x ( ) x在 0 0,x上单调递增，在 0, x 上单调递减， 00 max0 2 00 ln1 ( ) 2 xx xx xx ， 又由 00 2ln0 xx， 0 1 ,1 2 x ， 则 00 0 2 000
