1、8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积棱柱棱锥棱台的表面积和体积 讲课人：邢启强 2 (1)矩形面积公式： _。 (2)三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：_。 (6)梯形面积公式： _ abS ahS 2 1 2 4 3a S hbaS)( 2 1 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 （一）柱体、锥体、台体的表面积（一）柱体、锥体、台体的表面积 思考思考: :面积是相对于平面图形而言的，体面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的积是相对于空间几何体而言的. . 面积面积: :平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 体积体积: :几何体所占空间的大小几何体所占空间的
2、大小 表面积：表面积：几何体表面面积的大小几何体表面面积的大小 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方在初中已经学过了正方体的表面积，你知道正方 体的展开图与其表面积的关系吗？体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积 空间问题空间问题 平面问题平面问题 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 5 几何体的侧面展开图侧面展开图的构成 一组平行四边形一组平行四边形 一组梯形一组梯形 一组三角形一组三角形 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
3、一般地一般地, ,多面体的表面积就是多面体的表面积就是各个面各个面的面积之和的面积之和 表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 D D 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成 交交BCBC于点于点D D解：过点解：过点S S作作 ，SDBC B BC C A A S S ,B C a 例例1 1已知棱长为已知棱长为 ，各面均为等边三，各面均为等边三 角形的四面体角形的四面体S-ABCS-ABC，求它的表面积，求它的表面积 a SBC S 因
4、此，四面体因此，四面体S-ABCS-ABC的表面积为的表面积为 S 1 2 BC SD 13 22 aa 2 3 4 a 2 3a 2 4 3 4a 3 2 aSD 2222 ( ) 2 a SBBDa 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 长方体体积：长方体体积： 正方体体积：正方体体积： Vabc 3 Va VSh 体积体积:几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 学习新知学习新知 (a,b,c分别是长方体的长、宽、高）分别是长方体的长、宽、高） 一般地，如果棱柱的底面积是一般地，如果棱柱的底面积是S,高是高是h, 那么这个棱柱的体积那么这个棱柱的体积V棱柱 棱柱=Sh. 棱柱的高是指两
5、底面之间的距离，即从一底面上任棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任 意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与 底面的交点）之间的距离底面的交点）之间的距离 讲课人：邢启强 9 关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积
6、体等积体. . 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 将一个三棱柱按如图所示分解成将一个三棱柱按如图所示分解成 三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积 有什么关系？它们与三棱柱的体积有什有什么关系？它们与三棱柱的体积有什 么关系？么关系？ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？ 1 3 VSh 高高h h 底面积底面积S S 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，
7、那么， 棱柱的体积是棱锥的体积的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍倍. 因此，一般地，如果棱锥的因此，一般地，如果棱锥的 底面面积为底面面积为S,高为高为h,那么该棱锥的体积那么该棱锥的体积 学习新知学习新知 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 顶点与垂足之间的距离顶点与垂足之间的距离. 讲课人：邢启强 12 根据棱台定义，如何计算台体的体积？根据棱台定义，如何计算台体的体积？ 设棱台的上、下底面面积分别为设棱台的上、下底面面积分别为SS和和S S，高为，高为h h， 那么台体的体积公式是什么？那么台体的体积公式是什么？ S S h 学习新知学习新知 棱台的高是指两底面
8、之间的距离，即从上底面上任棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任 意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面 的交点）之间的距离的交点）之间的距离 讲课人：邢启强 13 VVV 大 锥小 锥 S h x SS 11 = 33 S xh S x 11 = 33 ShSSx 2 xS xhS xS xhS S h x SS S S h x 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 14 VVV 大 锥小 锥 11 33 11 33 1 3 S h ShSS SS ShSSS h h SSSS S h x SS 11 = 33 S xh S x 11 =
9、33 ShSSx S S h x 1 () 3 Vh SSSS 棱台 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 15 在棱台体体积公式中，若在棱台体体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0， 则公式分别变形为什么？则公式分别变形为什么？ S=SS=S S=0S=0 1 () 3 VSS SS h 1 3 VSh VSh 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 16 典型例题典型例题 例例2如图如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个 四棱锥，两部分的高都是四棱锥，两部分的高都是0.5m,公共面公共面ABCD是边长为是边长为1m的正的正 方形，那么这个
10、漏斗的容积是多少立方米（精确到方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3)? 分析：漏斗由两个多面分析：漏斗由两个多面 体组成，其容积就是两体组成，其容积就是两 个多面体的体积和个多面体的体积和. 解：由题意知解：由题意知 V长方体 长方体ABCD-ABCD=1 10.5=0.5(m3), V棱锥 棱锥P-ABCD= 110.5= (m3). 1 3 1 6 所以这个漏斗的容积所以这个漏斗的容积V= 0.67(m3). 112 263 讲课人：邢启强 17 例例3 3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg5.8kg（铁的密度是（铁的密度是7
11、.8g/cm7.8g/cm3 3），已知螺帽的），已知螺帽的 底面是正六边形，边长为底面是正六边形，边长为12mm12mm，内孔直径为，内孔直径为 10mm10mm，高为，高为10mm10mm，问这堆螺帽大约有多少，问这堆螺帽大约有多少 个？个？ V2956V2956（mmmm3 3） =2.956=2.956（cmcm3 3） 5.85.81001007.87.82.9562.956 252252（个）（个） 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 18 )112( 3)884(4 3 1 )( 3 1 3 22 cm hSSSSV 下下下下上上上上 解：解： 练习：已知有一正四棱台的上底边长为练习：已知有一正四棱台的上底边长为 4cm，下底边长为，下底边长为8cm,高为高为3cm， 求其体积。求其体积。 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 1、正方形边长扩大到原来的、正方形边长扩大到原来的n倍，其面积倍，其面积 扩大到原来的扩大到原来的 倍，倍， 正方体棱长扩大到原来的正方体棱长扩大到原来的n倍，其表面积倍，其表面积 扩大到原来的扩大到原来的 倍，体积扩大到原来倍，体积扩大到原来 的的 倍倍 巩固练习巩固练习
