1、第2课时全集与补集 激趣诱思知识点拨 太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、 天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联 会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134340号,从 太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”的行星除去, 还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用 集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作 为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王” 的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢? 激趣诱思知识点拨 全集与补集 1.全集 在研究某些集合的时候
2、,它们往往是某个给定集合的子集,这个给 定的集合叫作,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些 集合. 名师点析全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问 题来选择的.例如,我们在研究数集时,通常把实数集R作为全集;当 我们只讨论大于0且小于5的实数时,可选x|0 x5为全集.通常把 给定的集合作为全集. 全集 激趣诱思知识点拨 2.补集 U A 激趣诱思知识点拨 名师点析1.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面, 若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定 都能在全集中找到. 2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合 A的补集的前提是
3、A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的 补集也是不同的. 3.符号UA有三层意思:A是U的一个子集,即AU;UA表示一个 集合,且UAU;UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即 UA=x|xU,且xA. 4.若xU,则xA或xUA,二者必居其一. 激趣诱思知识点拨 微思考 集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系? 提示:集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比: 激趣诱思知识点拨 微练习 (1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,则UA=() A.1,3,5,6 B.2,3,7 C.2,4,7 D.2,5,7 (2)已知全集U为R,集合A=x|x1,或
4、x5,则UA=. (3)已知全集U=0,1,2,A=x|x-m=0,若UA=0,1,则m= . 答案: (1) C (2)x|1x5(3)2 解析: (1)由A=1,3,5,6,U=1,2,3,4,5,6,7,得UA=2,4,7.故选C. (2)集合A=x|x1,或x5的补集是UA=x|1x5. (3)(方法1)由题意知A=m=2,所以m=2. (方法2)根据补集的性质U(UA)=A,得A=2,即m=2. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 补集的基本运算补集的基本运算 例1(1)已知全集为U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则 集合B=; (2)已知全集U=x|x
5、5,集合A=x|-3x5,则UA=. 分析(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出 集合B,也可借助Venn图求解. (2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案: (1)2,3,5,7(2)x|x-3,或x=5 解析: (1)(方法一)A=1,3,5,7,UA=2,4,6, U=1,2,3,4,5,6,7. 又UB=1,4,6,B=2,3,5,7. (方法二)满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B=2,3,5,7. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集的定义可知UA=x|x-3,或x=5. 探究一探究
6、二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 求集合的补集的方法 1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. 2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需 注意端点问题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1已知集合A=x|-3x5,UA=x|x5,B=x|1x3,求 UB. 解:由已知U=x|-3x5x|x5=x|x-3,又B=x|1x3, 所以UB=x|-3x1或x3. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 交集、并集与补集的混合运算交集、并集与补集的混合运算 例2设全集U=-2,-1,0,1,2,集合A
7、=x|x2+x-2=0,B=0,-2,则 B(UA)=() A.0,1 B.-2,0 C.-1,-2D.0 分析先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运算 求出结果. 答案:D 解析:由于A=x|x2+x-2=0=-2,1, 所以UA=-1,0,2, 所以B(UA)=0,故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 例3已知全集U=x|-5x3,A=x|-5x-1,B=x|-1x1,求 UA,UB,(UA)(UB). 分析由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并 集、补集运算,故考虑借助数轴求解. 解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示, 则UA=x|-
8、1x3; UB=x|-5x-1,或1x3; (UA)(UB)=x|1x3. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况 1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、 补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问 题,相对来说比较直观、形象,且不易出错. 2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示 在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形 象、直观,解答过程中注意端点值的取舍. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2(1)如果全集U=R,M=x|-1x2,N=1,3,5
9、,则 M(UN)=() A.(-1,1)(1,2) B.(-1,2) C.(-1,1)(1,2 D.(-1,2 (2)已知全集为R,A=x|3x7,B=x|2x10,求R(AB)及 (RA)B. (1)解析:UN=x|x1,且x3,且x5, M(UN)=(-1,1)(1,2. (2)解:把集合A,B在数轴上表示如图. 由图知,AB=x|2x10,R(AB)=x|x2,或x10. RA=x|x3,或x7, (RA)B=x|2x3,或7x10. 答案: (1) C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 补集性质的应用补集性质的应用 例4已知全集为R,集合A=x|xa,B=x|1x2,且A(RB)=R
10、,则 实数a的取值范围是. 分析先求出RB,再借助于数轴求实数a的取值范围. 反思感悟 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定 义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解, 具体操作时要注意端点值的取舍. 解析:B=x|1x2, RB=x|x1,或x2. 又A=x|xa,且A(RB)=R,利用如图所示的数轴可得a2. 答案:a2 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究已知集合A=x|x2+ax+12b=0和B=x|x2-ax+b=0,满足 B(UA)=2,A(UB)=4,U=R,求实数a,b的值. 解:(1)B(UA)=2,2B,但2A. A(UB)=4,4A,
11、但4B. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 用图示法解决集合的混合运算用图示法解决集合的混合运算 1.两种图示法 (1)用Venn图表示集合的混合运算 右图中的A,B将全集U分成了四部分,这四部分分别用集合表示如 下: 表示AB; 表示(UB)A; 表示(UA)B; 表示U(AB)=(UA)(UB). (2)当集合为连续型实数集时,常常用数轴来表示集合的混合运算. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.集合运算分配律的图形解释 设集合U为全集,A,B,C为全集U的子集,则有 (1)(AB)C=(AC)(BC); (2)(AB)C=(AC)(BC). 这是集合运算中的分配律. 下面用图形解释
12、: (1)(AB)C=(AC)(BC), 利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)(AB)C=(AC)(BC), 利用Venn图表示为如下图所示的阴影部分. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 典例已知A,B均为全集U=1,3,5,7,9的子集,且 AB=3,(UB)A=9,则A=() A.1,3 B.3,7,9 C.3,5,9 D.3,9 解:(方法一)由题意画出Venn图,如图所示. 由图可知,A=3,9. (方法二)根据题意易得3A,9A. 若5A,则5B(否则5(AB),从而5UB,则(UB)A=5,9,
13、与题 中条件矛盾,故5A. 同理1A,7A,故A=3,9. 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.设集合A=1,3,4,5,B=2,4,6,C=0,1,2,3,4,则(AB)C=() A.2 B.2,4 C.1,2,3,4D.1,2,3,4,5 解析:AB=1,2,3,4,5,6,(AB)C=1,2,3,4. 2.已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=() A.x|x0B.x|x1 C.x|0 x1 D.x|0 x1 解析:U=R,A=x|x0,B=x|x1, AB=x|x0,或x1. U(AB)=x|0 x1. 答案:C 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.已知全集U=R,A=x|1xb,UA=x|x1,或x2,则实数b= . 4.已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=1,3,集合B=3,4,6,集合U,A,B 的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 . 解析:UA=x|x1,或x2, A=x|1x2.b=2. 解析:题图中阴影部分所表示的集合为 B(UA)=3,4,62,4,5,6=4,6. 答案:2 答案:4,6 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示. A=x|-4x2,B=x|-1x3, AB=x|-1x3.
