1、2.1必要条件与充分条件 第1课时必要条件与充分条件 激趣诱思知识点拨 小李设计如下三个电路图,在第一个电路中,如果开关A闭合,灯泡B 是否一定会亮?要想使灯泡B亮起,是否必须闭合开关A?第二个和第 三个电路中呢? 那么“闭合开关A”是“灯泡B亮”发生的什么条件呢? 激趣诱思知识点拨 一、必要条件与性质定理 1.推出() 若命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题 “若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作pq. 2.必要条件 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的.也 就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的. 名师点析说条件是
2、必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的. 简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”. 必要条件 激趣诱思知识点拨 微练习 用“”或“不能推出”填空. (1)a,b都是偶数a+b是偶数; (2)a+b是偶数 a,b都是偶数; (3)AB= A=; (4)RtABC中,A=30边BC长等于斜边长的一半. 不能推出 不能推出 激趣诱思知识点拨 二、充分条件与判定定理 一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件. 综上,对于真命题“若p,则q”,即pq时,称q是p的必要条件,也称p是q 的充分条件. 名师点析1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立. 即要使
3、结论成立,只要有它就可以了. 2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行” 激趣诱思知识点拨 微思考 如何从集合角度理解必要条件、充分条件? 提示:一般地,如果A=x|p(x),B=x|q(x),且AB,如图所示,那么 p(x)q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件. 激趣诱思知识点拨 三、充要条件 1.一般地,如果pq,且qp,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是 q的充要条件.记作pq. 2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”或“p与q等 价”. 3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. 激趣诱思知识点拨 名师点析设集合A=x|
4、p(x),B=x|q(x),若x具有性质p,则xA;若x 具有性质q,则xB. 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 微思考 判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况? 提示:(1)如果pq,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件; (2)如果p不能推出q,且qp,则称p是q的必要不充分条件; (3)如果pq,且qp,则称p是q的充要条件; (4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要 条件. 激趣诱思知识点拨 微练习 下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:x=-3,q:x2=9; (2)p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等; (3)p:AB=A,q:BA;
5、(4)p:ab,q:acbc. 答案: (1)充分不必要条件. (2)必要不充分条件. (3)充要条件. (4)既不充分也不必要条件. 探究一探究二素养形成当堂检测 充分条件、必要条件及充要条件的判断充分条件、必要条件及充要条件的判断 例1(1)对于任意的x,yR,“xy=0”是“x2+y2=0”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形” 是“ACBD”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 探究一探究二素养形成当堂检测 (
6、3)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:(1)由x2+y2=0,得x=0,且y=0, 由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”不能推出“x2+y2=0”. (2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直; 但“ACBD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰 梯形. 所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件. (3)因为AB=AAB,所以“AB=A”是“AB”的充要条件. 答案: (1) A(2) A(3)C 探究一探究二素养形成当堂检测 延伸探究例1(2)
7、中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形 ABCD”,其余不变,结论有变化吗? 解:若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“ACBD”的充要条 件. 探究一探究二素养形成当堂检测 变式训练1设A,B为两个互不相同的集合.命题p:xAB;命题 q:xA或xB.则p是q的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:若命题p:xAB成立,命题q:xA或xB一定成立;若命题 q:xA或xB成立,但是x不一定是AB中的元素,所以p是q的充分 不必要条件. 探究一探究二素养形成当堂检测 数根的() A.充分不必要条件 B.必要不充
8、分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:“方程ax+3=0在-1,2上有实数根”等价于“直线y=ax+3在-1,2 上与x轴有交点”,则 答案:A 探究一探究二素养形成当堂检测 变式训练2设xR,则“x1”是“x31”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:令A=x|x1,B=x|x31.由于A=B,所以“x1”是“x31”的充 要条件. 探究一探究二素养形成当堂检测 例3(2019湖北襄阳期中)若p是r的充分不必要条件,r是q的必要条 件,r是s的充要条件,q是s的必要条件,则s是p的什么条件? 分析用推出符号表示
9、p,q,r,s的关系由图求出结果 解:p,q,r,s之间的关系如图所示,由图可知ps,但s不能推出p,故s是p 的必要不充分条件. 探究一探究二素养形成当堂检测 反思感悟 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法: (1)分清哪个是条件,哪个是结论. (2)判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假. (3)根据(2)得出结论. 2.集合法:写出集合A=x|p(x)及B=x|q(x),利用集合间的包含关系 进行判断. 3.等价转化法:将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的 命题. 4.特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明 由条件(结论)不能推出结论(条件),
10、但是这种方法不适用于证明题. 5.传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应 的“推式图”,再根据图中推式的传递性进行判断. 探究一探究二素养形成当堂检测 A.x1 B.x-1 C.x-1或0 x1D.-1x0 (2)12x+28的一个必要不充分条件是() 分析(1)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围, 即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找命题成立的充要条件,然后 将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件. 探究一探究二素养形成当堂检测 结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1x6. 反思感悟 1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分 条
11、件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件 的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件. 2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同 样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个; 但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的. 答案: (1) A(2)B 探究一探究二素养形成当堂检测 变式训练3下列不等式:x1;0 x1;-1x0;-1x- 1.其中,可以作为x21的充分不必要条件的有;可以作为 x21的必要不充分条件的有.(填序号) 解析:由x21,得-1x1,而x|0 x1x|-1x1,x|-1x0 x|- 1x1,所以0
12、 x1和-1x0都可作为x21的一个充分不必要条件. 因为x|-1x1x|x1,x|-1x-1,所以x-1均 可作为x20在R上恒成 立”的充要条件是() 解析:不等式x2-x+m0在R上恒成立, 答案:A 探究一探究二素养形成当堂检测 自主招生中的充分条件与必要条件自主招生中的充分条件与必要条件 某大学2017年自主招生简章中规定,凡是高中阶段在全国中学生学 科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满 足竞赛条件”,下同),都可以报名参加该校的自主招生考试. 根据以上信息,回答下列问题: (1)已知甲同学满足竞赛条件,那么甲能申请参加该大学2017年的自 主招生考试吗? (
13、2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试 的资格,那么乙同学一定满足竞赛条件吗? 探究一探究二素养形成当堂检测 (3)已知丙同学不满足竞赛条件,那么丙同学一定不能申请参加该大 学2017年的自主招生考试吗? 第一个问题,相信大家都能得到正确答案能. 但第二个和第三个问题的答案都是:不一定.你知道为什么吗? 这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2017年自主招生考 试的充分条件,而不是必要条件,但是充分条件可以不止一个. 事实上,全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学 2017年的自主招生考试. 生活中还有很多类似的情况,请自行找出更多的例子吧！ 探究一探究
14、二素养形成当堂检测 1.“a=-3”是“|a|=3”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“x2”是“x1”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设xR,则x2的一个必要不充分条件是() A.x1B.x3D.x0,且b0”是“a+b0且ab0”的条 件. 解析:a0且b0a+b0,且ab0;a+b0,且ab0a0,且b0,故为 充要条件. 5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件: 充要条件 ; 充要条件 . (写出你认为正确的两个充要条件) 答案:充要 答案:两组对边分别平行一组对边平行且相等
