1、2.2全称量词与存在量词 激趣诱思知识点拨 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发 技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸, 我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络 绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师 从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能 不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮 脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给 自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸. 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题, 如果我们学习了全称量词命题与存在 量词命题的
2、知识,就可以通过逻辑进行 分析了. 激趣诱思知识点拨 一、全称量词与全称量词命题 1.全称量词命题: 在给定集合中,断言都具有同一性质的命题叫作全称量 词命题. 2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这 样的词叫作全称量词.用符号“”表示,读作“对任意的”. 名师点析1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限 的,由题目而定. 2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“x,yR,x2+y20”. 3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是 矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”. 所有元素 激趣诱思知识点拨 微练习 给出下列命题:有
3、的质数是偶数;在平面内与同一直线所成角 相等的两条直线平行;存在一个三角形三个内角都相等;对于 实数a,b,|a-1|+|b-1|0. 其中是全称量词命题的为,是存在量词命题的为, 真命题为.(填序号) 激趣诱思知识点拨 二、存在量词与存在量词命题 1.存在量词命题: 在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命 题. 2.存在量词: 在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符 号“”表示,读作“存在”. 名师点析1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量 词命题. 2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“a,bR,(a+b)2=(a-b)2
4、”. 3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个” 等特征的命题都是存在量词命题. 激趣诱思知识点拨 微思考 如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假? 提示:(1)存在量词命题的真假判断 要判定存在量词命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找 到一个元素x,使p(x)成立即可. 要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元 素x,证明p(x)都不成立. (2)全称量词命题的真假判断 要判定全称量词命题“xM,r(x)”是真命题,需要对集合M中每 个元素x,证明r(x)成立; 要判定全称量词命题“xM,r(x)”是假命题,只需举出一个反例, 即在集合M
5、中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词 命题就是假命题. 激趣诱思知识点拨 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题. 对于全称量词命题p:xM,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 xM,x不具有性质p(x). 2.存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是全称量词命题. 对于存在量词命题p:xM,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 xM,x不具有性质p(x). 激趣诱思知识点拨 名师点析1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中 一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到. 2.含有
6、一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词 的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词. 激趣诱思知识点拨 3.常见词语的否定 微练习 (1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180”的否定为() A.存在一个三角形的内角和等于180 B.所有三角形的内角和都等于180 C.所有三角形的内角和都不等于180 D.很多三角形的内角和不等于180 (2)命题“xZ,4x-1是奇数”的否定是 . B xZ,4x-1不是奇数 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 全称量词命题与存在量词命题的辨析全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在
7、量词命题. (1)有些素数的和仍是素数; (2)自然数的平方是正数. 解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自 然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”, 所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题. 综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是,是存在量 词命题的是.(填序号) 正方形的四条边相等;有两个角是45的三角形是等腰直角三 角形;正数的平方根不等
8、于0;至少有一个正整数是偶数. 解析:是全称量词命题,是存在量词命题. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 全称量词命题与存在量词命题的真假判断全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2判断下列命题的真假. (1)xZ,x30. 解:(1)这是存在量词命题.因为-1Z,且(-1)3=-10”是假 命题. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素 x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定 的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个
9、存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元 素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定 集合的每一个元素x,使命题p(x)为假. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词 命题,并判断真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立. 解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题. (1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数. (3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式=-31x-1; (2)q
10、:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180; (4)s:有些质数是奇数. 分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相 应的否定. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)命题p的否定“存在正数x,使 x-1”. (2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没 有外接圆”. (3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180”. (4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”. 反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这 个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论, 然后把命题中的
11、全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词, 同时否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词 的完整形式,再写出命题的否定. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:xR,x2-x+ 0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:xR,x2+3x+70; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 命题p的否定是假命题. (2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题. (3)命题r的否定“xR,x2+3x+70”,是真命题. 命题r
12、的否定是真命题. (4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+10”,是假命题. 当x=-1时,x3+1=0,命题s的否定是假命题. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 根据命题的真假求参数的取值范围根据命题的真假求参数的取值范围 例4已知命题“xR,x2+ax+10”是假命题,求实数a的取值范围. 分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式存在量 词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化 为其否定形式全称量词命题为真命题来解决. 解:因为全称量词命题“xR,x2+ax+10”的否定是 “xR,x2+ax+10, 解得a2. 所以实数a的取值范围是(-,-2)(2
13、,+). 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“xM,ay(或aymax(或ay(或aymin(或a0”,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意知0,则a2-40,得-2a2.所以实数a的取值范围 为-2,2. (2)因为全称量词命题“x0,x2+ax+10”的否定形式 为:“x0,x2+ax+10”. 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题 是真命题. 由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线, 解得a5:当n 为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇 数,
14、n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和.)欧拉在回信 中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之 和.把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不 超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和”记作“a+b”.1966 年陈景润证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成二 个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可 写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德 巴赫猜想”. 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇
15、数都可写 成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数 的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数 的哥德巴赫猜想也会是对的.2013年5月,巴黎高等师范学院研究员 哈洛德贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫 猜想. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.(2020四川眉山高一检测)已知命题p:有的三角形是等边三角形, 则命题p的否定是() A.有的三角形不是等边三角形 B.有的三角形是不等边三角形 C.所有的三角形都是等边三角形 D.所有的三角形都不是等边三角形 答案:D 解析:原命题是存在量词命题,先改变量词,再否定结论. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.已知命题p:xR,xa2+b2,则命题p的否定是() A.xR,xa2+b2 B.xR,xa2+b2 C.xR,xa2+b2 D.xR,xa2+b2 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 3.下列语句:被7整除的数都是奇数;|x-1|2;存在实数a使方 程x2-ax+1=0成立;等腰梯形的对角线相等. 其中是全称量词命题且为真命题的是.(填序号) 4.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假. 解析:全称量词命题有,其中是假命题,如70. 解:量词为“所有的”.是假命题.
