1、3.2数学探究活动数学探究活动： 生日悖论的解释与模拟生日悖论的解释与模拟 (略略) 3.3二项式定理与杨辉三角二项式定理与杨辉三角 第第 1 课时课时二项式定理二项式定理 学 习 目 标核 心 素 养 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及二项展开式的通 项公式(重点) 3.能解决与二项式定理有关的简单问 题(重点、难点) 1通过二项式定理的学习，培养逻辑 推理的素养. 2.借助二项式定理及展开式的通项公 式解题，提升数学运算的素养. 三个箱子均装着标有 a，b 字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸 出一个球，共摸出 3 个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？
2、问题：类比上述结果你能联想出(ab)3展开式的形式吗？ 二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(ab)nC0nanC1nan 1bC2 nan 2b2Cr nan rbr Cnnbn(nN)称为二项式定理 二项式系数各项系数 Crn(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 Crnan rbr 是展开式中的第 r1 项，可记做 Tr1Crnan rbr(其中 0rn，rN，nN) 二项展开式C0nanC1nan 1bC2 nan 2b2Cr nan rbrCn nbn(nN) 思考 1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 提示二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念
3、 二项式系数是指 C0n，C1n，Cnn，而项的系数是指该项中除了变量外的常 数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关 思考 2：二项式(ab)n与(ba)n展开式的第 k1 项是否相同？ 提示不同 (ab)n展开式中第 k1 项为 Cknan kbk，而(ba)n 展开式中第 k1 项为 Cknbn kak. 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)(ab)n展开式中共有 n 项() (2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响() (3)Crnan rbr 是(ab)n展开式中的第 r 项() (4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()
4、答案(1)(2)(3)(4) 2(x1)n的展开式共 11 项，则 n 等于() A9B10 C11D12 B由 n111，可知 n10. 3(y2x)8展开式中的第 6 项的二项式系数是() AC68BC58(2)5 CC58DC68(2)6 C由题意可知第 6 项的二项式系数为 C58. 4(x2)6的展开式中 x3的系数是_ 160法一：设含 x3的项为第 r1 项，则 Tr1Cr6x6 r2r，令 6r3，则 r 3. 故 x3的系数为 C3623160. 法二： (x2)6表示 6 个括号相乘， 要得到含 x3的项， 只需选出 3 个括号出 x， 另三个括号出 2 即可，即 C36x
5、323160 x3. 二项式定理的正用、逆用 【例 1】(1)用二项式定理展开 2x 3 2x2 5 ； (2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n 1C2 n(x1)n 2(1)rCr n(x1)n r (1)nCnn. 思路点拨(1)二项式的指数为 5，且为两项的和，可直接按二项式定理展 开；(2)可先把 x1 看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解 解(1) 2x 3 2x2 5 C05(2x)5C15(2x)4 3 2x2C55 3 2x2 5 32x5120 x2180 x 135 x4 405 8x7 243 32x10. (2)原式C0n(x1)nC1n(x1)n 1(
6、1)C2 n(x1)n 2(1)2Cr n(x1)n r(1)rCn n(1)n(x1)(1)nxn. 1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特 征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件 2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便 3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题 的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数 跟进训练 1(1)求 3 x 1 x 4 的展开式； (2)化简：12C1n4C2n2nCnn. 解(1)法一： 3 x 1 x 4 C04(3 x)4C14(3 x)3 1 xC 2 4(3 x)2 1 x
7、2 C34(3 x) 1 x 3 C44 1 x 4 81x2108x5412 x 1 x2. 法二： 3 x 1 x 4 3x1 4 x2 1 x2(81x 4108x354x212x1) 81x2108x5412 x 1 x2. (2)原式12C1n22C2n2nCnn(12)n3n. 二项式系数与项的系数问题 【例 2】(1)求二项式 2 x1 x 6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项 的系数； (2)(教材 P33习题 33AT2改编)求 x1 x 9 的展开式中 x3的系数 思路点拨利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的 通项公式进行求解 解(1)由已知得
8、二项展开式的通项为 Tr1 Cr6(2 x)6 r 1 x r (1)rCr626 rx3 3 2r， T612x 9 2. 第 6 项的二项式系数为 C566， 第 6 项的系数为 C56(1)212. (2)Tr1Cr9x9 r 1 x r (1)rCr9x9 2r， 令 92r3，r3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(1)3C3984. 1二项式系数都是组合数 Crn(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项 的系数不一定相等， 要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数” 这两个概念 2第 r1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Crn.例如，在(1
9、2x)7的展开式中，第四项是 T4C3717 3(2x)3，其二项式系数是 C3 7 35，而第四项的系数是 C3723280. 跟进训练 2求 x3 2 3x2 5 的展开式的第三项的系数和常数项 解T3C25(x3)3 2 3x2 2 C254 9x 5，所以第三项的系数为 C2 54 9 40 9 . 通项 Tr1Cr5(x3)5 r 2 3x2 r 2 3 r Cr5x15 5r，令 155r0，得 r3，所以常数 项为 T4C35(x3)2 2 3x2 3 80 27. 求展开式中的特定项 探究问题 1如何求 x1 x 4 展开式中的常数项？ 提示利用二项展开式的通项 Cr4x4 r
10、1 xrC r 4x4 2r 求解，令 42r0，则 r 2，所以 x1 x 4 展开式中的常数项为 C2443 2 6. 2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？ 提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由 ab 中的每一项分别乘以 cd 中的每一项再把积相加而得到 3如何求 x1 x (2x1)3展开式中含 x 的项？ 提示 x1 x (2x1)3展开式中含 x的项是由x1 x中的x与 1 x分别与(2x1) 3 展开式中常数项 C331 及 x2项 C1322x212x2分别相乘再把积相加得 xC33 1 xC 1 3(2x)2x12x13x.即 x1 x (2x1)3展开式中含
11、x 的项为 13x. 【例 3】已知在 3 x 3 3 x n 的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 思路点拨 写出通项 Tr1 令 r5，x 的指数为零 1求出 n 值 修正通项公式 2求 x2项的系数 考查 x 指数为整数 分析求出 k 值 3写出有理项 解通项公式为： Tr1Crnx nr 3 (3)rx r 3Cr n(3)rx n2r 3 . (1)第 6 项为常数项， r5 时，有n2r 3 0，即 n10. (2)令102r 3 2，得 r1 2(106)2， 所求的系数为 C210(3)2405. (3)由题意
12、得， 102r 3 Z， 0r10， rZ. 令102r 3 k(kZ)， 则 102r3k，即 r53 2k. rZ，k 应为偶数， k2,0，2，即 r2,5,8， 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 405x2，61 236,295 245x 2. 1求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第 k 项，TrCr 1 nan r1br1； (2)求含 xr的项(或 xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项 2求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母
13、的指数恰好都是整 数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其 属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整 数，求解方式与求有理项一致 跟进训练 3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_ (2)若 x a x2 6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为_ (1)207(2)4(1)x5应是(1x)10中含 x5项、 含 x2项分别与 1，x3相乘的结果， 其系数为 C510C210(1)207. (2) x a x2 6 的展开式的通项是 Tr1Cr6x6 r( a)rx2rCr 6x
14、6 3r( a)r， 令 63r0，得 r2，即当 r2 时， Tr1为常数项，即常数项是 C26a， 根据已知得 C26a60，解得 a4. 1 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅指 C0n， C1n， ， Ckn， ， 而后者指的是除字母以外的所有系数(包括符号) 2要牢记 Cknan kbk 是展开式的第 k1 项，而非第 k 项 3对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解 1在(x 3)10的展开式中，含 x6的项的系数是() A27C610B27C410 C9C610D9C410 D含 x6的项是 T5C410 x6( 3)49C410 x6. 2在 x 2 1
15、 3 x 8 的展开式中常数项是() A28B7 C7D28 CTr1Cr8 x 2 8r 1 3 x r (1)rCr8 1 2 8r x 84 3r，当 84 3r0，即 r6 时，T7(1)6C68 1 2 2 7. 3(1x)10的展开式中第 7 项为_ 210 x6T7C610(x)6210 x6. 4化简：C0n2nC1n2n 1Ck n2n kCn n_. 3n原式(12)n3n. 5 设(x 2)n的展开式中第二项和第四项的系数之比为 12， 求含 x2的项 解(x 2)n的展开式中第二项和第四项分别为： T2C1nxn 1( 2) 2nxn1， T4C3nxn 3( 2)32 2C3 nxn 3. 由题意可知 2n 2 2C3n 1 2，即 n 23n40， 又 nN，解得 n4. 设(x 2)4的展开式中含 x2的项为第 k1 项， 则 Tk1Ck4x4 k( 2)k(k0,1,2,3,4) 根据题意可知 4k2，解得 k2. 所以(x 2)4的展开式中含 x2的项为 T3C24x2( 2)212x2.
