1、4.1条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 4.1.1条件概率条件概率 学 习 目 标核 心 素 养 1在具体情境中，了解条件概率(难 点) 2掌握条件概率的计算方法(重点) 3利用条件概率公式解决一些简单的 实际问题(易错点) 1通过条件概率的学习，体会数学抽 象的素养 2借助条件概率公式解题，提升数学 运算素养. 高二(1)班共有 30 名男生，20 名女生，其中男生中共有 8 名共青团员，女生 中共有 10 名共青团员 问题 1：从该班学生中任意抽取 1 人，其是女生的概率是多少？ 问题2： 已知抽出的是女同学的前提下， 该同学是共青团员的概率又是多少？ 1条件概率 定义 一般地
2、，当事件 B 发生的概率大于 0 时(即 P(B)0)，已知事 件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，称为事件概率 表示P(A|B) 计算 公式 P(A|B)PAB PB 思考：P(A|B)与 P(B|A)相同吗？ 提示不同，前者是事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，而后者是事 件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率 2条件概率的性质 (1)0P(B|A)1； (2)P(A|A)1； (3)如果 B 与 C 互斥，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若事件 A，B 互斥，则 P(B|A)1.() (2)事件 A 发生的条件下
3、，事件 B 发生，相当于 A，B 同时发生() (3)P(B|A)P(AB)() 答案(1)(2)(3) 2设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，若 P(AB)1 3，P(A) 2 3，则 P(B|A) () A.1 2 B.2 9 C.1 9 D.4 9 A由 P(B|A)PAB PA 1 3 2 3 1 2，故选 A. 3 (教材 P43例 3 改编)设某动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，则它活到 25 岁的概率是_ 0.5根据条件概率公式知 P0.4 0.80.5. 4 在 100 件产品中有 95 件合格品，5
4、 件不合格品， 现从中不放回地取两次， 每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为 _ 4 99 法一：在第一次取到不合格以后，由于不放回，故还有 99 件产品，其 中 4 件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为 4 99. 法二：第一次取到不合格的概率为 P1 5 100 1 20， 两次都取到不合格品的概率为 P2 C25 C2100 1 495. 所求概率 PP2 P1 1 495 1 20 4 99. 利用定义求条件概率 【例 1】一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取两个球，记 事件“第一次抽到黑球”为 A；事件“第二次抽到黑球”为 B.
5、 (1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率； (2)求 P(B|A) 思路点拨首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于 古典概型，最后利用相应公式求解 解由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)2 5， P(B)2132 54 8 20 2 5， P(AB)21 54 1 10. (2)P(B|A)PAB PA 1 10 2 5 1 4. 1用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算 P(A)，P(AB)； (3)代入公式求 P(B|A)PAB PA . 2 结合古典概型分别求出事件 A， B 的概率， 从而求出 P(B|A)， 揭示出
6、P(A)， P(B)和 P(B|A)三者之间的关系 跟进训练 1(一题两空)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录， 知道一年中下雨天的比例甲市占 20%，乙市占 18%，两地同时下雨占 12%，记 P(A)0.2， P(B)0.18， P(AB)0.12， 则 P(A|B)_， P(B|A)_. 2 3 3 5 由公式 P(A|B)PAB PB 2 3，P(B|A) PAB PA 3 5. 利用基本事件个数求条件概率 【例 2】现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节 目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2
7、)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 思路点拨第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条 件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解 解设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则 第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件 AB. (1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个的事件数为 n()A2630， 根据分步计数原理 n(A)A14A1520，于是 P(A)nA n 20 30 2 3. (2)因为 n(AB)A2412，于是 P(AB)
8、nAB n 12 30 2 5. (3)法一：由(1)(2)可得，在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈 节目的概率为 P(B|A)PAB PA 2 5 2 3 3 5. 法二：因为 n(AB)12，n(A)20， 所以 P(B|A)nAB nA 12 20 3 5. (变结论)本例条件不变，试求在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到 语言类节目的概率 解设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到语言类节目为事件 C， 则第 1 次抽到舞蹈节目、第 2 次抽到语言类节目为事件 AC. n(A)A14A1520， n(AC)A14A128， P(C|A)nAC n
9、A 8 20 2 5. 1本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基 本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法 2计算条件概率的方法 (1)在缩小后的样本空间A中计算事件 B 发生的概率，即 P(B|A) (2)在原样本空间中，先计算 P(AB)，P(A)，再利用公式 P(B|A)PAB PA 计算求得 P(B|A) 条件概率的综合应用 探究问题 先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现 4 点，如何利用条件概率的 性质求第二枚出现“大于 4 点”的概率？并求出此概率 提示设第一枚出现 4 点为事件 A，第二枚出现 5 点为事件 B，第二枚出 现 6 点为事件
10、 C.则所求事件为 BC|A. P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1 6 1 6 1 3. 【例 3】一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 09 中任选 一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字求： (1)任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率 思路点拨(1)不超过 2 次，即第 1 次按对或第 1 次未按对第 2 次按对； (2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解 解设第 i 次按对密码为事件 Ai(i1,2)，则 AA1(A 1A2)表示不超过 2 次按对密码 (1)因为事件A
11、1与事件 A 1A2互斥， 由概率的加法公式得P(A)P(A1)P(A 1A2) 1 10 91 109 1 5. (2)用 B 表示最后一位按偶数的事件，则 P(A|B)P(A1|B)P(A 1A2)|B)1 5 41 54 2 5. 1利用公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但 应注意这个性质的使用前提是“B 与 C 互斥” 2为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件， 求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率 跟进训练 2在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个 白球，从中依次摸 2 个
12、球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑 球的概率 解设“摸出第一个球为红球”为事件 A，“摸出第二个球为黄球”为事 件 B，“摸出第三个球为黑球”为事件 C. 则 P(A) 1 10，P(AB) 12 109 1 45，P(AC) 13 109 1 30. 所以 P(B|A)PAB PA 1 45 1 10 2 9， P(C|A) PAC PA 1 30 1 10 1 3. 所以 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2 9 1 3 5 9. 所以所求的条件概率为5 9. 对条件概率计算公式的两点说明 1如果知道事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率，那么 P(B)P(B|A)；
13、 2已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB 发生，要求 P(B|A)，相当 于把 A 看作新的基本事件空间计算 AB 发生的概率，即 P(B|A)nAB nA nAB n nA n PAB PA . 1某班学生考试成绩中，数学不及格的占 15%，语文不及格的占 5%，两 门都不及格的占 3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是() A0.2B0.33 C0.5D0.6 A记“数学不及格”为事件 A，“语文不及格”为事件 B，P(B|A)PAB PA 0.03 0.150.2， 所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为 0.2. 2抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰
14、子的点数为 4 或 6 时，两枚 骰子的点数之积大于 20 的概率是() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 5 B抛掷红、黄两枚骰子共有 6636 个基本事件，其中红色骰子的点数 为 4 或 6 的 有 12 个 基 本 事 件， 此 时 两 枚 骰 子 点数 之 积 大 于 20 包 含 46,64,65,66，共 4 个基本事件，所求概率为1 3. 3把一枚硬币投掷两次，事件 A第一次出现正面，B第二次出现正 面，则 P(B|A)_. 1 2 P(AB)1 4，P(A) 1 2，P(B|A) 1 2. 4某种元件用满 6 000 小时未坏的概率是3 4，用满 10 000 小时未
15、坏的概率是 1 2，现有一个此种元件，已经用过 6 000 小时未坏，则它能用到 10 000 小时的概 率为_ 2 3 设“用满 6 000 小时未坏”为事件 A，“用满 10 000 小时未坏”为事件 B，则 P(A)3 4，P(AB)P(B) 1 2，所以 P(B|A) PAB PA 1 2 3 4 2 3. 5某人一周晚上值班 2 次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六 晚上或周五晚上值班的概率 解设事件 A 为“周日值班”， 事件 B 为“周五值班”， 事件 C 为“周六值班”， 则 P(A)C 1 6 C27， P(AB) 1 C27， P(AC) 1 C27， 所以 P(B|A) PAB PA 1 6， P(C|A) PAC PA 1 6. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)1 3.
