1、课时分层作业(十九)余弦定理、正弦定理 的应用 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形， 如图所示， 测得 AC 的长度为 4 m， A30，则其跨度 AB 的长为() A12 mB8 m C3 3 mD4 3 m D由题意知，AB30， 所以 C1803030120， 由正弦定理得， AB sin C AC sin B， 即 ABACsin C sin B 4sin 120 sin 30 4 3. 2如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了 与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然
2、 后给出了三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a. 则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为() AB CD D由题意可知， 在三个条件下三角形均可唯一确定， 通过解三角形 的知识可求出 AB故选 D 3在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为 60和 30，已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m，则建筑物高度为 () A20 mB30 mC40 mD60 m C如图，设 O 为顶端在地面的射影，在 RtBOD 中，ODB30，OB 20，BD40，OD20 3， 在 RtAOD 中，OAODtan 6060，
3、 ABOAOB40(m) 4如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 在水平面上， 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是() A30B45 C60D75 BAD26022024 000， AC26023024 500， 在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAD 2AC2CD2 2ADAC 2 2 ，CAD(0，180)， CAD45. 5如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分别为 30，45，60，且 ABBC60 m，则建筑物的高度为() A15 6 mB20 6 m C25 6 mD30 6 m
4、D设建筑物的高度为 h，由题图知， PA2h，PB 2h，PC2 3 3 h， 在PBA 和PBC 中，分别由余弦定理， 得 cosPBA60 22h24h2 260 2h ， cosPBC 6022h24 3h 2 260 2h . PBAPBC180， cosPBAcosPBC0. 由， 解得 h306或 h30 6(舍去)， 即建筑物的高度为 30 6 m 二、填空题 6若两人用大小相等的力 F 提起重为 G 的货物，且保持平衡，则两力的夹 角的余弦值为_ G22F2 2F2 如图，由平行四边形法则可知， |OA |G， 在AOB 中，由余弦定理可得 |OA |2F2F22FFcos()
5、 |OA |G， 2F2(1cos )G2， cos G 22F2 2F2 . 7 如图所示， 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别是 75， 30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于_ m. 120( 31)由题意可知，AC 60 sin 30120. BAC753045，ABC1804530105，所以 sin ABC sin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45 6 2 4 . 在ABC 中，由正弦定理得 AC sin ABC BC BAC， 于是 BC 120 2 2 2 6 4 240 2 2 6120( 31
6、)(m) 8.如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 2 3 ， AB3 2，AD3，则 BD 的长为_ 3sinBACsin(90BAD) cosBAD2 2 3 ， 在ABD 中，有 BD2AB2AD22ABADcosBAD， BD218923 232 2 3 3， BD 3. 三、解答题 9如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸 A 处看到河北岸两个目 标 C，D 分别在北偏东 45和北偏东 30方向，此人向东走 300 米到达 B 处之后， 再看 C，D，则分别在北偏西 15和北偏西 60方向，求目标 C，D 之间的距离 解由题意得， 在ABD 中
7、， 因为DAB60， DBA30， 所以ADB 90，在 RtABD 中， 因为 AB300，所以 BD300sin 60150 3， 在ABC 中，因为CAB45，ABC75，所以ACB60.由正弦定 理得 AB sinACB BC sinCAB， 所以 BC300 3 2 2 2 100 6，在BCD 中，因为 BC100 6，BD150 3， CBD45， 由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcosCBD37 500， 所以 CD50 15. 所以目标 C，D 之间的距离为 5015米 10在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2Asin2B cos
8、2Csin Asin B (1)求角 C 的大小； (2)若 c 3，求ABC 周长的取值范围 解(1)由题意知 1sin2Asin2B1sin2Csin Asin B， 即 sin2Asin2Bsin2Csin Asin B， 由正弦定理得 a2b2c2ab， 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， 又0C，C2 3 . (2)由正弦定理得 a sin A b sin B c sin C2， a2sin A，b2sin B， 则ABC 的周长为 Labc2(sin Asin B) 32 sin Asin 3A 32sin A 3 3. 0A 3， 3A 3 2
9、 3 ， 3 2 sin A 3 1， 2 32sin A 3 32 3， ABC 周长的取值范围是(2 3，2 3 1甲船在岛 A 的正南 B 处，以每小时 4 千米的速度向正北航行，AB10 千米，同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去，当 甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为() A150 7 分钟B15 7 分钟 C21.5 分钟D2.15 小时 A如图，设 t 小时后甲行驶到 D 处，则 AD104t，乙行驶到 C 处，则 AC6t.BAC120， DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)2 2(104t)6tcos 120
10、28t220t10028 t 5 14 2 675 7 . 当 t 5 14时，DC 2最小，即 DC 最小，此时它们所航行的时间为5 1460 150 7 分钟 2如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔 AB 的高度，在塔的同一侧 选择 C，D 两个观测点，且在 C，D 两点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水 平面上测得BCD120，C，D 两地相距 500 m，则电视塔 AB 的高度是() A100 2 mB400 m C200 3 mD500 m D设 ABx，在 RtABC 中，ACB45，BCABx.在 RtABD 中，ADB30，BD 3x.在BCD 中，BCD120，CD50
11、0 m，由余 弦定理得( 3x)2x250022500 xcos 120，解得 x500 m 3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区 的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD已知某人从 O 沿 OD 走 到 D 用了 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为每分钟 50 m，则该扇形的半径为_m. 50 7连接 OC，在OCD 中，OD100，CD150，CDO60，由余 弦定理可得 OC21002150221001501 217 500， OC50 7. 4台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度
12、向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内 的时间为_小时 1设 A 地东北方向上存在点 P 到 B 的距离为 30 千米，APx，在ABP 中，PB2AP2AB22APABcos A，即 302x24022x40cos 45， 化简得 x240 2x7000， |x1x2|2(x1x2)24x1x2400， |x1x2|20， 即图中的 CD20(千米)， 故 tCD v 20 201(小时) 5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAC 2 bsin A (1)求 B； (2)若ABC
13、为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 解(1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B 由 ABC180，可得 sinAC 2 cosB 2，故 cos B 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，故 sin B 2 1 2，因此 B60. (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 由正弦定理得 acsin A sin C sin120C sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知 AC120， 所以 30C90，故1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 .
