1、课时分层作业(三十三)两平面垂直 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确 的序号是() A若 mn，n，则 m B若 m，则 m C若 m，n，n，则 m D若 mn，n，则 m CA 中，由 mn，n可得 m或 m 与相交或 m，错误； B 中，由 m，可得 m或 m 与相交或 m，错误； C 中，由 m，n可得 mn，又 n，所以 m，正确； D 中，由 mn，n，可得 m或 m 与相交或 m，错误 2设l是直二面角，直线 a，直线 b，a，b 与 l 都不垂直，那么说 法中正确的是() Aa 与 b 可能垂直，但不可能平行 B
2、a 与 b 可能垂直，也可能平行 Ca 与 b 不可能垂直，但可能平行 Da 与 b 不可能垂直，也不可能平行 C当 a，b 都与 l 平行时，则 ab，所以 AD 错 如图，若 ab，过 a 上一点 P 在内作 al，因为，所以 a.又 b ，ab，b，与题干要求矛盾，即 a 与 b 不可能垂直排除 B，故选 C 3下列四个命题中错误的是() A过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 B过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 C如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行 D如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平 面的直线必在第一个平面内 B根据空间点
3、、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与 该平面垂直，故 A 正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故 B 不正 确；根据平面与平面平行的性质定理知 C 正确；根据两个平面垂直的性质知 D 正确 4如图所示，将等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面 角，此时BAC60，那么这个二面角大小是() A30B45 C60D90 D连接 BC，则ABC 为等边三角形，设 ADa， 则 BCAC 2a，BDDCa， 所以 BC2BD2DC2， 所以BDC90. 5 如图所示， 在四边形 ABCD 中， ADBC， ADAB， BCD45， BAD 90，将AB
4、D 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，构成四面体 ABCD， 则在四面体 ABCD 中，下列说法正确的是() A平面 ABD平面 ABC B平面 ACD平面 BCD C平面 ABC平面 BCD D平面 ACD平面 ABD D由题意可知，ADAB，ADAB，所以ABD45，故DBC45， 又BCD45，所以 BDDC因为平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，所以 CD平面 ABD，所以平面 ACD平面 ABD故选 D 二、填空题 6如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面 角 BPAC 的大小为_ 90PA平面 ABC，BA，CA平面
5、 ABC， BAPA，CAPA，因此，BAC 即为二面角 BPAC 的平面角又BAC 90，故二面角 BPAC 的大小为 90. 7已知平面，且AB，PC，PD，C，D 是垂足若 PC PD1，CD 2，则平面与平面的位置关系是_ 垂直因为 PC，AB，所以 PCAB 同理 PDAB又 PCPDP，故 AB平面 PCD 设 AB 与平面 PCD 的交点为 H，连接 CH，DH. 因为 AB平面 PCD，所以 ABCH，ABDH， 所以CHD 是二面角 CABD 的平面角 又 PCPD1，CD 2， 所以 CD2PC2PD22， 即CPD90.又 PC，CH，所以 PCCH，同理 PDDH，所以
6、在 平面四边形 PCHD 中，PCHPDHCPD90，所以CHD90，故 平面平面. 8如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD2 3，CC1 2，则二面 角 C1BDC 的大小为_ 30如图，取 BD 中点 O，连接 OC，OC1. ABAD2 3，COBD，CO 6. CDBC，C1DC1B，C1OBD C1OC 为二面角 C1BDC 的平面角， tanC1OCC1C OC 2 6 3 3 ， C1OC30，即二面角 C1BDC 的大小为 30. 三、解答题 9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1
7、F，A1C1A1B1. 求证：(1)直线 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F. 证明(1)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1C1AC 在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DEAC，于是 DEA1C1. 又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F， 所以直线 DE平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1A平面 A1B1C1. 因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1. 又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1 A1，所以 A1C1平面
8、ABB1A1. 因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D 又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A1FA1， 所以 B1D平面 A1C1F. 因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F. 10如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是 A1B1，BC， C1D1和 B1C1的中点 (1)求证：平面 MNF平面 NEF； (2)求二面角 MEFN 的平面角的正切值 解(1)证明：N，F 均为所在棱的中点，NF平面 A1B1C1D1. 而 MN平面 A1B1C1D1， NFMN. 又M，E 均为所
9、在棱的中点， C1MN 和B1NE 均为等腰直角三角形， MNC1B1NE45， MNE90， MNNE.又 NFNEN，MN平面 NEF. 而 MN平面 MNF，平面 MNF平面 NEF. (2)在平面 NEF 中，过点 N 作 NGEF 于点 G，连接 MG. 由(1)得知 MN平面 NEF，又 EF平面 NEF， MNEF. 又 MNNGN，EF平面 MNG，EFMG. MGN 为二面角 MEFN 的平面角 设该正方体的棱长为 2. 在 RtNEF 中，NGNENF EF 22 6 2 3 3 ， 在 RtMNG 中，tanMGNMN NG 2 2 3 3 6 2 . 二面角 MEFN
10、的平面角的正切值为 6 2 . 1(多选题)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为线 段 A1D1上的动点(不包括两个端点)，M 为线段 AP 的中点，则() ACM 与 PN 是异面直线 BCMPN C平面 PAN平面 BDD1B1 D过 P，A，C 三点截正方体的截面一定是等腰梯形 BCD由 C，N，A 共线，即 CN，PM 交于点 A，共面，因此 CM，PN 共 面，A 错误； 记PAC，则 PN2AP2AN22APANcos AP21 4AC 2APACcos ， CM2AC2AM22ACAMcos AC21 4AP 2APACcos ，又 APAC
11、， CM2PN23 4(AC 2AP2)0，CM2PN2，即 CMPN.B 正确； 由于正方体中，ANBD，BB1平面 ABCD，则 BB1AN，BB1BDB， 可得 AN平面 BB1D1D，AN平面 PAN，从而可得平面 PAN平面 BDD1B1，C 正确； 在 C1D1上取点 K，使 D1KD1P，连接 KP，KC，A1C1，易知 PKA1C1， 又正方体中，A1C1AC，PKAC，PK，AC 共面，PKCA 就是过 P，A，C 三 点的正方体的截面，它是等腰梯形，D 正确故选 BCD 2如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三 角形的() A垂心B重心C内心D外心
12、A三侧面两两垂直， 则三条侧棱也两两垂直， PC平面 PAB， ABPC 作 PO平面 ABC 于点 O， 则 ABPO，AB平面 POC，ABOC 同理，OBAC，O 为ABC 的垂心 3已知，是两个不同的平面，m，n 是平面和之外的两条不同直线，下 列四个论断： mn；n；m. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个 命题：_. (或)由面面垂直的判定定理可知， 由 mn， m， n可推出； 由面面垂直的性质定理可知， 由 m， n， 可推出 mn. 4如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a
13、，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF_时，CF平面 B1DF. a 或 2aB1D平面 A1ACC1， CFB1D， 为了使 CF平面 B1DF，只要使 CFDF(或 CFB1F)即可，设 AFx， 则 CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa 或 x2a. 5如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是DAB60且边长为 a 的菱 形，侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD (1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG平面 PAD； (2)求证：ADPB； (3)若E为BC的中点， 能否在棱PC上找到一点F， 使平面DEF平面
14、ABCD， 并证明你的结论 证明(1)在菱形 ABCD 中， DAB60， G 为 AD 的中点， BGAD 又 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， BG平面 PAD (2)如图，连接 PG. PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点，PGAD 由(1)知 BGAD， 又 PG平面 PGB，BG平面 PGB，且 PGBGG， AD平面 PGB PB平面 PGB，ADPB (3)当 F 为 PC 的中点时，平面 DEF平面 ABCD证明如下： F 为 PC 的中点时，在PBC 中，FEPB，又在菱形 ABCD 中，GBDE， 而 FE平面 DEF，DE平面 DEF，FEDEE， 平面 DEF平面 PGB 易知 PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB， 平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD
