1、课时分层作业(四十七)独立事件 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1有以下三个问题： 掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N：“出现的点 数为偶数”； 袋中有 3 白、2 黑，5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M： “第 1 次摸到白球”，事件 N：“第 2 次摸到白球”； 分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 M：“第 1 枚为正面”，事件 N：“两枚 结果相同” 这三个问题中，M，N 是相互独立事件的有() A3 个B2 个 C1 个D0 个 C中，M，N 是互斥事件；中，P(M)3 5，P(N) 1 2.即事件 M 的结果 对事件 N 的结果有影响，所以
2、M，N 不是相互独立事件；中，P(M)1 2，P(N) 1 2，P(MN) 1 4，P(MN)P(M)P(N)，因此 M，N 是相互独立事件 2如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等， 那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是() A4 9 B2 9 C2 3 D1 3 A“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 A， 则 P(A)4 6 2 3， “右边圆 盘指针落在奇数区域”记为事件 B，则 P(B)4 6 2 3，事件 A，B 相互独立，所以 两个指针同时落在奇数区域的概率为2 3 2 3 4 9，故选 A 3甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠
3、军， 乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概 率为() A3 4 B2 3 C3 5 D1 2 A问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 P11 2；第二类，需比 赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P21 2 1 2 1 4.故甲队获得冠军的概率 为 P1P23 4. 4甲、乙二人各进行 1 次射击，如果两人击中目标的概率都是 0.7，两个人 射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有 1 人击中目标的概率是() A0.49B0.42 C0.7D0.91 B由题意可知，两人恰有 1 人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲 没击中乙击中，设“恰有 1 人
4、击中目标”为事件 A，则 P(A)0.7(10.7)(1 0.7)0.70.42. 5如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是1 2，且是相互独立的，则灯亮 的概率为() A 3 16 B3 4 C13 16 D1 4 C记 A，B，C，D 这 4 个开关闭合分别为事件 A，B，C，D，又记 A 与 B 至少有一个不闭合为事件 E ， 则 P( E )P(A B )P( A B)P( AB )3 4，则灯亮的概率为 P1 P( E C D )1P( E )P( C )P( D )1 3 16 13 16. 二、填空题 6如图，用 K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统当 K 正常工作且
5、A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知 K，A1，A2正常工作的概率 依次为 0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为_ 0.864可知 K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以 A1，A2至少 有一个正常工作的概率为 1(10.8)20.96， 所以系统正常工作的概率为 0.90.960.864. 7甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中 任取一球，则取到相同颜色的球的概率是_ 1 2 从甲袋中任取一球是白球的概率为 8 12 2 3，是红球的概率为 4 12 1 3；从乙 袋中任取一球是白球的概率为 6 12 1 2，是红球的概
6、率为 6 12 1 2，故所求事件的概率 为2 3 1 2 1 3 1 2 1 2. 8台风在危害人类的同时，也在保护人类台风给人类送来了淡水资源， 大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫 星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是 _ 0.902设甲、 乙、 丙预报准确依次记为事件 A， B， C， 不准确记为 A ，B， C ， 则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P( A )0.2，P( B )0.3，P( C ) 0.1， 至少两颗预报
7、准确的事件有 AB C ，A B C，ABC，ABC，这四个事件两两 互斥且独立 至少两颗预报准确的概率为 PP(AB C )P(A B C)P( A BC)P(ABC) 0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.9 0.0560.2160.1260.5040.902. 三、解答题 9根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险 的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立 (1)求该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 解记 A表示事件：该地的 1
8、 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买； E 表示事件：该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买 (1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8. (2)D C ，P(D)1P(C)10.80.2， P(E)0.80.20.80.80.80.20.20.80.80.384. 10甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8，乙 射中的概率为 0.9，求： (1)
9、2 人都射中目标的概率； (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率； (4)2 人至多有 1 人射中目标的概率 解设“甲射击 1 次，击中目标”为事件 A，“乙射击 1 次，击中目标” 为事件 B，则 A 与 B， A 与 B，A 与 B ， A 与 B 为相互独立事件 (1)2 人都射中目标的概率为 P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72. (2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、 乙未射中(事件 A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件 A B 发生)根据 题意，事件 A B 与 A B 互斥
10、，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的 概率乘法公式，所求的概率为 P(A B )P( A B)P(A)P( B )P( A )P(B)0.8(10.9)(10.8)0.9 0.080.180.26. (3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人恰有 1 人射中”2 种 情况， 其概率为 PP(AB)P(A B )P( A B)0.720.260.98. (4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人都未射中”两 种情况， 故所求概率为 PP( A B )P(A B )P( A B) P( A )P( B )P(A)P( B )P( A )P(B
11、)0.020.080.180.28. 1 设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率 P(A)是() A2 9 B 1 18 C1 3 D2 3 D由 P(A B )P(B A )，得 P(A)P( B )P(B)P( A )，即 P(A)1P(B) P(B)1P(A)， P(A)P(B) 又 P( A B )1 9，P( A )P( B )1 3，P(A) 2 3. 2从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为1 5，身体关 节构造合格的概率为1 4.从中任挑一儿童， 这两项至少有一项
12、合格的概率是(假定体 型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)() A13 20 B1 5 C1 4 D2 5 D设体型合格为事件 A， 身体关节构造合格为事件 B， A 与 B 为独立事件， 且 P(A)1 5，P(B) 1 4，所以两项中至少有一项合格的概率为 P1P( A B )1 P( A )P( B )14 5 3 4 2 5. 3荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时， 均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概 率的两倍，如图所示假设现在青蛙在 A 荷叶上，则跳三次之后停在 A 荷叶上 的概率是_ 1 3 由已知逆时针跳一次的
13、概率为2 3，顺时针跳一次的概 率为1 3.则逆时针跳三次停在 A 上的概率为 P 12 3 2 3 2 3 8 27， 顺时针跳三次停在 A 上的概率为 P21 3 1 3 1 3 1 27.通过分析 跳三次停在 A 荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在 A 上的概率为 P P1P2 8 27 1 27 1 3. 4甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该 队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客 主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结 果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 0.18记事件
14、M 为甲队以 41 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队 获 胜 ， 前 四 场 甲 队 胜 三 场 负 一 场 ， 所 以 P(M) 0.6(0.620.522 0.60.40.522)0.18. 5在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题， 能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、 三、四轮问题的概率分别为5 6， 4 5， 3 4， 1 3，且各轮问题能否正确回答互不影响 (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率； 解设事件 Ai(i1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”，由已知 P(A1)5 6，P(A 2)4 5，P(A 3)3 4，P(A 4)1 3. (1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则 P(B)P(A1A2 A3 )P(A1)P(A2)P( A3 ) 5 6 4 5 13 4 1 6. (2)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则 P(C)P( A1 A1 A2 A1A2 A3 ) P( A1 )P(A1 A2 )P(A1A2 A3 ) 1 6 5 6 1 5 5 6 4 5 13 4 1 2.
