1、章末综合测评(五)立体几何初步 (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1给出以下四个命题： 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共 面； 若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是() A0B1C2D3 B假设其中有三点共线， 则该直线和直线外的另一点 确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共 线，所以正确；
2、如图，两个相交平面有三个公共点 A，B， C，但 A，B，C，D，E 不共面，所以不正确；显然不正确；不正确因 为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形 2设 l 为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是() A若 l，l，则B若 l，l，则 C若 l，l，则D若，l，则 l B对于 A，若 l，l，则和可能平行也可能相交，故错误； 对于 B，若 l，l，则，故正确； 对于 C，若 l，l，则，故错误； 对于 D，若，l，则 l 与的位置关系有三种可能：l，l，l， 故错误故选 B 3 如图， 已知 PA矩形 ABCD 所在的平面， 则图中互相垂直的平面有() A1 对 B
3、2 对 C3 对 D5 对 DDAAB，DAPA，DA平面 PAB同理 BC平面 PAB，又 AB 平面 PAD，DC平面 PAD，平面 PAD平面 AC，平面 PAB平面 AC，平 面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PAD，平面 PDC平面 PAD，共 5 对 4如图所示，若斜线段 AB 是它在平面上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与平 面所成的角是() A60 B45 C30 D120 AABO 即是斜线 AB 与平面所成的角，在 RtAOB 中，AB2BO， 所以 cosABO1 2， 即ABO60. 5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上， 则该
4、球的表面积为() Aa2B7 3a 2 C11 3 a2D5a2 B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长 相等， 均为 a.如图， P 为三棱柱上底面的中心， O 为球心， 易知 AP2 3 3 2 a 3 3 a， OP1 2a，所以球的半径 ROA 满足 R 2 3 3 a 2 1 2a 2 7 12a 2，故 S 球4R2 7 3a 2. 6已知平面平面，P 是，外一点，过点 P 的直线 m 与，分别交于 A，C 两点，过点 P 的直线 n 与，分别交于 B，D 两点，且 PA6，AC9， PD8，则 BD 的长为() A16B24 或24 5 C14D20 B由得 ABCD分
5、两种情况：若点 P 在，的同侧，则PA PC PB PD， PB16 5 ，BD24 5 ；若点 P 在， 之间， 则有PA PC PB PD， PB16， BD 24. 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，若经过 D1B 的平面分别交 AA1和 CC1于点 E、F，则四边形 D1EBF 的形状是() A矩形 B菱形 C平行四边形 D正方形 C因为过 D1B 的平面和左右两个侧面分别交于 ED1、BF，所以 ED1BF， 同理 D1FEB，所以四边形 D1EBF 是平行四边形 8如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，AD 的中 点， 将ABF 沿 BF 所
6、在的直线进行翻折， 将CDE 沿 DE 所在的直线进行翻折， 在翻折过程中，下列说法错误的是() A无论翻折到什么位置，A、C 两点都不可能重合 B存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 60 C存在某个位置，使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 90 D存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 所成的角为 90 D在 A 中， 点 A 与点 C 一定不重合， 故 A 正确；在 B 中， 存在某个位置， 使得直线 AF 与直线 CE 所成的角为 60，故 B 正确；在 C 中，当平面 ABF平 面 BEDF，平面 DCE平面 BEDF 时，直线 AF 与直线 CE 垂直，
7、故 C 正确；在 D 中，直线 AB 与直线 CD 不可能垂直，故 D 错误故选 D 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的 四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9下列命题为真命题的是() A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 C垂直于同一条直线的两条直线相互平行 D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个 平面不垂直 BD两个平面相交时，也有无数个公共点，A 错；比如 a，b，c， 显然有 ab，ac
8、，但 b 与 c 也可能相交，C 错故选 BD 10正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论 中正确的是() AACBE BB1E平面 ABCD C三棱锥 EABC 的体积为定值 DB1EBC1 ABC因为 AC平面 BDD1B1，故 A 正确；因为 B1D1平面 ABCD，故 B 正确；记正方体的体积为 V， 则 VEABC1 6V， 为定值， 故 C 正确； B 1E 与 BC1不垂直， 故 D 错误. 选 ABC 11如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l平面 MNP 的图形为() A
9、BCD AD如图所示，正方体 ABCDABCD.连接 AC，BD M、P 分别为其所在棱的中点，MPAC 四边形 ABCD 为正方形，ACBD， BB平面 ABCD，AC平面 ABCD，BBAC， ACBD， BDBBB， AC平面DBB， DB平面DBB， ACDB. MPAC，DBMP，同理，可证 DBMN，DBNP， MPNPP，MP平面 MNP，NP平面 MNP， DB平面 MNP，即 l 垂直平面 MNP，故 A 正确 在 D 中，由 A 中证明同理可证 lMP，lMN，又MPMNM，l 平面 MNP.故 D 正确 故选 AD 12. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q
10、 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的 中点，点 P 在 BD1上且 BP2 3BD 1，则下面说法正确的是() AMN平面 APC BC1Q平面 APC CA，P，M 三点共线 D平面 MNQ平面 APC BC如图，对于 A，连接 MN，AC，则 MNAC，连接 AM，CN， 易得 AM，CN 交于点 P，即 MN平面 APC，所以 MN平面 APC 是错误 的 对于 B，由知 M，N 在平面 APC 内，由题易知 ANC1Q，且 AN平面 APC， C1Q平面 APC 所以 C1Q平面 APC 是正确的 对于 C，由知，A，P，M 三点共线是正确的 对于 D，由知 MN平面 APC，又
11、MN平面 MNQ，所以平面 MNQ平 面 APC 是错误的选 BC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线 上) 13已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为 _cm3. 36 3设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x672，所以 x2 cm， 于是其体积 V 3 4 226636 3 cm3. 14已知一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的表面积为 _，体积为_ 3 3 3 设圆锥的底面半径为 r，根据题意，得 2r2，解得 r1，根 据勾股定理， 得圆锥的高为 2212 3， 所以圆锥的表面积 S1
12、 22 212 3， 体积 V1 31 2 3 3 3 . 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各个面引垂线，垂线段分别 为 d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的值为_ 6 3 设四面体的高为 h， 则 h12 2 3 3 2 1 2 6 3 ， 1 3Sh 1 3S(d 1d2d3d4)， d1d2d3d4h 6 3 . 16已知棱长为 3的正方体 ABCDA1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直 线 AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为_ 9 2 8 由题意知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图 形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过 A
13、 点的三个面相切，且 切点分别在线段 AB1，AC，AD1上，如图所示，设线段 AB1上的切点为 E，AC1 与平面 A1BD 的交点为 O2，圆柱上底面的圆心为 O1，半径即为 O1E，记为 r，设 AB1与平面 A1BD 的交点为 F. 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，AC13，A1BBDA1D 6. 由题意知，O2F1 3DF 1 3 3 2 6 2 2 ，AO21 3AC 11. 由 O1EO2F 知O 1E 2 2 AO1 1 ， AO1 2O1E，则圆柱的高为 32AO132 2r， S侧2r(32 2r)4 2 3 2r 4 r2 4 2 r3 2 8 2 9 2
14、8 9 2 8 ， 当 r3 2 8 时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为9 2 8 . 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题满分 10 分)如图，正方体 ABCDABCD的棱长为 a，连接 AC， AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥求： (1)三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥 ABCD 的体积 解(1)ABCDABCD是正方体， 六个面是互相全等的正方形， ACABADBCBDCD 2a， S三棱锥4 3 4 ( 2a)22 3a2，S正方体6a2， S 三棱锥 S正方体 3 3 . (2
15、)显然，三棱锥 AABD，CBCD，DADC， BABC是完全一样的， V三棱锥ABCDV正方体4V 三棱锥AABD a341 3 1 2a 2a1 3a 3. 18(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平 面 ABD平面 BCD， 点 E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上， 且 EFAD 求证：(1)EF平面 ABC； (2)ADAC 证明(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD， 所以 EFAB 又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC， 所以 EF平面 ABC (2)因为平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面
16、 BCDBD， BC平面 BCD，BCBD， 所以 BC平面 ABD 因为 AD平面 ABD，所以 BCAD 又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 AD平面 ABC 又因为 AC平面 ABC， 所以 ADAC 19(本小题满分 12 分)如图，圆锥的轴截面 SAB 为等腰直角三角形，Q 为 底面圆周上一点 (1)若 QB 的中点为 C，求证：平面 SOC平面 SBQ； (2)若AOQ120，QB 3，求圆锥的表面积 解(1)证明：SQSB，OQOB，C 为 QB 的中点， QBSC，QBOC SCOCC，QB平面 SOC 又QB平面 SBQ， 平面 SOC平面
17、SBQ. (2)AOQ120，QB 3， BOQ60，即OBQ 为等边三角形，OB 3. SAB 为等腰直角三角形，SB 6， S 侧 3 63 2， S 表S侧S底3 23(33 2). 20(本小题满分 12 分)如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点 (1)求证：PA平面 BDE； (2)求证：平面 PAC平面 BDE； (3)若二面角 EBDC 为 30，求四棱锥 PABCD 的体积 解(1)证明：连接 OE，如图所示 O，E 分别为 AC，PC 的中点， OEPA OE平面 BDE，PA平面 BDE，PA平面 BD
18、E. (2)证明：PO平面 ABCD， POBD 在正方形 ABCD 中，BDAC 又POACO，BD平面 PAC 又BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE. (3)取 OC 中点 F，连接 EF.E 为 PC 中点， EF 为POC 的中位线，EFPO. 又PO平面 ABCD，EF平面 ABCD， EFBD OFBD，OFEFF，BD平面 EFO， OEBD，EOF 为二面角 EBDC 的平面角， EOF30. 在 RtOEF 中，OF1 2OC 1 4AC 2 4 a， EFOFtan 30 6 12a，OP2EF 6 6 a. VPABCD1 3a 2 6 6 a 6 18a 3.
19、21(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 为线段 AC 上一点 (1)求证：BDEF； (2)若 EF平面 PBD，求AF FC的值 解(1)证明：因为 PA平面 ABCD， BD平面 ABCD， 所以 PABD 又四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD 又 PAACA，所以 BD平面 PAC 又 EF平面 PAC，所以 BDEF. (2)设 AC 与 BD 交于点 O，连接 PO，如图所示 因为 EF平面 PBD，平面 PAC平面 PBDPO，且 EF平面 PAC，所以 EFPO.又 E 是 PC
20、 的中点， 所以 OFFC，所以 AF3FC，即AF FC3. 22(本小题满分 12 分)如图(1)，在 RtABC 中，C90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的 位置，使 A1FCD，如图(2) (1)(2) (1)求证：DE平面 A1CB； (2)求证：A1FBE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.说明理由 解(1)证明：D，E 分别为 AC，AB 的中点， DEBC 又DE平面 A1CB，BC平面 A1CB， DE平面 A1CB (2)证明：由已知得 ACBC 且 DEBC，DEAC
21、， DEA1D，DECD，又 A1DCDD， DE平面 A1DC，而 A1F平面 A1DC， DEA1F. 又A1FCD，DECDD， A1F平面 BCDE，BE平面 BCDE，A1FBE. (3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ. 理由如下： 如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，连接 PQ，QE，PD，则 PQBC 又DEBC，DEPQ， 平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE平面 A1DC，A1C平面 A1DC， DEA1C 又P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， A1CDP.又 DEDPD，A1C平面 DEP. 从而 A1C平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q(A1B 的中点)，使得 A1C平面 DEQ.
