1、第2章常用逻辑用语 2.1命题、定理、定义 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.命题命题 (1)(1)定义定义: :可判断真假的陈述句叫作命题可判断真假的陈述句叫作命题. . (2)(2)一般形式一般形式:“:“如果如果p,p,那么那么q” q” 或或“若若p,p,则则q”q”的形式的形式, ,其中其中p p叫作命题的条叫作命题的条 件件,q,q叫作命题的结论叫作命题的结论. . 导思导思 1.1.命题是如何定义的命题是如何定义的? ? 2.2.命题的一般形式是什么命题的一般形式是什么? ? 3.3.定理、定义的含义是什么定理、定义的含义是什么? ? 【思考】【思考】 根据命题的定义思考
2、根据命题的定义思考, ,命题可分为哪几类命题可分为哪几类? ? 提示提示: :一类是判断为真的命题一类是判断为真的命题, ,即真命题即真命题; ;另一类是判断为假的命题另一类是判断为假的命题, ,即假命题即假命题. . 2.2.定理的含义定理的含义 (1)(1)已经被证明为真的命题已经被证明为真的命题; ; (2)(2)可以作为推理的依据而直接使用可以作为推理的依据而直接使用. . 3.3.定义的含义和特点定义的含义和特点 (1)(1)含义含义: :对某些对象标明符号、指明称谓对某些对象标明符号、指明称谓, ,或者揭示所研究问题中对象的内涵或者揭示所研究问题中对象的内涵. . (2)(2)特点
3、特点: :用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象, ,并加以区别并加以区别. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. .( () ) (2)(2)定理都是真命题定理都是真命题. .( () ) (3)(3)命题命题“当当xRxR时时,x,x2 2是正数是正数”是真命题是真命题. . ( () ) 提示提示: :(1).(1).命题都是陈述句命题都是陈述句. . (2).(2).定理是已经被证明为真的命题定
4、理是已经被证明为真的命题. . (3)(3). .当当x=0 x=0时时x x2 2=0,=0,故此命题是假命题故此命题是假命题. . 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )将命题将命题“互为相反数的两个数之和等于互为相反数的两个数之和等于0”0”改写成改写成 “如果如果p,p,那么那么q”q”的形式的形式:_.:_. 【解析】【解析】如果两个数互为相反数如果两个数互为相反数, ,那么这两个数的和为那么这两个数的和为0.0. 答案答案: :如果两个数互为相反数如果两个数互为相反数, ,那么这两个数的和为那么这两个数的和为0.0. 3.3.给出下列命题给出下列命题: :
5、 ; ;5 5能被能被3 3整除整除; ; 若若abab是正整数是正整数, ,则则a,ba,b都是正整数都是正整数; ; 若直线若直线ab,ab,则直线则直线a a和直线和直线b b无公共点无公共点. .其中真命题的序号为其中真命题的序号为_._. 【解析】【解析】是真命题是真命题; ;是假命题是假命题,5,5不能被不能被3 3整除整除; ;是假命题是假命题, ,例如例如a=-1a=-1和和b=-2b=-2 时时abab是正整数是正整数, ,但但a,ba,b都是负整数都是负整数; ;是真命题是真命题. . 答案答案: : 3 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一命题的概念类型一命题的概
6、念( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.下列语句下列语句: : 65;65;作射线作射线OP;OP;sin 30sin 30= ;= ;x x2 2-1=0-1=0有一个根是有一个根是-1;-1;x10.x0;,x-30; (3)(3)直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余; ; (4)(4)求证求证:xR:xR时时, ,方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0无实数根无实数根. . 【思路导引】【思路导引】 1.1.根据命题的定义逐个判断根据命题的定义逐个判断; ; 2.2.依据是否是陈述句依据是否是陈述句, ,是否可以判断真假逐个判断是否可以判断真假逐个判断
7、. . 【解析】【解析】1.1.选选B.B.是命题是命题, ,是祈使句是祈使句, ,故不是命题故不是命题; ;无法判断真假无法判断真假, ,故不故不 是命题是命题. . 2.(1)2.(1)无法判断真假无法判断真假, ,故不是命题故不是命题. . (2)(2)是能判断为真的陈述句是能判断为真的陈述句, ,是命题是命题; ; (3)(3)是能判断为真的陈述句是能判断为真的陈述句, ,是命题是命题; ; (4)(4)是一个祈使句是一个祈使句, ,没有作出判断没有作出判断, ,不是命题不是命题. . 【解题策略】【解题策略】 判断一个语句是否为命题的三个关键点判断一个语句是否为命题的三个关键点 (1
8、)(1)一个语句是命题首先必须是陈述句一个语句是命题首先必须是陈述句; ; (2)(2)语句表述的内容可以判断真假语句表述的内容可以判断真假, ,含义模糊不清含义模糊不清, ,无法判断真假的语句不是命无法判断真假的语句不是命 题题; ; (3)(3)对于含有变量的语句对于含有变量的语句, ,要注意根据变量的取值范围要注意根据变量的取值范围, ,看能否判断真假看能否判断真假. .若能若能, , 就是命题就是命题; ;否则就不是命题否则就不是命题. . 【补偿训练】【补偿训练】 下列语句中下列语句中, ,哪些是命题哪些是命题? ?哪些不是命题哪些不是命题? ? (1)(1)求证求证: : 是无理数
9、是无理数; ; (2)(2)你是高二学生吗你是高二学生吗? ? (3)x(3)x2 2-3x-4=0;-3x-4=0; (4)(4)若若a=b,a=b,则则a a2 2=b=b2 2. . 3 【解析】【解析】 (1)(1)祈使句祈使句, ,不是命题不是命题; ; (2)(2)疑问句疑问句, ,不是命题不是命题; ; (3)(3)无法判断真假无法判断真假, ,故不是命题故不是命题; ; (4)(4)是能判断真假的陈述句是能判断真假的陈述句, ,是命题是命题. . 类型二命题的结构形式类型二命题的结构形式( (数学抽象数学抽象) ) 【典例】【典例】1.1.写出下列命题的条件和结论写出下列命题的
10、条件和结论: : (1)(1)若整数若整数a a能被能被2 2整除整除, ,则则a a是偶数是偶数; ; (2)(2)若四边形是菱形若四边形是菱形, ,则它的对角线互相垂直平分则它的对角线互相垂直平分; ; (3)(3)如果两个角相等如果两个角相等, ,那么这两个角是对顶角那么这两个角是对顶角; ; (4)(4)如果如果a,ba,b两数的积为两数的积为0,0,那么那么a,ba,b两数都为两数都为0.0. 2.2.将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,p,则则q”(q”(或或“如果如果p,p,那么那么q”)q”)的形式的形式. . (1)(1)绝对值等于它本身的数是正数绝对值等于它本身的数是
11、正数. . (2)(2)等边三角形是锐角三角形等边三角形是锐角三角形. . (3)(3)平行于同一直线的两直线平行平行于同一直线的两直线平行. . (4)(4)在平面内在平面内, ,垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行. . 【思路导引】【思路导引】1.1.已经表示为已经表示为“若若p,p,则则q”(q”(或或“如果如果p,p,那么那么q”)q”)形式的命题形式的命题,p,p是是 命题的条件命题的条件,q,q是命题的结论是命题的结论. . 2.2.先明确命题的条件和结论先明确命题的条件和结论, ,再改写形式再改写形式. . 【解析】【解析】1.(1)1.(1)条
12、件条件p:p:整数整数a a能被能被2 2整除整除, ,结论结论q:aq:a是偶数是偶数. . (2)(2)条件条件p:p:四边形是菱形四边形是菱形, ,结论结论q:q:它的对角线互相垂直平分它的对角线互相垂直平分. . (3)(3)条件条件p:p:两个角相等两个角相等, ,结论结论q:q:这两个角是对顶角这两个角是对顶角. . (4)(4)条件条件p:a,bp:a,b两数的积为两数的积为0,0,结论结论q:a,bq:a,b两数都为两数都为0.0. 2.(1)2.(1)若一个数的绝对值等于它本身若一个数的绝对值等于它本身, ,则这个数是正数则这个数是正数. . (2)(2)如果一个三角形是等边
13、三角形如果一个三角形是等边三角形, ,那么这个三角形是锐角三角形那么这个三角形是锐角三角形. . (3)(3)如果两条直线都与第三条直线平行如果两条直线都与第三条直线平行, ,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行. . (4)(4)在同一平面内在同一平面内, ,如果两条直线都垂直于同一条直线如果两条直线都垂直于同一条直线, ,那么这两条直线互相平那么这两条直线互相平 行行. . 【解题策略】【解题策略】 1.1.将命题改写为将命题改写为“若若p,p,则则q”q”形式的方法及原则形式的方法及原则 2.2.命题改写中的注意点命题改写中的注意点 若命题不是以若命题不是以“若若p,p,则则q”
14、q”这种形式给出时这种形式给出时, ,首先要确定这个命题的条件首先要确定这个命题的条件p p和结和结 论论q,q,进而再写成进而再写成“若若p,p,则则q”q”的形式的形式. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.命题命题“若两个角的两边互相垂直若两个角的两边互相垂直, ,那么这两个角相等那么这两个角相等”的条件的条件p:_,p:_,结论结论 q:_.q:_. 【解析】【解析】条件是条件是“两个角的两边互相垂直两个角的两边互相垂直”, ,结论是结论是“这两个角相等这两个角相等”. . 答案答案: :两个角的两边互相垂直这两个角相等两个角的两边互相垂直这两个角相等 2.2.将下列命题改写成将下列
15、命题改写成“若若p,p,则则q”(q”(或或“如果如果p,p,那么那么q”)q”)的形式的形式. . (1)(1)有限小数一定是有理数有限小数一定是有理数. . (2)(2)直角都相等直角都相等. . (3)(3)偶数是偶数是4 4的倍数的倍数. . (4)(4)三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和. . 【解析】【解析】(1)(1)如果一个数是有限小数如果一个数是有限小数, ,那么它一定是有理数那么它一定是有理数. . (2)(2)如果几个角都是直角如果几个角都是直角, ,那么它们都相等那么它们都相等. . (3)(3)如果一个数是偶数如果一个数是
16、偶数, ,那么这个数是那么这个数是4 4的倍数的倍数. . (4)(4)如果一个角是三角形的外角如果一个角是三角形的外角, ,那么这个外角等于与它不相邻两内角的和那么这个外角等于与它不相邻两内角的和. . 【补偿训练】【补偿训练】 将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,p,则则q”(q”(或或“如果如果p,p,那么那么q”)q”)的形式的形式. . (1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形. . (2)(2)同角的余角相等同角的余角相等. . (3)(3)整数一定是有理数整数一定是有理数. . 【解析】【解析】(1)(1)如果一个四边形的对角线互相垂直如果一个四
17、边形的对角线互相垂直, ,那么这个四边形是菱形那么这个四边形是菱形. . (2)(2)如果两个角是同一个角的余角如果两个角是同一个角的余角, ,那么这两个角相等那么这两个角相等. . (3)(3)如果一个数是整数如果一个数是整数, ,那么它是有理数那么它是有理数. . 类型三判断命题的真假类型三判断命题的真假( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】1.1.能说明命题能说明命题“若若a a2 2bb2 2, ,则则ab”ab”为假的反例是为假的反例是 ( () ) A.a=-2,b=1A.a=-2,b=1B.a=3,b=-2 B.a=3,b=-2 C.a=0,b=1C.a=0,b=1D.a
18、=2,b=1D.a=2,b=1 2.2.下列命题中下列命题中, ,可判断为真的是可判断为真的是 ( () ) A.1,2,2,1A.1,2,2,1是两个集合是两个集合 B.(0,2)B.(0,2)中有两个元素中有两个元素 C. C. 是有限集是有限集 D. D. 是空集是空集 6 xQ|N x 2 xQ|xx20 3.3.判断下列命题的真假判断下列命题的真假: : (1)(1)若实数若实数a,ba,b是集合是集合A A中两个元素中两个元素, ,则则ab;ab; (2) (2) 若若xA,xA,则则x(AB);x(AB); (3)(3)若若xR,xR,则则x x2 2+2x+10;+2x+10;
19、 (4)(4)如果两个角的两边互相平行如果两个角的两边互相平行, ,这两个角一定相等这两个角一定相等. . 【思路导引】【思路导引】1.1.反例是满足题目条件反例是满足题目条件, ,但结论不成立但结论不成立; ; 2.2.依据集合的表示方法及依据集合的表示方法及Q,NQ,N的含义逐个判断的含义逐个判断; ; 3.3.真命题要依据已知定理和结论证明真命题要依据已知定理和结论证明, ,假命题只要举一个反例假命题只要举一个反例. . 【解析】【解析】1.1.选选A.A.对于对于A,A,因为当因为当a=-2,b=1a=-2,b=1时时, , (-2)(-2)2 2112 2 , ,但但-21,-2(-
20、2)(-2)2 2 , ,且且3-2,3-2,所以所以a=3,b=-2a=3,b=-2不是反例不是反例, , 不符合题意不符合题意; ; 对于对于C,C,因为当因为当a=0,b=1a=0,b=1时时,0,02 21112 2, ,且且21,21,所以所以a=2,b=1a=2,b=1不是反例不是反例, ,不符合题意不符合题意. . 2.2.选选D.D.由集合中元素的无序性知由集合中元素的无序性知A A错错;(0,2);(0,2)作为一个有序数对作为一个有序数对, ,是该集合中唯一是该集合中唯一 的元素的元素, ,故故B B错错; ;当当x= ,nNx= ,nN* *时时, N, N,因此因此x
21、x有无数个有无数个, ,故故C C错错;x;x2 2+x+2=0+x+2=0可化为可化为 =0,=0,此方程无实根此方程无实根, ,更没有有理数解更没有有理数解,xQ|x,xQ|x2 2+x+2=0+x+2=0是空集是空集, ,故故D D正正 确确. . 1 n 6 x 2 17 (x) 24 3.(1)3.(1)依据集合中元素的互异性可知依据集合中元素的互异性可知, ,此命题为真此命题为真; ; (2)(2)依据集合并集的定义可知依据集合并集的定义可知, ,此命题为真此命题为真; ; (3)(3)因为因为x x2 2+2x+1=(x+1)+2x+1=(x+1)2 20.0.对于对于xR,xR
22、,不等式恒成立不等式恒成立. .所以所以, ,命题为真命题为真; ; (4)(4)如图如图,1,1与与22的两边互相平行的两边互相平行, ,但是但是12.12. 所以所以, ,命题为假命题为假. . 【变式探究】【变式探究】 例例3(4)3(4)中中“互相平行互相平行”改为改为“互相垂直互相垂直”, ,应如何判断应如何判断? ? 【解析】【解析】如图如图,1,1与与22的两边互相垂直的两边互相垂直, ,但是但是12.12. 【解题策略】【解题策略】 判断命题真假的策略判断命题真假的策略 (1)(1)要判断一个命题是真命题要判断一个命题是真命题, ,一般要有严格的证明或有事实依据一般要有严格的证
23、明或有事实依据, ,比如根据已比如根据已 学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证. . (2)(2)要判断一个命题是假命题要判断一个命题是假命题, ,只要举一个反例即可只要举一个反例即可. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 判断下列命题的真假判断下列命题的真假: : (1)(1)三角形的内角和是三角形的内角和是180180; ; (2)(2)若若x,yx,y互为倒数互为倒数, ,则则xy=1;xy=1; (3)(3)如果如果a a是有理数是有理数, ,则则 a a2 2+10;+10; (4)(4)菱形是中心对称图形菱形是中心对称图形,
24、 ,但不是轴对称图形但不是轴对称图形. . 【解析】【解析】(1)(1)由三角形内角和定理可知由三角形内角和定理可知, ,命题为真命题为真; ; (2)(2)互为倒数的两个数乘积为互为倒数的两个数乘积为1,1,所以命题为真所以命题为真; ; (3)(3)因为因为a a2 20,0,所以所以a a2 2+10,+10,所以命题为真所以命题为真; ; (4)(4)菱形是中心对称图形菱形是中心对称图形, ,对称中心是对角线的交点对称中心是对角线的交点, ,菱形也是轴对称图形菱形也是轴对称图形, ,对称对称 轴是对角线所在直线轴是对角线所在直线, ,所以命题为假所以命题为假. . 【补偿训练】【补偿训
25、练】 判断下列命题的真假判断下列命题的真假: : (1)(1)若若x=3x=3或或x=7,x=7,则则(x-3)(x-7)=0;(x-3)(x-7)=0; (2)(2)若实数集的子集若实数集的子集A A是有限集是有限集, ,则则A A中的元素一定有最大值中的元素一定有最大值; ; (3)(3)在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,c,a,b,c,若若ab,ab,则则AB;AB; (4)(4)正偶数不是质数正偶数不是质数. . 【解析】【解析】(1) (1) 当当x=3x=3或或x=7x=7时时, ,都有都有(x-3)(x-7)=0,(x-3)
26、(x-7)=0,所以命题为真所以命题为真; ; (2) (2) 根据有限集的定义可知根据有限集的定义可知A A中的元素一定有最大值中的元素一定有最大值, ,所以命题为真所以命题为真; ; (3)(3)三角形中大边对大角三角形中大边对大角, ,所以命题为真所以命题为真; ; (4)2(4)2是正偶数是正偶数, ,并且它也是质数并且它也是质数, ,所以命题为假所以命题为假. . 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列语句中下列语句中, ,是命题的个数是是命题的个数是 ( () ) | |x+2x+2|;|;-5Z;-5Z; R;R; 0 0 N. N. A.1A.1B.2B.2C.3C.3
27、D.4D.4 【解析】【解析】选选C.C.不能判断真假不能判断真假, ,不是命题不是命题; ;能判断真假能判断真假, ,是命题是命题. . 2.2.命题命题“平行四边形的对角线既互相平分平行四边形的对角线既互相平分, ,也互相垂直也互相垂直”的结论是的结论是( () ) A.A.这个四边形的对角线互相平分这个四边形的对角线互相平分 B.B.这个四边形的对角线互相垂直这个四边形的对角线互相垂直 C.C.这个四边形的对角线既互相平分这个四边形的对角线既互相平分, ,也互相垂直也互相垂直 D.D.这个四边形是平行四边形这个四边形是平行四边形 【解析】【解析】选选C.C.把命题改写成把命题改写成: :
28、若一个四边形是平行四边形若一个四边形是平行四边形, ,则这个四边形的对角则这个四边形的对角 线既互相平分线既互相平分, ,也互相垂直也互相垂直, ,由此可知由此可知C C正确正确. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )将命题将命题“末位数字是末位数字是4 4的整数一定能被的整数一定能被2 2整除整除”改改 写成写成“若若p,p,则则q”q”的形式为的形式为_._. 【解析】【解析】若一个整数的末位数字是若一个整数的末位数字是4,4,则它一定能被则它一定能被2 2整除整除. . 答案答案: :若一个整数的末位数字是若一个整数的末位数字是4,4,则它一定能被则它一定
29、能被2 2整除整除 4.4.下列语句下列语句: : (1)2+2 (1)2+2 是有理数是有理数; ; (2)1+12;(2)1+12; (3)2(3)2100 100是个大数 是个大数; ; (4)968(4)968能被能被1111整除整除; ; (5)(5)流感病毒是怎样传播的流感病毒是怎样传播的? ? 其中是命题的是其中是命题的是_._. 2 【解析】【解析】(1)(1)能判断真假能判断真假, ,是命题是命题; ; (2)(2)能判断真假能判断真假, ,是命题是命题; ; (3)(3)不能判断真假不能判断真假, ,不是命题不是命题; ; (4)(4)能判断真假能判断真假, ,是命题是命题
30、; ; (5)(5)是疑问句是疑问句, ,不是命题不是命题. . 答案答案: :(1)(2)(4)(1)(2)(4) 5.5.把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p,p,则则q”q”的形式的形式, ,并判断命题的真假并判断命题的真假: : (1)(1)等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等; ; (2)(2)当当x=2x=2或或x=4x=4时时,x,x2 2-6x+8=0;-6x+8=0; (3)(3)已知已知x,yx,y为正整数为正整数, ,当当y=x+1y=x+1时时y=3,x=2.y=3,x=2. 【解析】【解析】(1)(1)命题可改写成命题可改写成: :若一个三角形是等腰三角形若一个三角形是等腰三角形, ,则两个底角相等则两个底角相等, ,真命真命 题题. . (2)(2)命题可改写成命题可改写成: :若若x=2x=2或或x=4,x=4,则则x x2 2-6x+8=0,-6x+8=0,真命题真命题. . (3)(3)命题可改写成命题可改写成: :已知已知x,yx,y为正整数为正整数, ,若若y=x+1,y=x+1,则则y=3,x=2.y=3,x=2.假命题假命题. .
