1、3.2.1基本不等式的证明 必备知识必备知识自主学习自主学习 导导 思思 1.1.基本不等式的应用条件是什么基本不等式的应用条件是什么? ? 2.2.基本不等式有哪些基本用途基本不等式有哪些基本用途? ? 1.1.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 对于正数对于正数a,b,a,b,我们把我们把_称为称为a,ba,b的算术平均数的算术平均数,_,_称为称为a,ba,b的几何平均的几何平均 数数. . 2.2.基本不等式基本不等式 (1)(1)公式公式: : 条件条件:a,b:a,b是正数是正数; ; 结论结论:_;:_; 等号成立等号成立: :当且仅当当且仅当a=ba=b时时. . a
2、b 2 ab ab ab 2 (2)(2)本质本质: :基本不等式表明基本不等式表明, ,两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均不小于它们的几何平均 数数 (3)(3)变形式变形式: :当当a,bRa,bR时时,a,a2 2+b+b2 22ab,a2ab,a2 2+b+b2 2+2ab4ab,ab ,ab (+2ab4ab,ab ,ab (当当 且仅当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立等号成立).). ab 2 ab. 22 ab 2 2 (ab) 2 【思考】【思考】 (1)(1)基本不等式成立的条件能省略吗基本不等式成立的条件能省略吗? ? 提示提示: :基本不等
3、式成立的条件基本不等式成立的条件“a0,b0”a0,b0”不能省略不能省略, ,例如例如 是不成立的是不成立的. . (2)“(2)“当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立等号成立”的含义是什么的含义是什么? ? 提示提示: :一方面是当一方面是当a=ba=b时取等号时取等号, ,即即a=ba=b ; ;另一方面是仅当另一方面是仅当a=ba=b时取等时取等 号号, ,即即 a=b.a=b. 12 12 2 （） （） （） （） ab ab 2 ab ab 2 3.3.用基本不等式求最值的结论用基本不等式求最值的结论 对于正数对于正数a,b,a,b, (1)(1)和和a+ba+b为定值
4、时为定值时, ,积积abab有最有最_值值; ;积积abab为定值时为定值时, ,和和a+ba+b有最有最_值值. . (2)(2)取等号的条件取等号的条件: :当且仅当当且仅当_时时, ., . (3)(3)应用应用: :求和式的最小值求和式的最小值, ,乘积式的最大值乘积式的最大值. . ab ab 2 大大小小 a=ba=b 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)对任意对任意a,bR,aa,bR,a2 2+b+b2 22ab,a+b2 2ab,a+b2 均成立均成立. .( () ) (2)(2)若若a0,a0,
5、则则a+ =4.a+ =4.( () ) (3)(3)若若a0,b0,a0,b0,则则ab .ab .( () ) ab 44 2 a aa 2 ab () 2 提示提示: :(1)(1). .任意任意a,bR,a,bR,有有a a2 2+b+b2 22ab2ab成立成立, ,当当a,ba,b都为正数时都为正数时, ,不等式不等式a+ba+b 2 2 成立成立. . (2)(2). .只有当只有当a0a0时时, ,根据基本不等式根据基本不等式, ,才有不等式才有不等式a+ =4a+ =4成立成立. . (3).(3).因为因为 , ,所以所以ab .ab . ab 44 2 a aa ab a
6、b 2 2 ab () 2 2.2.不等式不等式(x-2y)+ 2(x-2y)+ 2成立的前提条件为成立的前提条件为( () ) A.x2yA.x2yB.x2yB.x2yC.x2yC.x2yD.x2yD.x0,x-2y0,即即x2y.x2y. 1 x2y 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )设设x,yx,y满足满足x+y=40,x+y=40,且且x,yx,y都是正数都是正数, ,则则xyxy的最大值的最大值 为为_._. 【解析】【解析】因为因为x,yx,y都是正数都是正数, ,且且x+y=40,x+y=40,所以所以xy =400,xy =400,当且仅当当且仅当
7、x=y=20 x=y=20时时 取等号取等号. . 答案答案: :400400 2 xy () 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用基本不等式求简单问题的最值类型一利用基本不等式求简单问题的最值( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.当当x1x1时时,(x-1)+ +2,(x-1)+ +2的最小值为的最小值为_._. 2.2.若若x0,y0,x0,y0,且且x+y=18,x+y=18,则则xyxy的最大值是的最大值是_._. 3.3.已知已知x0,x0,x-10,所以所以t2 +2=8,t2 +2=8,当且仅当当且仅当x-1= ,x-1=
8、 ,即即x=4x=4时时,t,t的最小值为的最小值为8.8. 答案答案: :8 8 2.2.由于由于x0,y0,x0,y0,则则x+y2 ,x+y2 ,所以所以xy =81,xy =81,当且仅当当且仅当x=y=9x=y=9时时,xy,xy取到最大取到最大 值值81.81. 答案答案: :8181 3.3.因为因为x0,x0.-x0.则则3x+ =-12,3x+ =-12,当且仅当当且仅当 =-3x,=-3x, 即即x=-2x=-2时时,3x+ ,3x+ 取得最大值为取得最大值为-12.-12. 答案答案: :-12-12 9 x1 9 x1 x1 （） 9 x1 xy 2 xy () 2 1
9、21212 3x 23x xxx （）（） （） 12 x 12 x 【解题策略】【解题策略】 基本不等式的使用条件基本不等式的使用条件 (1)(1)一正一正:a0,b0,:a0,b0,即即: :所求最值的各项必须都是正值所求最值的各项必须都是正值; ; (2)(2)二定二定:ab:ab或或a+ba+b为定值为定值, ,即即: :含变量的各项的和或积必须是常数含变量的各项的和或积必须是常数; ; (3)(3)三相等三相等: :当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号; ;即即: :等号能否取得等号能否取得. . 在应用基本不等式求最值时在应用基本不等式求最值时, ,要逐一验证三个条件是否成
10、立要逐一验证三个条件是否成立. . 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.式子式子 的最小值为的最小值为( () ) A.3A.3B.4B.4C.6C.6D.8D.8 【解析】【解析】选选B. =|x|+ 2 =4,B. =|x|+ 2 =4, 当且仅当当且仅当x=x=2 2时时, ,等号成立等号成立. . 2 x4 x 2 x4 x 4 x 4 2.2.已知已知m=x+ -2(x0),m=x+ -2(x0),则则m m有有( () ) A.A.最大值为最大值为0 0B.B.最小值为最小值为0 0 C.C.最大值为最大值为-4-4D.D.最小值为最小值为-4-4 【解析】【解析】选选C.C.因为因
11、为x0,x0, 所以所以m=- -2-2-2=-4,m=- -2-2-2=-4, 当且仅当当且仅当-x= ,-x= ,即即x=-1x=-1时取等号时取等号. . 1 x 1 x x （） （） 1 -x 类型二拼凑法利用基本不等式求最值类型二拼凑法利用基本不等式求最值( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例】【典例】1.1.已知已知0 x1,0 x1,则则x(3-3x)x(3-3x)取得最大值时取得最大值时x x的值为的值为 ( () ) A. A. 2.2.已知已知x ,x1x1时时, ,不等式不等式x+ ax+ a恒成立恒成立, ,则实数则实数a a的最大值为的最大值为_.
12、_. 【思路导引】【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把通过凑项或凑系数的方法把“不定不定”问题进行转化问题进行转化, ,再用基本不再用基本不 等式求解等式求解. . 1132 B. C. D. 3243 5 4 1 4x5 1 x1 【解析】【解析】1.1.选选B.B.因为因为0 x1,0 x0.1-x0. 所以所以x(3-3x)=3x(1-x)3 x(3-3x)=3x(1-x)3 当当x=1-x,x=1-x,即即x= x= 时取等号时取等号. . 2.2.因为因为x ,x0,5-4x0,令令y=4x-2+ y=4x-2+ 所以所以y=4x-2+ =- +3-2+3=1,y=4x-2+ =-
13、+3-2+3=1,当且仅当当且仅当5-4x= ,5-4x= ,即即x=1x=1时时, , 上式等号成立上式等号成立, ,故当故当x=1x=1时时,y,ymax max=1. =1. 答案答案: :1 1 2 x1x3 (). 24 1 2 5 4 1 , 4x5 1 4x5 1 (54x) 54x 1 54x 3.3.因为因为x1,x1,所以所以x-10.x-10. 又又x+ =x-1+ +12+1=3,x+ =x-1+ +12+1=3,当且仅当当且仅当x=2x=2时等号成立时等号成立, ,则则a3,a3,所以所以a a的最大的最大 值为值为3.3. 答案答案: :3 3 1 x1 1 x1
14、【解题策略】【解题策略】 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形拼凑法的实质在于代数式的灵活变形, ,拼系数、凑常数是关键拼系数、凑常数是关键, ,利用拼凑法求利用拼凑法求 解最值应注意以下几个方面的问题解最值应注意以下几个方面的问题: : (1)(1)拼凑的技巧拼凑的技巧, ,以整式为基础以整式为基础, ,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整注意利用系数的变化以及等式中常数的调整, ,做做 到等价变形到等价变形. . (2)(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. . (3)(3
15、)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.若若0 x ,0 x ,则函数则函数y=x(8-3x)y=x(8-3x)的最大值为的最大值为_._. 【解析】【解析】因为因为0 x ,0 x0,t0,即即x1x1时时,y= ,y= , 因为因为t+ 2 =4(t+ 2 =4(当且仅当当且仅当t=2t=2时取等号时取等号),), 所以所以y= ,y= ,即即y y的最大值为的最大值为 ( (当当t=2,t=2,即即x=5x=5时时y y取得最大值取得最大值).). 答案答案: : x1 x3x1 x1 22 tt . t
16、1 3ttt4 1 4 t1 t 4 t 4 11 4 5 t1 t 1 5 1 5 类型三利用基本不等式证明不等式类型三利用基本不等式证明不等式( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】(1)(1)已知已知a0,a0,求证求证: : (2)(2)已知已知a2a2且且b0,b0,求证求证:a-2+ 2-b:a-2+ 2-b2 2. . 【思路导引】【思路导引】利用基本不等式利用基本不等式, ,结合不等式的基本性质证明结合不等式的基本性质证明. . 2aa1 a. a12 1 a2 【证明】【证明】(1)(1)因为因为a0,a0, 所以所以 , , 所以所以 所以所以 (2)(2)因为因为a
17、2,a2,所以所以a-20,a-20, 所以所以(a-2)+ =2,(a-2)+ =2,(当且仅当当且仅当a=3a=3时时, ,等号成立等号成立) ) 由由b0,b0,得得b b2 20,0,所以所以2-b2-b2 22,2-ba-2+ 2-b2 2. . a1 a 2 (a1)当且仅当时，等号成立 212aa ,a, a1a1aa 所以 2aa1 a. a12 11 2a2 a2a2 （ ） 1 a2 【解题策略】【解题策略】 利用基本不等式证明问题的关注点利用基本不等式证明问题的关注点 (1)(1)若给定的代数式中既有若给定的代数式中既有“和式和式”又有又有“积式积式”, ,这便是这便是
18、应用基本不等式的题眼应用基本不等式的题眼, ,可考虑是否利用基本不等式解决可考虑是否利用基本不等式解决; ; (2)(2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件, , 即即a0,b0,a0,b0,同时注意能否取得等号同时注意能否取得等号. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 若若a,bR,a,bR,且且ab0,ab0,则下列不等式中则下列不等式中, ,恒成立的是恒成立的是( () ) A.aA.a2 2+b+b2 22ab2abB.a+b2 B.a+b2 C. C. D. D. 【解析】【解析】选选D.D.对于对于A A项项, ,当当a=ba=b时时, ,应
19、有应有a a2 2+b+b2 2=2ab,=2ab,所以所以A A项错项错; ;对于对于B,C,B,C,条件条件ab0,ab0, 只能说明只能说明a,ba,b同号同号, ,当当a,ba,b都小于都小于0 0时时,B,C,B,C错误错误; ; 对于对于D D项项, ,因为因为ab0,ab0,所以所以 0,0, 所以所以 =2,=2,所以所以D D项正确项正确. . 112 abab ba 2 ab ab b a a b ， bab a 2 aba b 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.已知已知ab=4,a0,b0,ab=4,a0,b0,则则a+ba+b的最小值为的最小值为 ( () )
20、A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.8D.8 【解析】【解析】选选C.C.因为因为a0,b0,a0,b0,所以所以a+b2 =4,a+b2 =4,当且仅当当且仅当a=b=2a=b=2时取等号时取等号, , 故故a+ba+b的最小值为的最小值为4.4. ab 2.2.若若x x2 2+y+y2 2=2,=2,则则xyxy的最大值是的最大值是( () ) A. A. B.1B.1C.2C.2D.4D.4 【解析】【解析】选选B.xy =1,B.xy =1,当且仅当当且仅当x=yx=y时取时取“=”.=”. 1 2 22 xy 2 3.3.设设ab0,ab0,则下列不等式中一定成立的是则下列不等
21、式中一定成立的是( () ) A.a-b0A.a-b0B.0 1B.0 a+bD.aba+b 【解析】【解析】选选C.C.因为因为ab0,ab0,由基本不等式知由基本不等式知 一定成立一定成立. . a b ab ab 2 ab ab 2 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )若若0 x1,0 x1,则则 的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】由由0 x10 x0,3-2x0, 故故 当且仅当当且仅当x= x= 时时, ,上式等号成立上式等号成立. . 所以所以0 0 答案答案: :0 00,y0,x0,y0,所以所以xy.xy. 答案答案: :xyxy ab ,yab 2 ab2 ababab 22
