1、第2课时函数的概念(二) 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思什么是同一个函数什么是同一个函数? ? 1.1.同一个函数同一个函数 前提条件前提条件 _相同相同 _相同相同 结论结论这两个函数是同一个函数这两个函数是同一个函数 定义域定义域 对应关系对应关系 【思考】【思考】 函数有定义域、对应关系和值域三要素函数有定义域、对应关系和值域三要素, ,为什么判断两个函数是否是同一个函为什么判断两个函数是否是同一个函 数数, ,只看定义域和对应关系只看定义域和对应关系? ? 提示提示: :由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域, ,所以判断两个函
2、数是否所以判断两个函数是否 是同一个函数是同一个函数, ,只看定义域和对应关系即可只看定义域和对应关系即可. . 2.2.常见的函数的定义域和值域常见的函数的定义域和值域 函数函数一次函数一次函数 反比例反比例 函数函数 二次函数二次函数 _ 对应对应 关系关系 y=ax+by=ax+b (a0)(a0) y= y= (k0)(k0) y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c (a0)(a0) y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c (a0)(a0) 定义定义 域域 R Rx|x0 x|x0R RR R 值域值域R Ry|y0y|y0 a0a0a0a0 k x 2 4acb y| y 4
3、a 2 4acb y| y 4a 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)用区间表示集合用区间表示集合x|x1x|x1为为1,+.1,+.( () ) (2)(2)若两个函数的定义域与值域都相同若两个函数的定义域与值域都相同, ,则这两个函数是同一个函数则这两个函数是同一个函数. (. () ) (3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-x-x与与g(t)=tg(t)=t2 2-t-t是同一个函数是同一个函数. .( () ) 提示提示: :(1)(1). .应表示为应表示为1,+).1,+). (2)(2).
4、 .例如例如f(x)= f(x)= 与与g(x)= g(x)= 的定义域与值域相同的定义域与值域相同, ,但这两个不是同一个但这两个不是同一个 函数函数. . (3).(3).函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-x-x与与g(t)=tg(t)=t2 2-t-t的定义域都是的定义域都是R,R,对应关系完全一致对应关系完全一致, ,所以所以 这两个函数是同一个函数这两个函数是同一个函数. . 3 x 5 x 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为( () ) A.(-,-1)(-1,3A.(-,-1)(-1,3B.(
5、-,3B.(-,3 C.(-1,3C.(-1,3D.(-,-1)D.(-,-1) 【解析】【解析】选选A.A.函数函数f(x)= f(x)= 令令 解得解得x3x3且且x-1.x-1. 所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,-1)(-1,3.(-,-1)(-1,3. 2 3x x1 2 3x x1 ， x10 , 3x0 3.3.已知已知f(x)=xf(x)=x2 2+1,+1,则则f(f(-1)=f(f(-1)= ( () ) A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5 【解析】【解析】选选D.D.因为因为f(-1)=(-1)f(-1)=(-1)2 2+1=2,+1
6、=2, 所以所以f(f(-1)=f(2)=2f(f(-1)=f(2)=22 2+1=5.+1=5. 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一对应关系的应用类型一对应关系的应用( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 【典例】【典例】(2020(2020哈尔滨高一检测哈尔滨高一检测) )德国数学家狄利克雷在德国数学家狄利克雷在18371837年时提出年时提出:“:“如如 果对于果对于x x的每一个值的每一个值,y,y总有一个完全确定的值与之对应总有一个完全确定的值与之对应, ,则则y y是是x x的函数的函数”, ,这个这个 定义较清楚地说明了函数的内涵定义较清楚地说明了函数的内涵. .
7、只要有一个法则只要有一个法则, ,使得使得x x在取值范围中的每一在取值范围中的每一 个值个值, ,都有一个确定的都有一个确定的y y和它对应就行了和它对应就行了, ,不管这个对应的法则是公式、图象、不管这个对应的法则是公式、图象、 表格还是其他形式表格还是其他形式, ,已知函数已知函数f(x)f(x)由表给出由表给出, ,则则 的值为的值为( () ) 1 f(10f() 2 A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3 x xx1x11x21x2x2x2 f(x)f(x)1 12 23 3 【思路导引】【思路导引】由里向外根据对应关系求值由里向外根据对应关系求值. . 【解析】【解析】
8、选选D.D.因为因为 x|x1,x|x1, 所以所以 =1,=1, 则则10 =10,10 =10,所以所以 =f(10).=f(10). 又因为又因为10 x|x2,10 x|x2,所以所以f(10)=3.f(10)=3. 1 f() 2 1 f() 2 1 2 1 f(10f() 2 【解题策略】【解题策略】关于函数的三要素关于函数的三要素 (1)(1)函数的定义域即集合函数的定义域即集合A,A,在坐标系中是横坐标在坐标系中是横坐标x x的取值范围的取值范围. . (2)(2)函数的值域并不是集合函数的值域并不是集合B,B,是函数值的集合是函数值的集合f(x)|xA,f(x)|xA,在坐标
9、系中是纵坐在坐标系中是纵坐 标的取值范围标的取值范围. . (3)(3)函数的对应关系函数的对应关系f f反映了自变量反映了自变量x x的运算、对应方法的运算、对应方法, ,通过这种运算对应得到通过这种运算对应得到 唯一的函数值唯一的函数值y.y. 【跟踪训练】【跟踪训练】 已知函数已知函数f(x),g(x)f(x),g(x)分别由表给出分别由表给出 x x1 12 23 3 f(x)f(x)1 13 31 1 x x1 12 23 3 g(x)g(x)3 32 21 1 则方程则方程g(f(x)=3g(f(x)=3的解集为的解集为_._. 【解析】【解析】根据题意根据题意, ,若方程若方程g
10、(f(x)=3,g(f(x)=3,必有必有f(x)=1,f(x)=1,则有则有x=1x=1或或3,3,即方程即方程 g(f(x)=3g(f(x)=3的解集为的解集为1,3.1,3. 答案答案: :1,31,3 类型二判断同一个函数类型二判断同一个函数( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】(2020(2020丰台高一检测丰台高一检测) )下列各组函数下列各组函数, ,是同一个函数的是是同一个函数的是 ( () ) A.f(x)=x+1,g(x)= +1A.f(x)=x+1,g(x)= +1 B.f(x)=x,u= B.f(x)=x,u= C.f(x)=1,g(x)=(x-1)C.f(x)
11、=1,g(x)=(x-1)0 0 D.f(x)= m=|n|D.f(x)= m=|n| 2 x x 2 v x,x0, x,x0, 【思路导引】【思路导引】判断定义域、对应关系是否相同判断定义域、对应关系是否相同. . 【解析】【解析】选选D.D.对于对于A,A,函数函数f(x)=x+1(xR),f(x)=x+1(xR),与与g(x)= +1=x+1(x0)g(x)= +1=x+1(x0)的定义域的定义域 不同不同, ,不是同一个函数不是同一个函数; ;对于对于B,B,函数函数f(x)=x(xR),f(x)=x(xR),与与u= =|v|(vR)u= =|v|(vR)的对应的对应 关系不同关系
12、不同, ,不是同一个函数不是同一个函数; ; 对于对于C,C,函数函数f(x)=1(xR),f(x)=1(xR),与与g(x)=(x-1)g(x)=(x-1)0 0=1(x1)=1(x1)的定义域不同的定义域不同, ,不是同一个不是同一个 函数函数; ; 对于对于D,D,函数函数f(x)= =|x|(xR),f(x)= =|x|(xR),与与m=|n|(nR)m=|n|(nR)的定义域相同的定义域相同, ,对应对应 关系也相同关系也相同, ,是同一个函数是同一个函数. . 2 x x 2 v x,x0, x,x0 【解题策略】【解题策略】判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点判断函数是
13、否是同一个函数的三个步骤和两个注意点 (1)(1)三个步骤三个步骤. . (2)(2)两个注意点两个注意点. . 在化简解析式时在化简解析式时, ,必须是等价变形必须是等价变形; ; 与用哪个字母表示变量无关与用哪个字母表示变量无关. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 (2020(2020宁德高一检测宁德高一检测) )下列两个函数是同一个函数的是下列两个函数是同一个函数的是 ( () ) A.f(x)=xA.f(x)=x2 2,g(x)= ,g(x)= B.f(x)= ,g(x)=xB.f(x)= ,g(x)=x0 0 C.f(x)= ,g(x)=x+1C.f(x)= ,g(x)=x+1 D.f(
14、x)= ,g(x)=|x|D.f(x)= ,g(x)=|x| 2 x x x x 2 x1 x1 x 【解析】【解析】选选B.A.f(x)B.A.f(x)的定义域为的定义域为R,g(x)R,g(x)的定义域为的定义域为 x|x0,x|x0,两个函数的定义域不相同两个函数的定义域不相同, ,不是同一个函数不是同一个函数; ; B.f(x)= =1,B.f(x)= =1,函数的定义域为函数的定义域为x|x0,g(x)=xx|x0,g(x)=x0 0=1,=1,定义域为定义域为x|x0,x|x0,两个两个 函数的定义域相同函数的定义域相同, ,对应关系也相同对应关系也相同, ,是同一个函数是同一个函
15、数; ; C.f(x)=x+1(x1),C.f(x)=x+1(x1),两个函数的定义域不相同两个函数的定义域不相同, ,不是同一个函数不是同一个函数. . D.f(x)D.f(x)的定义域为的定义域为0,+),g(x)0,+),g(x)的定义域是的定义域是R,R,两个函数的定义域和对应关系不两个函数的定义域和对应关系不 相同相同, ,不是同一个函数不是同一个函数. . x x 类型三抽象函数的定义域类型三抽象函数的定义域( (数学运算数学运算) ) 角度角度1 1已知已知f(x)f(x)的定义域求的定义域求f(g(x)f(g(x)的定义域的定义域 【典例】【典例】函数函数y=f(x)y=f(x
16、)的定义域是的定义域是-1,3,-1,3,则则f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为_._. 【思路导引】【思路导引】将将2x+12x+1代入代入f(x)f(x)的定义域解出的定义域解出x x的范围的范围. . 【解析】【解析】令令-12x+13,-12x+13,解得解得-1x1,-1x1, 所以所以f(2x+1)f(2x+1)的定义域为的定义域为-1,1.-1,1. 答案答案: :-1,1-1,1 【变式探究】【变式探究】 本例条件不变本例条件不变, ,试求函数试求函数g(x)= g(x)= 的定义域的定义域. . 【解析】【解析】函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域
17、是-1,3,-1,3, 在函数在函数g(x)= g(x)= 中中, , 令令 解得解得0 x2,0 x2, 所以所以g(x)g(x)的定义域是的定义域是0,2).0,2). f 2x1 x2 f 2x1 x2 12x13 x20 ， ， 角度角度2 2已知已知f(g(x)f(g(x)的定义域求的定义域求f(x)f(x)的定义域的定义域 【典例】【典例】若函数若函数y=f(3x+1)y=f(3x+1)的定义域为的定义域为-2,4,-2,4,则则y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域是 ( () ) A.-1,1A.-1,1B.-5,13B.-5,13 C.-5,1C.-5,1D.-1,13D
18、.-1,13 【思路导引】【思路导引】由由x x的范围求出的范围求出3x+13x+1的范围的范围. . 【解析】【解析】选选B.B.函数函数y=f(3x+1)y=f(3x+1)的定义域为的定义域为-2,4,-2,4, 令令-2x4,-2x4,则则-63x12,-63x12,所以所以-53x+113,-53x+113, 所以函数所以函数y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域是-5,13.-5,13. 【解题策略】【解题策略】抽象函数的定义域抽象函数的定义域 (1)(1)已知已知f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,b,a,b,求求f(g(x)f(g(x)的定义域时的定义域时, ,不等式不等
19、式ag(x)bag(x)b的解的解 集即定义域集即定义域. . (2)(2)已知已知f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为c,d,c,d,求求f(x)f(x)的定义域时的定义域时, ,求出求出g(x)g(x)在在c,dc,d上的范上的范 围围( (值域值域) )即定义域即定义域. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知函数已知函数y=f(-2x+1)y=f(-2x+1)的定义域是的定义域是-1,2,-1,2,则则y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域是 ( () ) A. , 1 A. , 1 B.-3,3B.-3,3 C.-1,5C.-1,5D.D.以上都不对以上都不对 【解析
20、】【解析】选选B.B.函数函数y=f(-2x+1)y=f(-2x+1)的定义域是的定义域是-1,2,-1,2, 即即-1x2,-1x2,所以所以-4-2x2,-4-2x2, 所以所以-3-2x+13,-3-2x+13, 所以所以y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域是-3,3.-3,3. 1 2 2.(20202.(2020宿州高一检测宿州高一检测) )若函数若函数y=f(x+1)y=f(x+1)的定义域是的定义域是-1,1,-1,1,则函数则函数 g(x)= g(x)= 的定义域是的定义域是( () ) A. A. B. B. C.0,1)(1,4C.0,1)(1,4 D.(0,1D.(
21、0,1 f 2x x 1 1 , 2 2 11 ,0)(0, 22 【解析】【解析】选选D.D.由函数由函数y=f(x+1)y=f(x+1)的定义域是的定义域是-1,1,-1,1, 得得-1x1,-1x1,所以所以0 x+12,0 x+12, 所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为0,2;0,2; 函数函数g(x)= g(x)= 中令中令 解得解得0 x1,02B.x|x2 C.x|x1C.x|x1D.x|x1D.x|x1且且x2x2 【解析】【解析】选选D.D.函数函数f(x)= f(x)= 中中, , 令令 解得解得x1x1且且x2,x2, 所以函数所以函数f(x)f(x)的
22、定义域是的定义域是x|x1x|x1且且x2.x2. x1 x2 x1 x2 x10, x20, 2.2.若函数若函数f(x)=axf(x)=ax2 2-1,a-1,a为一个正数为一个正数, ,且且f(f(-1)=-1,f(f(-1)=-1,那么那么a a的值是的值是 ( () ) A.1A.1B.0B.0C.-1C.-1D.2D.2 【解析】【解析】选选A.A.因为因为f(x)=axf(x)=ax2 2-1,-1,所以所以f(-1)=a-1,f(-1)=a-1, f(f(-1)=f(a-1)=af(f(-1)=f(a-1)=a(a-1)(a-1)2 2-1=-1.-1=-1. 所以所以a(a-
23、1)a(a-1)2 2=0.=0. 又因为又因为a a为正数为正数, ,所以所以a=1.a=1. 3.3.已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2-2x,-2x,则则f(a-1)=_.f(a-1)=_. 【解析】【解析】f f(a-1)(a-1)=-=-(a-1)(a-1)2 2-2-2(a-1)(a-1) =-a =-a2 2+1.+1. 答案答案: :-a-a2 2+1+1 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )已知函数已知函数f(x)= ,f(x)= ,则则f(2)+ f(2)+ =_,f(3)+ =_.=_,f(3)+ =_. 【解析】【解析】因为函
24、数因为函数f(x)= ,f(x)= , 所以所以f(2)+ = f(2)+ = f(3)+ = f(3)+ = 答案答案: :1 11 1 2 2 x 1x 1 f() 2 2 2 x 1x 1 f() 2 1 441 4 1 1 1455 1 4 ， 1 f() 3 1 991 9 1. 1 1 91010 1 9 1 f() 3 5.5.若函数若函数y=f(x)y=f(x)的定义域是的定义域是0,2,0,2,则则f(2x)f(2x)的定义域是的定义域是_._. 【解析】【解析】令令02x2,02x2,得得0 x1,0 x1, 所以所以f(2x)f(2x)的定义域为的定义域为0,1.0,1. 答案答案: :0,10,1
