1、4.2.2对数的运算性质 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.对数的运算性质对数的运算性质 (1)(1)性质性质: : 如果如果a0,a0,且且a1,M0,N0,nR,a1,M0,N0,nR,那么那么 积的对数积的对数:log:loga a(MN)=_;(MN)=_; 商的对数商的对数:log:loga a =_; =_; 幂的对数幂的对数:log:loga aM Mn n=_.=_. 导思导思 1.1.对数运算有哪些运算性质对数运算有哪些运算性质? ? 2.2.怎样用怎样用lg 2,lg 3lg 2,lg 3计算计算loglog2 23?3? M N logloga aM+logM+l
2、oga aN N logloga aM-logM-loga aN N nlognloga aM M (2)(2)本质本质: :正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算; ;逆用是将同底数对数的和、逆用是将同底数对数的和、 差分别合并成积、商计算差分别合并成积、商计算, ,数与对数的乘积转化成幂的对数计算数与对数的乘积转化成幂的对数计算. . (3)(3)应用应用: :广泛用于对数式的化简求值中广泛用于对数式的化简求值中, ,解决对数式的计算问题解决对数式的计算问题. . 【思考】【思考】 你能用文字语言叙述对数的运算性质吗你能用文字语言叙述对数的运算性质吗? ?
3、 提示提示: :积的对数等于积的各个因式的对数的和积的对数等于积的各个因式的对数的和; ; 商的对数等于分子的对数减去分母的对数商的对数等于分子的对数减去分母的对数; ; 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底数的对数. . 2.2.换底公式换底公式 (1)(1)公式公式: : logloga aN= (a0,N= (a0,且且a1;N0;c0,c1).a1;N0;c0,c1). (2)(2)本质本质: :将对数的底数换成任意大于零将对数的底数换成任意大于零, ,且不等于且不等于1 1的实数的实数. . (3)(3)应用应用: :将底数换成将底数换成1010或或e,e,即将任
4、意对数运算统一为常用对数或自然对数进行即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行 计算计算. . c c log N log a 【思考】【思考】 (1)(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式? ? (2)(2)你能用换底公式证明结论你能用换底公式证明结论 吗吗? ? 提示提示: :(1)log(1)loga ab= ,logb= ,loga ab= .b= . (2)(2) n m N N m logMlog M n lg b lg a ln b ln a n m m N n N lg Mmlg Mm lg Mm logMlo
5、g M. lg Nnlg Nn lg Nn 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)lg(xy)=lg x(1)lg(xy)=lg xlg y.lg y.( () ) (2) (2) () ) (3) =log(3) =log2 216.16.( () ) 提示提示: :(1)(1).lg(xy)=lg x+lg y.lg(xy)=lg x+lg y. (2)(2).log.log3 3 =log =log3 327-log27-log3 39.9. (3).(3).逆用换底公式可得逆用换底公式可得. . 3 3 3 log
6、2727 log. 9log 9 4 4 log 16 log 2 27 9 2.2.若若lg a-2lg 2=1,lg a-2lg 2=1,则则a=a=( () ) A.4A.4B.10B.10C.20C.20D.40D.40 【解析】【解析】选选D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1,D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1, 所以所以 =10,=10,所以所以a=40.a=40. a 4 a 4 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) ) 若若ln x=2ln a- ln b,ln x=2ln a- ln b,则则x=_.x=_.
7、【解析】【解析】因为因为ln x=2ln a- ln b=ln aln x=2ln a- ln b=ln a2 2 , , 所以所以x=ax=a2 2 . . 答案答案: :a a2 2 1 3 1 3 1 3 b 1 3 b 1 3 b 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一对数运算性质的应用类型一对数运算性质的应用( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020苏州高一检测苏州高一检测) )计算计算:0.25:0.25-0.5 -0.5-log -log5 525=25= ( () ) A.0A.0B.1B.1C.3C.3D.4D.4 2.2.若若a=
8、loga=logm m x,b=log x,b=logm m y,c=log y,c=logm m z, z,则用则用a,b,ca,b,c表示表示 =_.=_. 3.lg3.lg2 22+lg 22+lg 2lg 5+lg 5=_.lg 5+lg 5=_. 2 m xy log z 【解析】【解析】1.1.选选A.0.25A.0.25-0.5 -0.5-log -log5 525= -log25= -log5 55 52 2= -2=0.= -2=0. 2.2.原式原式=log=logm m(xy(xy2 2 )=log )=logm m x+log x+logm m y y2 2+log+l
9、ogm m =log=logm m x+2log x+2logm m y- log y- logm m z=a+2b- c. z=a+2b- c. 答案答案: :a+2b- ca+2b- c 3.lg3.lg2 22+lg 22+lg 2lg 5+lg 5=lg 2lg 5+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1.(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1. 答案答案: :1 1 1 2 2 (0.5) 1 1 () 2 1 2 z 1 2 z 1 2 1 2 1 2 【解题策略】【解题策略】 利用对数运算性质化简求值利
10、用对数运算性质化简求值 (1)“(1)“收收”: :将同底的两个对数的和将同底的两个对数的和( (差差) )合并为积合并为积( (商商) )的对数的对数, ,即公式逆用即公式逆用; ; (2)“(2)“拆拆”: :将积将积( (商商) )的对数拆成同底的两个对数的和的对数拆成同底的两个对数的和( (差差),),即公式的正用即公式的正用; ; (3)“(3)“凑凑”: :将同底数的对数凑成特殊值将同底数的对数凑成特殊值, ,如利用如利用lg 2+lg 5=1,lg 2+lg 5=1,进行计算或化简进行计算或化简. . 【补偿训练】【补偿训练】 若若lg x-lg y=a,lg x-lg y=a,
11、则则 =(=() ) A.3aA.3aB.aB.a3 3C. C. D. D. 【解析】【解析】选选A.lg x-lg y=lg =a, A.lg x-lg y=lg =a, 33 xy lg ()lg() 22 a 3 3 a x y 33 333 xyxyxx lg()lg()lglglg()3lg3a. 2288yy 类型二对数换底公式的应用类型二对数换底公式的应用( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】1.(20201.(2020淮安高一检测淮安高一检测) )设设a=lg 2,b=lg 3,a=lg 2,b=lg 3,则则loglog2 26=6=( () ) A.abA.ab2
12、 2B.aB.a2 2b bC. C. D. D. 2.2.设设loglog3 34 4loglog4 48 8loglog8 8m=logm=log4 416,16,则则m m的值是的值是( () ) A. A. B.9B.9C.18C.18D.27D.27 ab a a ab 1 2 3.(20203.(2020泸州高一检测泸州高一检测) )实数实数a,ba,b满足满足2 2a a=5=5b b=10,=10,则下列关系正确的是则下列关系正确的是( () ) 2111 A.2 B.1 abab 12121 C.2 D. abab2 【思路导引】【思路导引】1.1.利用换底公式将利用换底公式
13、将loglog2 26 6换成常用对数后用换成常用对数后用a,ba,b表示表示; ; 2.2.换成常用对数约分求换成常用对数约分求m m值值; ; 3.3.利用指对互化表示出利用指对互化表示出a,ba,b后验证等式是否成立后验证等式是否成立. . 【解析】【解析】1.1.选选C.C.因为因为a=lg 2,b=lg 3,a=lg 2,b=lg 3, 所以所以loglog2 26= 6= 2.2.选选B.B.因为因为loglog3 34 4loglog4 48 8loglog8 8m m 所以所以lg m= lg m= lg 3=lg 3lg 3=lg 32 2, ,解得解得m=9.m=9. lg
14、 2lg 3ab . lg 2a 4 2lg 2 3lg 2 lg mlg m4lg 2 log 16 lg 3 2lg 2 3lg 2lg 32lg 2 ， 4lg 2 2lg 2 3.3.选选B.B.因为因为2 2a a=5=5b b=10,=10, 所以所以a=loga=log2 2 10,b=log 10,b=log5 5 10, 10, 所以所以 =lg 2, =lg 5,=lg 2, =lg 5, 所以所以 + =lg 2+lg 5=lg (2+ =lg 2+lg 5=lg (25)=1.5)=1. 1 a 1 b 1 a 1 b 【解题策略】【解题策略】 利用换底公式进行化简和求
15、值利用换底公式进行化简和求值 (1)(1)一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值一般换底为常用对数或自然对数进行化简求值; ; (2)(2)如果出现多个指数式相等的式子如果出现多个指数式相等的式子, ,则先化为对数式则先化为对数式, ,再利用对数的运算性质再利用对数的运算性质 化简求值化简求值; ; (3)(3)注意一些常见结论的应用注意一些常见结论的应用, ,如对数的倒数公式如对数的倒数公式 =log=logb ba.a. a 1 log b 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.设设lg 2=a,lg 3=b,lg 2=a,lg 3=b,则则loglog12 125= 5=( () ) 【解
16、析】【解析】选选A.A.因为因为lg 2=a,lg 3=b,lg 2=a,lg 3=b, 则则loglog12 125= 5= 1 a1 a1 a1 a A. B. C. D. 2aba2ba2b2ab 1 lg 21 a . 2lg 2lg 32ab 2.2.若实数若实数a,b,ca,b,c满足满足2 2a a=1 009=1 009b b=2 018=2 018c c=2 020,=2 020,则下列式子正确的是则下列式子正确的是( () ) 【解析】【解析】选选B.B.由已知由已知, ,得得2 2a a=1 009=1 009b b=2 018=2 018c c=2 020,=2 020
17、, 得得a=loga=log2 22 020,b=log2 020,b=log1 009 1 0092 020,c=log 2 020,c=log2 018 2 0182 020, 2 020, 所以所以 =log=log2 020 2 0202, =log 2, =log2 020 2 0201 009, 1 009, =log =log2 020 2 0202 018, 2 018,而而2 21 009=2 018,1 009=2 018,所以所以 + = .+ = . 122111 A. B. abcabc 112212 C. D. abcabc 1 b 1 a 1 c 1 a 1 b
18、1 c 【补偿训练】【补偿训练】已知已知2 2x x=5=5y y=t, + =2,=t, + =2,则则t=(t=() ) A. A. B. B. C. C. D.100D.100 【解析】【解析】选选C.C.因为因为2 2x x=5=5y y=t0,t1,=t0,t1, 所以所以x= ,y= .x= ,y= . 代入代入 + =2,+ =2,所以所以 + =2,+ =2, 所以所以ln 10=ln tln 10=ln t2 2, ,所以所以t t2 2=10,=10,则则t= .t= . 1 x 1 y 1 10 1 100 10 ln t ln 2 ln t ln 5 1 x 1 y l
19、n t ln 2 ln t ln 5 10 类型三实际问题中的对数运算类型三实际问题中的对数运算( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】(2020(2020海淀高一检测海淀高一检测)2018)2018年年9 9月月2424日日, ,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得 主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想, ,这一事件引起了数这一事件引起了数 学界的震动学界的震动. .在在18591859年的时候年的时候, ,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于论小于 某值的素数个数某值的素
20、数个数的论文并提出了一个命题的论文并提出了一个命题, ,也就是著名的黎曼猜想也就是著名的黎曼猜想. .在此之前在此之前, , 著名数学家欧拉也曾研究过这个问题著名数学家欧拉也曾研究过这个问题, ,并得到小于数字并得到小于数字x x的素数个数大约可以表的素数个数大约可以表 示为示为(x) (x) 的结论的结论. .若根据欧拉得出的结论若根据欧拉得出的结论, ,估计估计1 0001 000以内的素数的个数以内的素数的个数 为为( ()()(素数即质数素数即质数,lg e0.434 29,lg e0.434 29,计算结果取整数计算结果取整数) ) A.768A.768B.144B.144C.767
21、C.767D.145D.145 x ln x 【思路导引】【思路导引】根据素数计算公式根据素数计算公式, ,利用换底公式计算利用换底公式计算. . 【解析】解析】选选D.D.由题意可知由题意可知:(1 000) :(1 000) 145. 145. 所以根据欧拉得出的结论所以根据欧拉得出的结论, ,估计估计1 0001 000以内的素数的个数为以内的素数的个数为145.145. 1 000 ln 1 000 1 0001 000 lg e0.434 29 33 【解题策略】【解题策略】 关于对数运算在实际问题中的应用关于对数运算在实际问题中的应用 (1)(1)在与对数相关的实际问题中在与对数相
22、关的实际问题中, ,先将题目中数量关系理清先将题目中数量关系理清, ,再将相关数据代入再将相关数据代入, , 最后利用对数运算性质、换底公式进行计算最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. . (2)(2)在与指数相关的实际问题中在与指数相关的实际问题中, ,可将指数式利用取对数的方法可将指数式利用取对数的方法, ,转化为对数运转化为对数运 算算, ,从而简化复杂的指数运算从而简化复杂的指数运算. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 根据有关资料根据有关资料, ,汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M M约为约为101010 10, ,目前 目前 人类
23、可预测的地面危机总数人类可预测的地面危机总数N N约为约为3 36 62 230 30. .则下列各数中与 则下列各数中与 最接近的是最接近的是( () ) ( (参考数据参考数据:lg 20.30,lg 30.48):lg 20.30,lg 30.48) M N 1111 A. B. C. D. 101001 00010 000 【解析】【解析】选选B.B.汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M M约为约为101010 10, , 目前人类可预测的地面危机总数目前人类可预测的地面危机总数N N约为约为3 36 62 230 30. . 所以所以
24、 两边取常用对数两边取常用对数, , 可得可得lg =lg 10lg =lg 1010 10-lg 3 -lg 36 6-lg 2-lg 230 30 10-610-60.48-300.48-300.30=-1.88.0.30=-1.88. 所以所以 =10=10-1.88 -1.88 . . 10 630 M10 N32 ， M N M N 1 100 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.(20201.(2020南京高一检测南京高一检测) )化简化简lg +2lg 2- lg +2lg 2- 的值得的值得( () ) A.2A.2B.-2B.-2C.1C.1D.-1D.-1 【解析】【解析
25、】选选D.lg +2lg2 - =lg +lg 4-2D.lg +2lg2 - =lg +lg 4-2 =lg -2=1-2=-1.=lg -2=1-2=-1. 5 2 1 1 ( 2 ) 5 2 1 1 ( 2 ) 5 2 5 (4) 2 2.2.已知正实数已知正实数a,b,ca,b,c满足满足loglog2 2a=loga=log3 3b=logb=log6 6c,c,则则( () ) A.a=bcA.a=bcB.bB.b2 2=ac=acC.c=abC.c=abD.cD.c2 2=ab=ab 【解析】【解析】选选C.C.设设loglog2 2a=loga=log3 3b=logb=log
26、6 6c=k,c=k, 则则a=2a=2k k,b=3,b=3k k,c=6,c=6k k, ,所以所以c=ab.c=ab. 【误区警示】【误区警示】本题容易忽视设出本题容易忽视设出loglog2 2a=loga=log3 3b=logb=log6 6c=k,c=k,导致无法表示出导致无法表示出a,b,c.a,b,c. 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )已知已知xlogxlog3 32=1,2=1,则则2 2x x+2+2-x -x的值是 的值是( () ) A.1A.1B.3B.3C. C. D. D. 【解析】【解析】选选D.D.因为因为xlogxlog3 3
27、2=1,2=1, 所以所以x=logx=log2 23,3, 所以所以2 2x x+2+2-x -x= = 8 3 10 3 22 log 3log 3 110 223. 33 4.log4.log2 23 3loglog3 35 5loglog5 516=_.16=_. 【解析】【解析】原式原式= = 答案答案: :4 4 lg 3 lg 5 lg 16lg 164lg 2 4. lg 2 lg 3 lg 5lg 2lg 2 5. =_.5. =_. 【解析】【解析】 答案答案: :1 1 lg 32lg 2 1 lg 1.2 2 12 lg lg 32lg 2 1lg 3lg 21lg 12 1lg 1.2 10 1. lg 1.2lg 1.2lg 1.2lg 1.2lg 1.2
