1、5.4函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.函数除了具有单调性外函数除了具有单调性外, ,还有其他性质吗还有其他性质吗? ? 2.2.奇函数、偶函数分别有怎样的对称性奇函数、偶函数分别有怎样的对称性? ? 函数的奇偶性函数的奇偶性 (1)(1)奇偶性奇偶性: : 奇偶性奇偶性偶函数偶函数奇函数奇函数 条件条件设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为A,A,如果对于任意的如果对于任意的xA,xA,都有都有-xA-xA 前提前提f(-x)=_f(-x)=_f(-x)= _f(-x)= _ 结论结论 函数函数y=f(x)y=f(x
2、)是是 偶函数偶函数 函数函数y=f(x)y=f(x)是是 奇函数奇函数 图象图象 特点特点 关于关于_对称对称关于关于_对称对称 f(x)f(x)-f(x)-f(x) y y轴轴原点原点 (2)(2)本质本质: :奇偶性是函数对称性的表示方法奇偶性是函数对称性的表示方法. . (3)(3)应用应用: :奇偶性是函数的奇偶性是函数的“整体整体”性质性质, ,只有对其定义域内的每一个只有对其定义域内的每一个x,x,都有都有f(-f(- x)=-f(x)(x)=-f(x)(或或f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),才能说才能说f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数函数. . 【思考】【
3、思考】 具有奇偶性的函数具有奇偶性的函数, ,其定义域有何特点其定义域有何特点? ? 提示提示: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1) (1) 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),若存在若存在x,x,使使f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),则函数则函数y=f(x)y=f(x)一定是奇函数一定是奇函数. . ( () ) (2) (2) 若函数的定义域关于原点对称若函数的定义域关于原点对称, ,则这个函数不是奇函数就是偶函数则这个函数不是奇函数就是偶函数. .
4、 ( () ) (3)(3)奇函数的图象一定过奇函数的图象一定过(0,0).(0,0). ( () ) 提示提示: :(1)(1). .奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意x.x. (2)(2). .函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数. . (3)(3). .奇函数的图象不一定过原点奇函数的图象不一定过原点, ,例如函数例如函数y= .y= . 1 x 2.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( () ) 【解析】【解析】选
5、选B.BB.B选项的图象关于选项的图象关于y y轴对称轴对称, ,是偶函数是偶函数, ,其余选项都不具有奇偶性其余选项都不具有奇偶性. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是( () ) A.y=|x|A.y=|x|B.y=3-xB.y=3-x C.y= C.y= D.y=-xD.y=-x2 2+14+14 3 1 x 【解析】【解析】选选C.AC.A、D D两项两项, ,函数均为偶函数函数均为偶函数,B,B项中函数为非奇非偶函数项中函数为非奇非偶函数, ,而而C C项中项中 函数为奇函数函数为奇函数. . 关键能力关键能力
6、合作学习合作学习 类型一函数奇偶性的判断类型一函数奇偶性的判断( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)= f(x)= 的奇偶性是的奇偶性是( () ) A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数 22 1xx1 2.2.函数函数f(x)= f(x)= 的奇偶性是的奇偶性是( () ) A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数 3.3.判断函数判断函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-x-x是否具有奇偶性是
7、否具有奇偶性. . x1,x0 0,x0 x1,x0 ， ， 【解析】【解析】1.1.选选D.D.由由 得得x x2 2=1,=1,即即x=x=1.1.因此函数的定义域为因此函数的定义域为-1,1,-1,1,因为因为 对任意对任意x-1,1,x-1,1,都有都有-x-1,1,-x-1,1,又又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以所以f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. . 2.2.选选A.A.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R, 因为对于任意的因为对于任意的xRxR都有都有-xR,-xR,且且 f(-x)=
8、 f(-x)= 即即f(-x)= f(-x)= 于是有于是有f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 2 2 1x0 x10 ， x1, x0 0, x0 x1, x0 ， ， ， x1,x0 0,x0 x1,x0 ， ， ， 3.3.函数函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 理由如下理由如下: :函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R, 因为对于任意因为对于任意xR,xR,都有都有-xR,-xR,且且f(-x)=2(-x)f(-x)=2(-x)3 3-(-x)=-2x-(-x)=-2x3 3+x=-(2x+x=-(2x3
9、 3-x)=-f(x),-x)=-f(x), 所以函数所以函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 【解题策略】【解题策略】 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法 (1)(1)定义法定义法: :根据函数奇偶性的定义进行判断根据函数奇偶性的定义进行判断. .步骤如下步骤如下: : 判断函数判断函数f(x)f(x)的定义域是否关于原点对称的定义域是否关于原点对称. .若不对称若不对称, ,则函数则函数f(x)f(x)为非奇非偶为非奇非偶 函数函数, ,若对称若对称, ,则进行下一步则进行下一步. . 验证验证.f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x).f(-x)
10、=f(x). 下结论下结论. .若若f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),则则f(x)f(x)为奇函数为奇函数; ; 若若f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),则则f(x)f(x)为偶函数为偶函数; ; 若若f(-x)-f(x),f(-x)-f(x),且且f(-x)f(x),f(-x)f(x),则则f(x)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数. . (2)(2)图象法图象法:f(x):f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数的等价条件是函数的等价条件是f(x)f(x)的图象关于原点的图象关于原点(y(y轴轴) )对称对称. . 【补偿训练】【补偿训练】 下列函数中是偶函数的有下列函
11、数中是偶函数的有_.(_.(填序号填序号) f(x)=xf(x)=x3 3; ;f(x)=|x|+1;f(x)=|x|+1;f(x)= ;f(x)= ; f(x)=x+ ;f(x)=x+ ; f(x)=xf(x)=x2 2,x-1,2.,x-1,2. 2 1 x 1 x 【解析】【解析】对于对于,f(-x)=-x,f(-x)=-x3 3=-f(x),=-f(x),则为奇函数则为奇函数; ;对于对于,f(-x)=|-,f(-x)=|- x|+1=|x|+1=f(x),x|+1=|x|+1=f(x),则为偶函数则为偶函数; ;对于对于, ,定义域为定义域为x|x0,x|x0,关于原点对称关于原点对
12、称,f(-,f(- x)= =f(x),x)= =f(x),则为偶函数则为偶函数; ; 对于对于, ,定义域为定义域为x|x0,x|x0,关于原点对称关于原点对称, , f(-x)=-x- =-f(x),f(-x)=-x- =-f(x),则为奇函数则为奇函数; ; 对于对于, ,定义域为定义域为-1,2,-1,2,不关于原点对称不关于原点对称, ,不具有奇偶性不具有奇偶性, ,则为非奇非偶函数则为非奇非偶函数. . 答案答案: : 22 11 xx （） 1 x 类型二奇偶函数的图象问题类型二奇偶函数的图象问题( (直观想象直观想象) ) 【典例】【典例】已知函数已知函数y=f(x)y=f(x
13、)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,且当且当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2+2x.+2x.现已现已 画出函数画出函数f(x)f(x)在在y y轴左侧的图象轴左侧的图象, ,如图所示如图所示. . (1)(1)请补出完整函数请补出完整函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象. . (2)(2)根据图象写出函数根据图象写出函数y=f(x)y=f(x)的增区间的增区间. . (3)(3)根据图象写出使根据图象写出使y=f(x)0y=f(x)0的的x x的取值范围的取值范围. . 【思路导引】【思路导引】根据偶函数的图象关于根据偶函数的图象关于y y轴对称轴对称, ,补
14、全函数图象补全函数图象, ,增函数的图象是增函数的图象是 上升的上升的, ,求出增区间求出增区间,f(x)0,f(x)0是指的函数图象位于是指的函数图象位于x x轴下方的部分轴下方的部分. . 【解析】【解析】(1)(1)由题意作出函数图象如图由题意作出函数图象如图: : (2)(2)据图可知据图可知, ,增区间为增区间为(-1,0),(1,+).(-1,0),(1,+). (3)(3)据图可知据图可知, ,使使f(x)0f(x)0的的x x的取值范围为的取值范围为(-2,0)(0,2).(-2,0)(0,2). 【解题策略】【解题策略】 巧用奇偶性作函数图象的步骤巧用奇偶性作函数图象的步骤
15、(1)(1)确定函数的奇偶性确定函数的奇偶性. . (2)(2)作出函数在作出函数在(0,+)(0,+)(或或(-,0)(-,0)上对应的图象上对应的图象. . (3)(3)根据奇根据奇( (偶偶) )函数关于原点函数关于原点(y(y轴轴) )对称得出在对称得出在(-,0)(-,0)(或或(0,+)(0,+)上对应的函上对应的函 数图象数图象. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 已知奇函数已知奇函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为-5,5,-5,5,且在区间且在区间0,50,5上的图象如图所示上的图象如图所示. . (1)(1)画出在区间画出在区间-5,0-5,0上的图象上的图象. .
16、 (2)(2)写出使写出使f(x)0f(x)0的的x x的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)(1)因为函数因为函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以y=f(x)y=f(x)在在-5,5-5,5上的图象关于原点对上的图象关于原点对 称称. . 由由y=f(x)y=f(x)在在0,50,5上的图象上的图象, ,可知它在可知它在-5,0-5,0上的图象上的图象, ,如图所示如图所示. . (2)(2)由图象知由图象知, ,使使f(x)0f(x)0,x0,则则-x0,-x0, 则则f(x)=axf(x)=ax2 2-2x,f(-x)=-(-x)-2x,f(-x)=-(-x)2
17、 2+b(-x)=-x+b(-x)=-x2 2-bx,-bx, 则有则有f(x)+f(-x)=(axf(x)+f(-x)=(ax2 2-2x)+(-x-2x)+(-x2 2-bx)-bx) =(a-1)x=(a-1)x2 2-(b+2)x=0,-(b+2)x=0, 分析可得分析可得a=1,b=-2,a=1,b=-2, 故故f(a+b)=f(-1)=-1+2=1.f(a+b)=f(-1)=-1+2=1. 2 2 ax2x,x0 xbx,x0 2.2.若若f(x)=(x+a)(x-4)f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数为偶函数, ,则实数则实数a=_.a=_. 【解析】【解析】方法一方法一:f
18、(x)=(x+a)(x-4)=x:f(x)=(x+a)(x-4)=x2 2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2 2-(a-(a- 4)x-4a,4)x-4a,由由f(x)f(x)为偶函数和为偶函数和f(x)=f(-x),f(x)=f(-x),则则a-4=0,a-4=0,即即a=4.a=4. 方法二方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x:f(x)=(x+a)(x-4)=x2 2+(a-4)x-4a,+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数要使函数为偶函数, ,只需多项式的奇次只需多项式的奇次 项系数为项系
19、数为0,0,即即a-4=0,a-4=0,则则a=4.a=4. 答案答案: :4 4 3.3.已知已知y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2+ax,+ax,且且f(3)=6,f(3)=6,则则a a的值为的值为_._. 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-3)=-f(3)=-6,f(-3)=-f(3)=-6,所以所以(-3)(-3)2 2+a+a(-3)=-6,(-3)=-6,解解 得得a=5.a=5. 答案答案: :5 5 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.设设f(x)f(x)是定义在是
20、定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且当且当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 2- x,- x,则则f(1)=f(1)=( () ) 【解析】【解析】选选A.A.因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, , 所以所以f(1)=-f(-1)= .f(1)=-f(-1)= . 1 2 3131 A. B. C. D. 2222 3 2 2.2.设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的一个函数上的一个函数, ,则函数则函数F(x)=f(x)-f(-x)F(x)=f(x)-f(-x)在在R R上一定上一定( () ) A.A.是奇函数是奇函数 B.B.是
21、偶函数是偶函数 C.C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 D.D.既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数 【解析】【解析】选选A.F(-x)=f(-x)-f(x)A.F(-x)=f(-x)-f(x) =-f(x)-f(-x)=-F(x),=-f(x)-f(-x)=-F(x),符合奇函数的定义符合奇函数的定义. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )如图如图, ,给出奇函数给出奇函数y=f(x)y=f(x)的局部图象的局部图象, ,则则f(-2)+f(-f(-2)+f(- 1)1)的值为的值为( () ) A.1A.1B.0B.0C.-2C.-2D
22、.2D.2 【解析】【解析】选选C.C.由题图知由题图知f(1)= ,f(2)= ,f(1)= ,f(2)= , 又又f(x)f(x)为奇函数为奇函数, ,所以所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)= =-2.f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)= =-2. 31 22 3 2 1 2 4.4.已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,且在区间且在区间(-,0)(-,0)上是增函数上是增函数. .若若f(-3)=0,f(-3)=0, 则则 00 x0时时,f(x)0,f(x)3;x3; 当当x0 x0,f(x)0,解得解得-3x0.-3x0. 答案答案: :x|-3x0 x|-3x3x3 5.5.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 是定义在是定义在(-1,1)(-1,1)上的奇函数上的奇函数, ,则常数则常数m,nm,n的值分别的值分别 为为_._. 【解析】【解析】由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,故得故得m=0.m=0.由由f(x)f(x)是奇函数知是奇函数知f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x), 即即 所以所以x x2 2-nx+1=x-nx+1=x2 2+nx+1,+nx+1,所以所以n=0.n=0. 答案答案: :0,00,0 2 xm xnx1 22 xx xnx1xnx1 ，
