1、第1课时函数的表示方法 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思在初中我们学习了哪些表示函数的方法在初中我们学习了哪些表示函数的方法? ? 1.1.表示函数的三种方法表示函数的三种方法 解析法解析法用用_来表示两个变量之间的函数关系来表示两个变量之间的函数关系 列表法列表法用用_来表示两个变量之间的函数关系来表示两个变量之间的函数关系 图象法图象法用用_表示两个变量之间的函数关系表示两个变量之间的函数关系 2.2.本质本质: :两个变量对应关系的三种不同方式的表示两个变量对应关系的三种不同方式的表示. . 等式等式 列表列表 图象图象 【思考】【思考】 函数的三种表示方法各有哪些优缺点函数的
2、三种表示方法各有哪些优缺点? ? 提示提示: : 表示表示 方法方法 优点优点缺点缺点 列表法列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量对应的不需要计算就可以直接看出与自变量对应的 函数值函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数关系只能表示自变量可以一一列出的函数关系 图象法图象法 能从整体上形象直观地表示出函数的变换情能从整体上形象直观地表示出函数的变换情 况况 只能近似地求出函数值只能近似地求出函数值, ,而且有时误差较大而且有时误差较大 解析法解析法便于用解析式研究函数的性质便于用解析式研究函数的性质 不够形象、直观不够形象、直观, ,而且并不是所有的函数都能用解而且并不是所有的函数都能用
3、解 析法表示出来析法表示出来 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)任何一个函数都可以用图象法表示出来任何一个函数都可以用图象法表示出来. .( () ) (2)(2)任何一个函数都可以用解析法表示出来任何一个函数都可以用解析法表示出来. .( () ) (3)(3)函数的图象一定是连续不断的曲线函数的图象一定是连续不断的曲线. . ( () ) 提示提示: :(1)(1). .如函数如函数f(x)= f(x)= 就不能画出函数的图象就不能画出函数的图象. . (2)(2). .如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解
4、析法表示如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示. . (3)(3). .如如y= y= 的图象就是不连续的曲线的图象就是不连续的曲线. . 1 x 1,xQ, 1,xQ 2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,其中点其中点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(0,3),(3,0),(0,3),(3,0),则则 f(f(0)=f(f(0)=( () ) A.2A.2B.4B.4C.0C.0D.3D.3 【解析】【解析】选选C.C.结合题图可得结合题图可得f(0)=3,f(0)=3,则则f(f(0)=f(3)=0.f(f(0)=f(3)=0. 3.(3.
5、(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )某商场新进了某商场新进了1010台彩电台彩电, ,每台售价每台售价3 0003 000元元, ,试求售试求售 出台数出台数x(xx(x为正整数为正整数) )与收款数与收款数y y之间的函数关系之间的函数关系, ,用解析法表示用解析法表示y=_.y=_. 【解析】【解析】用解析法表示用解析法表示y=3 000 x,x1,2,3,y=3 000 x,x1,2,3,10.,10. 答案答案: :3 000 x,x1,2,3,3 000 x,x1,2,3,10,10 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一函数的表示方法类型一函数的表示方法( (数
6、学建模数学建模) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知已知xQxQ时时,f(x)=1;x,f(x)=1;x为无理数时为无理数时,f(x)=0,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种我们知道函数表示法有三种: :列列 表法表法, ,图象法图象法, ,解析法解析法, ,那么该函数那么该函数y=f(x)y=f(x)应用应用_表示表示( (填序号填序号).). 2.2.某问答游戏的规则是某问答游戏的规则是: :共共5 5道选择题道选择题, ,基础分为基础分为5050分分, ,每答错一道题扣每答错一道题扣1010分分, ,答答 对不扣分对不扣分. .试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得
7、分试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y y与答错题与答错题 目道数目道数x(x0,1,2,3,4,5)x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数关系之间的函数关系. . 【解析】【解析】1.1.因为因为Q Q和无理数的元素无法具体表示和无理数的元素无法具体表示, , 所以所以列表法列表法, ,图象法图象法, ,都无法建立都无法建立x x和和y y之间的对应关系之间的对应关系, ,所以不能表示所以不能表示 函数函数y=f(x).y=f(x). 利用解析法表示为利用解析法表示为f(x)= f(x)= 答案答案: : 1xQ, 0,x. ， 为无理数 2.(1)2.(1)列表法列表法,
8、 ,列出参赛者得分列出参赛者得分y y与答错题目道数与答错题目道数x(x0,1,2,3,4,5)x(x0,1,2,3,4,5)之间的函之间的函 数关系为数关系为: : x x0 01 12 23 34 45 5 y y505040403030202010100 0 (2)(2)图象法图象法, ,画出参赛者得分画出参赛者得分y y与答错题目道数与答错题目道数x(x0,1,2,3,4,5)x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数之间的函数 关系如图关系如图: : (3)(3)解析法解析法, ,参赛者得分参赛者得分y y与答错题目道数与答错题目道数x(x0,1,2,3,4,5)x(x0,1,2,3,
9、4,5)之间的函数关系之间的函数关系 为为:y=50-10 x,x0,1,2,3,4,5.:y=50-10 x,x0,1,2,3,4,5. 【解题策略】【解题策略】关于函数的三种表示方法关于函数的三种表示方法 三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系, ,各有优缺各有优缺 点点, ,在解题的过程中在解题的过程中, ,可以选取最适合的方法表示函数可以选取最适合的方法表示函数. . 【补偿训练】【补偿训练】 某公共汽车某公共汽车, ,行进的站数与票价关系如表行进的站数与票价关系如表: : 行进的行进的 站数站数 1 12
10、23 34 45 56 67 78 89 9 票价票价1 11 11 12 22 22 23 33 33 3 此函数的关系除了列表之外此函数的关系除了列表之外, ,能否用其他方法表示能否用其他方法表示? ? 【解析】【解析】设票价为设票价为y y元元, ,行进的站数为行进的站数为x,x, 解析法解析法: : y= y= 图象法图象法: : 1,x1,2,3 2,x4,5,6 3,x7,8,9 ， ， ， 类型二函数的图象及其应用类型二函数的图象及其应用( (直观想象直观想象) ) 【典例】【典例】1.(20201.(2020徐州高一检测徐州高一检测) )函数函数y= y= 的图象的大致形状是的
11、图象的大致形状是 ( () ) 2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x(-1x2).-2x(-1x2). (1)(1)画出画出f(x)f(x)图象的简图图象的简图. . (2)(2)根据图象写出根据图象写出f(x)f(x)的值域的值域. . 2 x x 【思路导引】【思路导引】1.1.分分x0,x0,x0 x0时时,y= =-x;,y= =-x; 当当x0 x0时时,y= =x,y= =x,则对应的图象为则对应的图象为C.C. 2 x x 2 x x 2.(1)f(x)2.(1)f(x)图象的简图如图所示图象的简图如图所示. . (2)(2)观察观察f(x)f(x)的图象
12、可知的图象可知,f(x),f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是图象上所有点的纵坐标的取值范围是-1,3,-1,3, 即即f(x)f(x)的值域是的值域是-1,3.-1,3. 【解题策略】【解题策略】画函数图象的两种常见方法画函数图象的两种常见方法 (1)(1)描点法描点法: : 一般步骤一般步骤: : 列表列表先找出一些先找出一些( (有代表性的有代表性的) )自变量自变量x,x,并计算出与这些自变量相对应的并计算出与这些自变量相对应的 函数值函数值f(x),f(x),用表格的形式表示出来用表格的形式表示出来; ; 描点描点从表中得到一系列的点从表中得到一系列的点(x,f(x),(x,f(
13、x),在坐标平面上描出这些点在坐标平面上描出这些点; ; 连线连线用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. . (2)(2)变换作图法变换作图法: :常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等. . 【跟踪训练】【跟踪训练】作出下列函数的图象并写出其值域作出下列函数的图象并写出其值域. . (1)y=-x,x0,1,-2,3.(1)y=-x,x0,1,-2,3. (2)y= ,x2,+).(2)y= ,x2,+). 2 x 【解析】【解析】(1)(1)列表列表 x x-2-20 01 1
14、3 3 y y2 20 0-1-1-3-3 函数图象只是四个点函数图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),其值域为其值域为0,-1,2,-3.0,-1,2,-3. (2)(2)列表列表 x x2 23 34 4 y y1 1 当当x2,+)x2,+)时时, ,图象是反比例函数图象是反比例函数y= y= 的一部分的一部分, ,观察图象可知其值域为观察图象可知其值域为 (0,1.(0,1. 2 x 2 3 1 2 【拓展延伸】【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些关于图象变换的常见结论有哪些? ? 提示提示: :(
15、1)y=f(x)(1)y=f(x)与与y=f(-x)y=f(-x)的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称. . (2)y=f(x)(2)y=f(x)与与y=-f(x)y=-f(x)的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称. . (3)y=f(x)(3)y=f(x)与与y=-f(-x)y=-f(-x)的图象关于点的图象关于点(0,0)(0,0)对称对称. . (4)y=f(|x|)(4)y=f(|x|)是保留是保留y=f(x)y=f(x)的的y y轴右边的图象轴右边的图象, ,去掉去掉y y轴左边的图象轴左边的图象, ,且将右边图且将右边图 象沿象沿y y轴对折而成轴对折而成. . (5)y=|f
16、(x)|(5)y=|f(x)|是保留是保留y=f(x)y=f(x)的的x x轴上方的图象轴上方的图象, ,将将x x轴下方的图象沿轴下方的图象沿x x轴对折且去轴对折且去 掉掉x x轴下方的图象而成轴下方的图象而成. . 【拓展训练】【拓展训练】 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,则函数则函数y=f(|x|)y=f(|x|)的图象为的图象为 ( () ) 【解析】【解析】选选B.B.函数函数y=f(|x|)= ,x0y=f(|x|)= ,x0时时, ,函数函数y=f(|x|)y=f(|x|)的图象与的图象与 函数函数y=f(x)y=f(x)的图象相同的图
17、象相同, ,当当x0 x0 x0时的图象关于时的图象关于y y轴对称轴对称. . 所以函数所以函数y=f(|x|)y=f(|x|)的图象为的图象为: .: . f x ,x0 fx ,x0 类型三求函数的解析式类型三求函数的解析式( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 角度角度1 1待定系数法待定系数法 【典例】【典例】一辆中型客车的营运总利润一辆中型客车的营运总利润y(y(单位单位: :万元万元) )与营运年数与营运年数x(xN)x(xN)的变化的变化 关系如表所示关系如表所示, ,要使总利润达到最大值要使总利润达到最大值, ,则该客车的营运年数是则该客车的营运年数是_,_,营运营
18、运 1010年的总利润是年的总利润是_万元万元. x/x/年年4 46 68 8 y y是是x x的二次函数的二次函数7 711117 7 【思路导引】【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数; ;求出函数的解析求出函数的解析 式式, ,计算营运计算营运1010年的总利润年的总利润. . 【解析】【解析】由表格数据可知由表格数据可知,f(4)=f(8)=7.f(6)f(8),f(4)=f(8)=7.f(6)f(8),则二次函数开口向下则二次函数开口向下, ,且对且对 称轴为称轴为x=6,x=6,根据二次函数的性质可知根据二次函数的性质可知,
19、,当当x=6x=6时时, ,营运总利润营运总利润y y最大为最大为11;11;设设 y=a(x-6)y=a(x-6)2 2+11,+11,则则a(4-6)a(4-6)2 2+11=7,+11=7,解得解得a=-1,a=-1,所以当所以当x=10 x=10时时,y=-5.,y=-5. 答案答案: :6 6-5-5 角度角度2 2代入法代入法 【典例】【典例】若若 则则f(x)=_.f(x)=_. 【思路导引】【思路导引】令令t=1+ ,t=1+ ,换元求解析式换元求解析式. . 【解析】【解析】设设t=1+ ,t=1+ ,则则t1, =t-1,t1, =t-1, 因为因为 所以所以f(t)=(t
20、-1)f(t)=(t-1)2 2-1=t-1=t2 2-2t,-2t, 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-2x,(x1).-2x,(x1). 答案答案: :x x2 2-2x,(x1)-2x,(x1) 2 11 f(1)1, xx 1 x 2 11 f(1)1, xx 1 x 1 x 【变式探究】【变式探究】 本例中若已知本例中若已知 (x0),(x0),试求函数的解析式及定义域试求函数的解析式及定义域. . 【解析】【解析】因为因为 = -2,= -2, 令令t=x+ ,t=x+ ,所以所以f(t)=tf(t)=t2 2-2,-2, 因为因为x0,x0,所以所以t=x+ 2 =2,t=
21、x+ 2 =2, 当且仅当当且仅当x=1x=1时等号成立时等号成立, ,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-2(x2).-2(x2). 2 2 11 f(x)x xx 2 2 11 f(x)x xx 2 1 (x) x 1 x 1 x 1 x x 角度角度3 3解方程组法解方程组法 【典例】【典例】(2020(2020秦淮高一检测秦淮高一检测) )已知已知2f(x)+f( )=3x,2f(x)+f( )=3x,求求f(x).f(x). 【思路导引】【思路导引】用用 替换替换x,x,代入后消去代入后消去f( ).f( ). 【解析】【解析】因为因为2f(x)+f( )=3x,2f(x)+f(
22、 )=3x, 用用 替换替换x x得得2f( )+f(x)= ,2f( )+f(x)= , 消去消去f( )f( )得得3f(x)=6x- ,3f(x)=6x- ,所以所以f(x)=2x- .f(x)=2x- . 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 【解题策略】【解题策略】 1.1.待定系数法求解析式待定系数法求解析式 根据已知的函数类型根据已知的函数类型, ,设出函数的解析式设出函数的解析式, ,再根据条件求系数再根据条件求系数, ,常见的函数设法常见的函数设法: : 正比例函数正比例函数y=kx,k0y=kx,k0 反比例函数反比例函数y= ,k
23、0 y= ,k0 一元一次函数一元一次函数y=kx+b,k0y=kx+b,k0 一元二次函数一元二次函数 一般式一般式:y=ax:y=ax2 2+bx+c,a0+bx+c,a0 顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k,a0+k,a0 两点式两点式:y=a(x-x:y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2),a0),a0 k x 2.2.换元法求函数的解析式换元法求函数的解析式 已知复合函数已知复合函数f(g(x)f(g(x)的解析式的解析式, ,令令t=g(x),t=g(x), 当当x x比较容易解出时比较容易解出时, ,可以解出可以解出x x换元代入换元代入; ;
24、当当x x不容易解出时不容易解出时, ,可以考虑先构造可以考虑先构造, , 如如f(1+ )=xf(1+ )=x2 2+ =(x+ )+ =(x+ )2 2-2,-2,令令t=x+ ,t=x+ ,换元代入换元代入. . 换元法还要注意换元换元法还要注意换元t t的范围的范围. . 1 x 2 1 x 1 x 1 x 3.3.解方程组法求函数的解析式解方程组法求函数的解析式 方程组法方程组法( (消去法消去法),),适用于自变量具有对称规律的函数表达式适用于自变量具有对称规律的函数表达式, ,如互为相反数的如互为相反数的 f(-x),f(x)f(-x),f(x)的函数方程的函数方程, ,通过对称
25、规律再构造一个关于通过对称规律再构造一个关于f(-x),f(x)f(-x),f(x)的方程的方程, ,联立联立 解出解出f(x).f(x). 【题组训练】【题组训练】 1.1.已知函数已知函数(x)=f(x)+g(x),(x)=f(x)+g(x),其中其中f(x)f(x)是是x x的正比例函数的正比例函数,g(x),g(x)是是x x的反比例的反比例 函数函数, ,且且( )=16,( )=16,(1)=8,(1)=8,则则(x)(x)的解析式为的解析式为_._. 1 3 【解析】【解析】设设f(x)=mx(m0),f(x)=mx(m0), g(x)= (n0),g(x)= (n0),所以所以
26、(x)=mx+ ,(x)=mx+ , 由由( )=16,( )=16,(1)=8(1)=8得得 解得解得 故故(x)=3x+ ,x0.(x)=3x+ ,x0. 答案答案: :(x)=3x+ ,x0(x)=3x+ ,x0 n x n x 1 3 1 16m3n 3 8mn ， ， m3 n5. ， 5 x 5 x 2.2.已知已知f( )= ,f( )= ,那么那么f(x)=_,f(x)=_,定义域为定义域为_._. 【解析】【解析】由由f( )= f( )= 可知可知, ,函数的定义域为函数的定义域为x|x0,x-1,x|x0,x-1, 用用 替换替换x,x,代入上式得代入上式得:f(x)=
27、:f(x)= 答案答案: : x|x0,x-1x|x0,x-1 1 x 1 x1 1 x 1 x1 1 x 1x . 1 x1 1 x x x1 3.3.已知已知f(x)+2f(-x)= ,f(x)+2f(-x)= ,求求f(x).f(x). 【解析】【解析】因为因为f(x)+2f(-x)= ,f(x)+2f(-x)= , 用用-x-x替换替换x x得得f(-x)+2f(x)=- ,f(-x)+2f(x)=- , 2-2-得得3f(x)=- - =- ,3f(x)=- - =- , 所以所以f(x)=- .f(x)=- . 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 【补偿训练】【
28、补偿训练】 已知已知f(x)f(x)满足满足f(x)=2f( )+x,f(x)=2f( )+x,则则f(x)f(x)的解析式为的解析式为_._. 【解析】【解析】因为因为f(x)=2f( )+x,f(x)=2f( )+x,用用 替换替换x x得得f( )=2f(x)+ ,f( )=2f(x)+ , 代入上式得代入上式得f(x)= f(x)= 解得解得f(x)= .f(x)= . 答案答案: :f(x)= f(x)= 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 22f xx, x 2x 3x3 2x 3x3 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象
29、如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象. .由图象可知由图象可知, , 下列说法中错误的是下列说法中错误的是( () ) A.A.这天这天1515时的温度最高时的温度最高 B.B.这天这天3 3时的温度最低时的温度最低 C.C.这天的最高温度与最低温度相差这天的最高温度与最低温度相差1313 D.D.这天这天2121时的温度是时的温度是3030 【解析】【解析】选选C.C.这天的最高温度与最低温度相差为这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14().36-22=14(). 2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)满足满足:f( )=8x:f( )=8x2 2-2x-1,-2x-1,
30、则则f(x)=f(x)=( () ) A.2xA.2x4 4+3x+3x2 2B.2xB.2x4 4-3x-3x2 2 C.4xC.4x4 4+x+x2 2D.4xD.4x4 4-x-x2 2 【解析】【解析】选选A.A.令令t= ,t0,t= ,t0,得得x= ,x= , 故有故有f(t)=8f(t)=8 -2 -2 -1, -1, 整理得整理得f(t)=2tf(t)=2t4 4+3t+3t2 2, ,即即f(x)=2xf(x)=2x4 4+3x+3x2 2,x0.,x0. 2x1 2x1 2 t1 2 2 2 2 t1 2 2 t1 2 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :复习题改编
31、复习题改编) )已知函数已知函数f(x)=x- ,f(x)=x- ,且此函数的图象过点且此函数的图象过点 (5,4),(5,4),则实数则实数m m的值为的值为_._. 【解析】【解析】因为函数因为函数f(x)=x- f(x)=x- 的图象过点的图象过点(5,4),(5,4), 所以所以4=5- ,4=5- ,解得解得m=5.m=5. 答案答案: :5 5 m x m x m 5 4.(20204.(2020无锡高一检测无锡高一检测) )已知一次函数已知一次函数f(x)f(x)满足条件满足条件f(x+1)+f(x)=2x,f(x+1)+f(x)=2x,则函数则函数 f(x)f(x)的解析式为的
32、解析式为f(x)=_.f(x)=_. 【解析】【解析】设设f(x)=kx+b,k0,f(x)=kx+b,k0, 因为因为f(x+1)+f(x)=2x,f(x+1)+f(x)=2x,所以所以k(x+1)+b+kx+b=2x,k(x+1)+b+kx+b=2x, 即即2kx+k+2b=2x,2kx+k+2b=2x,所以所以 解可得解可得,k=1,b=- ,k=1,b=- , 所以所以f(x)=x- .f(x)=x- . 答案答案: :x- x- 2k2, k2b0 ， 1 2 1 2 1 2 5.5.作出下列函数的图象作出下列函数的图象, ,并求其值域并求其值域: : (1)y=1-x(xZ,(1)
33、y=1-x(xZ,且且|x|2).|x|2). (2)y=2x(2)y=2x2 2-4x-3(0 x3).-4x-3(0 x3). 【解析】【解析】(1)(1)因为因为xZ,xZ,且且|x|2,|x|2,所以所以x-2,-1,0,1,2,x-2,-1,0,1,2, 所以该函数图象为直线所以该函数图象为直线y=1-xy=1-x上的孤立点上的孤立点( (如图如图).). 由图象知由图象知,y-1,0,1,2,3.,y-1,0,1,2,3. (2)(2)因为因为y=2(x-1)y=2(x-1)2 2-5,-5,所以当所以当x=0 x=0时时,y=-3;,y=-3; 当当x=3x=3时时,y=3;,y=3;当当x=1x=1时时,y=-5.,y=-5. 因为因为x0,3),x0,3),故图象是一段抛物线故图象是一段抛物线( (如图如图).). 由图象可知由图象可知,y-5,3).,y-5,3).
