1、7.3.3函数y=Asin(x+) 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.图象变换图象变换 (1)(1)对函数对函数y=sin(x+y=sin(x+) )图象的影响图象的影响: : y=sin xy=sin x图象图象 y=sin(x+y=sin(x+) )图象图象. . (2)(2)对函数对函数y=sin xy=sin x图象的影响图象的影响: : y=sin xy=sin x图象各点图象各点_坐标变为原来的坐标变为原来的_倍倍(_(_坐标不变坐标不变) )得到得到y=sin xy=sin x图象图象. . (3)A(3)A对函数对函数y=Asin xy=Asin x图象的影响图象的影响
2、: : y=sin xy=sin x图象各点图象各点_坐标变为原来的坐标变为原来的_倍倍(_(_坐标坐标不变不变) )得到得到y=Asin xy=Asin x图象图象. . 横横 1 纵纵 纵纵A A横横 2.2.图象变换的本质图象变换的本质 、A A分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩. . 3.3.图象变换的应用图象变换的应用 、A A广泛应用于图形变换广泛应用于图形变换, ,求函数的最值求函数的最值, ,周期等数学问题中周期等数学问题中. . 【思考】【思考】 先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗? ? 提示
3、提示: :不相同不相同. .平移的单位长度不同平移的单位长度不同. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)将将y=sin xy=sin x的图象向右平移的图象向右平移 个单位个单位, ,得到得到y=sin y=sin 的图象的图象. .( () ) (2)(2)将将y=sin xy=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的图象上所有点的横坐标变为原来的 , ,得到得到y=sin xy=sin x的图象的图象. . ( () ) (3)(3)将将y=sin xy=sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的图象上所有点的
4、纵坐标变为原来的2 2倍倍, ,得到得到y=2sin xy=2sin x的图象的图象. . ( () ) 4 (x) 4 1 2 1 2 提示提示: :(1)(1). .把把y=sin xy=sin x的图象向右平移的图象向右平移 个单位个单位, ,得到得到y=sin y=sin 的图象的图象. . (2)(2).y=sin x.y=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的图象上所有点的横坐标变为原来的 , ,得到得到y=sin 2xy=sin 2x的图象的图象. . (3).(3). 4 (x) 4 - 1 2 2.2.为了得到函数为了得到函数y=sin(x+1)y=sin(x+1)的图象的
5、图象, ,只需把函数只需把函数y=sin xy=sin x的图象上所有的点的图象上所有的点 ( () ) A.A.向左平行移动向左平行移动1 1个单位长度个单位长度 B.B.向右平行移动向右平行移动1 1个单位长度个单位长度 C.C.向左平行移动向左平行移动个单位长度个单位长度 D.D.向右平行移动向右平行移动个单位长度个单位长度 【解析】【解析】选选A.A.根据图象平移的方法根据图象平移的方法, ,左加右减左加右减, ,平移平移1 1个单位个单位. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )函数函数y=sin 4xy=sin 4x的图象可由函数的图象可由函数y=si
6、n xy=sin x的图象的图象 经过怎样的变换得到经过怎样的变换得到( () ) A.A.所有点的横坐标变为原来的所有点的横坐标变为原来的4 4倍倍 B.B.所有点的横坐标变为原来的所有点的横坐标变为原来的 C.C.所有点的纵坐标变为原来的所有点的纵坐标变为原来的4 4倍倍 D.D.所有点的纵坐标变为原来的所有点的纵坐标变为原来的 【解析】【解析】选选B.y=sin xB.y=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的图象上所有点的横坐标变为原来的 后变后变 为为y=sin 4xy=sin 4x的图象的图象. . 1 4 1 4 1 4 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一三角函数图象的平
7、移变换类型一三角函数图象的平移变换( (直观想象、数学运算直观想象、数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.把函数把函数y=sin xy=sin x的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析式为个单位长度后所得图象的解析式为 ( () ) A.y=sin x- A.y=sin x- B.y=sin x+ B.y=sin x+ C.y=sin C.y=sin D.y=sinD.y=sin 3 3 3 (x) 3 (x) 3 2.(20202.(2020绍兴高一检测绍兴高一检测) )函数函数y=sin 2xy=sin 2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度后得到个单位
8、长度后得到 函数函数f(x)=sin(2x+f(x)=sin(2x+)(0)(02)2)的图象的图象, ,则则的值为的值为( () ) 3.3.将函数将函数y= y= 的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度个单位长度, ,再向下平移再向下平移3 3个个 单位长度单位长度, ,则所得图象的解析式为则所得图象的解析式为_._. 3 42 A. B. C. D. 3336 2cos(2x) 3 3 【解析】【解析】1.1.选选D.D.根据图象变换的方法根据图象变换的方法,y=sin x,y=sin x的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度个单位长度 后得到后得到y=sin y=sin 的图象的图
9、象. . 2.2.选选B.B.函数函数y=sin 2xy=sin 2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度后得到函数个单位长度后得到函数f(x)=f(x)= =sin(2x+ =sin(2x+) )的图象的图象, , 由于由于0020,0,则左移则左移个单位个单位; ;若若0,0)(0)时时, ,若若0,0,则左移则左移 个单位个单位; ;若若0,0,1.A=30,故将函数故将函数y=sin y=sin 图象上所有点的横坐标保持不变图象上所有点的横坐标保持不变, ,纵纵 坐标伸长为原来的坐标伸长为原来的3 3倍即可得到函数倍即可得到函数y=3sin y=3sin 的图象的图象. . 答案答
10、案: :伸长伸长3 3 (2x) 4 (2x) 4 2.2.选选A.A.函数函数y=4sin y=4sin 的图象上各点横坐标伸长为原来的的图象上各点横坐标伸长为原来的2 2倍倍, ,纵坐标不变纵坐标不变, , 得到得到y=4sin y=4sin 的图象的图象. . (x) 6 1 (x) 26 【解题策略】【解题策略】三角函数图象伸缩变换的方法三角函数图象伸缩变换的方法 【跟踪训练】【跟踪训练】1.1.为了得到函数为了得到函数y=sin y=sin 的图象的图象, ,需将函数需将函数y=sin y=sin 的图象的图象 ( () ) A.A.纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的3 3倍倍, ,横
11、坐标不变横坐标不变 B.B.横坐标变为原来的横坐标变为原来的3 3倍倍, ,纵坐标不变纵坐标不变 C.C.横坐标变为原来的横坐标变为原来的 , ,纵坐标不变纵坐标不变 D.D.纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的 , ,横坐标不变横坐标不变 (3x) 6 (x) 6 1 3 1 3 【解析】【解析】选选C.C.只需将函数只需将函数y=sin y=sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的的图象上所有点的横坐标变为原来的 , , 纵坐标不变纵坐标不变, ,便得到函数便得到函数y=sin y=sin 的图象的图象. . (x) 6 1 3 (3x) 6 2.2.将函数将函数y=sin y=sin 图象上
12、各点的纵坐标不变图象上各点的纵坐标不变, ,横坐标伸长为原来的横坐标伸长为原来的5 5倍倍, , 可得到函数可得到函数_的图象的图象. 【解析】【解析】把把y=sin y=sin 的图象上各点的纵坐标不变的图象上各点的纵坐标不变, ,横坐标伸长为原来的横坐标伸长为原来的5 5倍倍, , 得到得到y=sin y=sin 的图象的图象. . 答案答案: :y=siny=sin (x) 3 (x) 3 1 ( x) 53 1 ( x) 53 类型三三角函数图象的综合变换类型三三角函数图象的综合变换( (直观想象、数学运算直观想象、数学运算) ) 角度角度1 1同名三角函数的变换同名三角函数的变换 【
13、典例】【典例】已知函数已知函数y=3sin ,y=3sin ,请说明此图象是由请说明此图象是由y=sin xy=sin x的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到的样的变换得到的. . 【思路导引】【思路导引】平移时平移时, ,注意左加右减注意左加右减, ,上加下减上加下减; ;伸缩时伸缩时, ,沿沿x x轴伸缩轴伸缩, ,变为原来的变为原来的 倍倍, ,沿沿y y轴伸缩轴伸缩, ,变为原来的变为原来的 倍倍. . 1 (x) 24 1 | |A| 【解析】【解析】方法一方法一:(:(先平移法先平移法) ) 第一步第一步: :把把y=sin xy=sin x的图象上所有的点向右平行移动的图象上所
14、有的点向右平行移动 个单位长度个单位长度, ,得到得到 y=sin y=sin 的图象的图象; ; 第二步第二步: :把把y=sin y=sin 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变),), 得到得到y=sin y=sin 的图象的图象; ; 第三步第三步: :将将y=sin y=sin 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3 3倍倍( (横坐标横坐标 不变不变),),就得到就得到y=3sin y=3sin 的图象的图象. . 4 (x) 4 (x) 4 1 (x) 24 1 (x) 24
15、1 (x) 24 方法二方法二:(:(先伸缩法先伸缩法) ) 第一步第一步: :把把y=sin xy=sin x的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变) ) 得到得到y=sin y=sin 的图象的图象; ; 第二步第二步: :把把y=sin y=sin 图象上所有的点向右平行移动图象上所有的点向右平行移动 个单位长度个单位长度, ,得到得到 y=sin y=sin 的图象的图象; ; 第三步第三步: :将将y=sin y=sin 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3 3倍倍( (横坐标
16、横坐标 不变不变),),就得到就得到y=3sin y=3sin 的图象的图象. . 1 x 2 1 x 22 1 (x) 24 1 (x) 24 1 (x) 24 【变式探究】【变式探究】 在进行函数图象的平移、伸缩变换时在进行函数图象的平移、伸缩变换时, ,要弄清楚平移方向和伸缩的方向以及先要弄清楚平移方向和伸缩的方向以及先 平移后伸缩还是先伸缩后平移平移后伸缩还是先伸缩后平移; ;若将典例中变换得到的函数改为若将典例中变换得到的函数改为 y=2sin +1,y=2sin +1,则变换过程是怎样的则变换过程是怎样的? ? (2x) 4 【解析】【解析】方法一方法一:(:(先伸缩法先伸缩法)
17、)把把y=sin xy=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的图象上所有点的纵坐标伸长到原来 的的2 2倍倍( (横坐标不变横坐标不变),),得到得到y=2sin xy=2sin x的图象的图象; ;将所得图象上所有点的横坐标缩将所得图象上所有点的横坐标缩 短到原来的短到原来的 ( (纵坐标不变纵坐标不变),),得到得到y=2sin 2xy=2sin 2x的图象的图象; ;将所得图象沿将所得图象沿x x轴向左轴向左 平移平移 个单位个单位, ,得到得到y=2sin 2 y=2sin 2 的图象的图象; ;将所得图象沿将所得图象沿y y轴向上平移轴向上平移1 1个个 单位单位, ,得到得到
18、y=2sin +1y=2sin +1的图象的图象. . 1 2 8 (x) 8 (2x) 4 方法二方法二:(:(先平移法先平移法) )将将y=sin xy=sin x的图象沿的图象沿x x轴向左平移轴向左平移 个单位个单位, ,得到得到 y=sin y=sin 的图象的图象; ; 将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ( (纵坐标不变纵坐标不变),),得到得到 y=sin y=sin 的图象的图象; ;把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 2倍倍( (横坐标不横坐标不 变变),),得到得到y=2sin y=2s
19、in 的图象的图象; ;将所得图象沿将所得图象沿y y轴向上平移轴向上平移1 1个单位个单位, ,得到得到 y=2sin +1y=2sin +1的图象的图象. . 4 (x) 4 1 2 (2x) 4 (2x) 4 (2x) 4 角度角度2 2不同名三角函数的变换不同名三角函数的变换 【典例】【典例】要得到要得到y=cos y=cos 的图象的图象, ,只要将只要将y=sin 2xy=sin 2x的图象的图象( () ) A.A.向左平移向左平移 个单位个单位 B.B.向右平移向右平移 个单位个单位 C.C.向左平移向左平移 个单位个单位 D.D.向右平移向右平移 个单位个单位 【思路导引】【
20、思路导引】先根据诱导公式先根据诱导公式, ,把把y=cos y=cos 化简成正弦型函数化简成正弦型函数, ,再进行平移、再进行平移、 变换变换. . (2x) 4 8 8 4 4 (2x) 4 【解析】【解析】选选A.A.因为因为y=cos y=cos = = =sin 2 ,=sin 2 ,所以将所以将y=sin 2xy=sin 2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位个单位, , 得到得到y=cos y=cos 的图象的图象. . (2x) 4 sin(2x)sin(2x) 424 (x) 8 8 (2x) 4 【解题策略】【解题策略】 不同名三角函数之间的变换方法不同名三角函数之间的变
21、换方法 (1)(1)利用诱导公式利用诱导公式, ,寻找不同名三角函数之间的关系寻找不同名三角函数之间的关系, ,主要利用主要利用 化简化简. . (2)(2)用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后用诱导公式将不同名三角函数化为同名三角函数后, ,再根据平移、伸缩变换再根据平移、伸缩变换, , 得出最终结果得出最终结果. . 2 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020银川高一检测银川高一检测) )要得到函数要得到函数y=sin xy=sin x的图象的图象, ,只需将函只需将函 数数y=sin y=sin 的图象上所有的点的的图象上所有的点的( () ) A.A.横坐标伸长
22、到原来的横坐标伸长到原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变),),再向右平移再向右平移 个单位长度个单位长度 B.B.横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变),),再向左平移再向左平移 个单位长度个单位长度 C.C.横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的 ( (纵坐标不变纵坐标不变),),再向右平移再向右平移 个单位长度个单位长度 D.D.横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的 ( (纵坐标不变纵坐标不变),),再向左平移再向左平移 个单位长度个单位长度 (2x) 6 6 6 6 6 1 2 1 2 【解析】【解析】选选A.A.因为只需将函数因为只需将函数y=
23、sin y=sin 的图象上所有的点的横坐标伸长到的图象上所有的点的横坐标伸长到 原来的原来的2 2倍倍( (纵坐标不变纵坐标不变),),可得函数可得函数y=sin y=sin 的图象的图象; ; 再向右平移再向右平移 个单位长度个单位长度, ,可得函数可得函数y=sin xy=sin x的图象的图象. . (2x) 6 (x) 6 6 2.2.函数函数y=sin y=sin 的图象可由的图象可由y=cos y=cos 的图象的图象_得到得到( () A.A.向左平移向左平移 个单位个单位 B.B.向右平移向右平移 个单位个单位 C.C.向左平移向左平移 个单位个单位 D.D.向右平移向右平移
24、 个单位个单位 (2x) 3 (2x) 4 5 24 12 12 5 24 【解析】【解析】选选D.y= D.y= = = 即即y=sin y=sin 的图象可由的图象可由y=cos y=cos 的图象向右平移的图象向右平移 个单位得到个单位得到. . sin(2x)cos(2x) 323 cos( 2x)cos(2x) 66 ， 55 ycos(2x)cos(2x)cos(2x)cos2(x) 6644124244 ， (2x) 3 (2x) 4 5 24 3.3.将函数将函数f(x)=2cos (0)f(x)=2cos (0)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度个单位长度, ,所得图象
25、过所得图象过 点点 , ,则则的最小值为的最小值为( () ) A.1A.1B.2B.2C. C. D. D. ( x) 6 6 (,1) 2 1 2 2 3 【解析】【解析】选选C.C.函数函数f(x)=2cos (f(x)=2cos (0)0)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度个单位长度, , 得到得到g(x)=2cos g(x)=2cos 的图象的图象, ,所得图象过点所得图象过点 , ,故故g =1,g =1, 所以所以2cos =1,2cos =1, 所以所以 (kZ),(kZ),所以所以=6k+ =6k+ 或或=6k- .=6k- .因为因为0,0,所以所以的的 最小值为最小
26、值为 . . ( x) 6 6 ( x) 66 (,1) 2 ( ) 2 () 36 2k 363 1 2 3 2 1 2 【补偿训练】【补偿训练】函数函数y=sin x(0)y=sin x(0)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度个单位长度, ,所得图象所得图象 关于关于y y轴对称轴对称, ,则则的一个可能取值是的一个可能取值是( () ) A.2A.2B. B. C. C. D. D. 3 3 2 2 3 1 2 【解析】【解析】选选B.y=sin B.y=sin x(x(0)0)的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度后得到个单位长度后得到 y=sin y=sin 的图象的图象,
27、, 因为图象关于因为图象关于y y轴对称轴对称, , 所以所以 +k+k,kZ,kZ, 所以所以= +3k,kZ,= +3k,kZ, 则则的一个可能取值是的一个可能取值是 . . 3 ( x) 3 32 3 2 3 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.若函数若函数y=sin 2x y=sin 2x 的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度得到个单位长度得到y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,则则( () ) A.f(x)=cos 2xA.f(x)=cos 2xB.f(x)=sin 2xB.f(x)=sin 2x C.f(x)=-cos 2xC.f(x)=-cos 2xD.f(x
28、)=-sin 2xD.f(x)=-sin 2x 【解析解析】选选A.A.依题意得依题意得 f(x)=sin =sin =cos 2x.f(x)=sin =sin =cos 2x. 4 2(x) 4 (2x) 2 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )为了得到为了得到y=cos y=cos 的图象的图象, ,只需把只需把y=cos xy=cos x的图象的图象 上的所有点上的所有点( () ) A.A.横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的4 4倍倍, ,纵坐标不变纵坐标不变 B.B.横坐标缩短到原来的横坐标缩短到原来的 , ,纵坐标不变纵坐标不变 C.C.纵坐标伸长到原
29、来的纵坐标伸长到原来的4 4倍倍, ,横坐标不变横坐标不变 D.D.纵坐标缩短到原来的纵坐标缩短到原来的 , ,横坐标不变横坐标不变 【解析】【解析】选选A.A.由由对图象的影响可知对图象的影响可知,A,A正确正确. . x 4 1 4 1 4 3.3.将函数将函数y=sin 2xy=sin 2x的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度个单位长度, ,所得图象对应的函数是所得图象对应的函数是 ( () ) A.A.奇函数奇函数B.B.偶函数偶函数 C.C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数D.D.非奇非偶函数非奇非偶函数 【解析】【解析】选选A.y=sin 2xA.y=sin 2x向右平
30、移向右平移 个单位长度得到个单位长度得到 y=sin =sin y=sin =sin =-sin(=-sin(-2x)=-sin 2x.-2x)=-sin 2x. 由于由于-sin(-2x)=sin 2x,-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函数所以是奇函数. . 2 2 2(x) 2 (2x) 4.4.已知函数已知函数f(x)=sin (xR,0)f(x)=sin (xR,0)的最小正周期为的最小正周期为,为了得到函数为了得到函数 g(x)=cos xg(x)=cos x的图象的图象, ,只需将只需将y=f(x)y=f(x)的图象上所有的点的图象上所有的点( () ) A.A.向左平移
31、向左平移 个单位长度个单位长度 B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度 C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 D.D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度 ( x) 4 8 8 4 4 【解析】【解析】选选A.A.由由T=T= ,= ,得得=2,g(x)=cos 2x=sin ,f(x)=sin =2,g(x)=cos 2x=sin ,f(x)=sin 的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度个单位长度, ,得到得到 y=sin y=sin =sin =g(x)=sin =g(x)的图象的图象. . 2 (2x) 2 (2x) 4 8 2(x) 84 (2x) 2 5.5.
32、为了得到函数为了得到函数 y=2sin (xR)y=2sin (xR)的图象的图象, ,只需把函数只需把函数 y=2sin x(xR)y=2sin x(xR)的的 图象上所有的点图象上所有的点( () ) A.A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度, ,再把所得各点的横坐标缩短到原来的再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ( (纵坐标不变纵坐标不变) ) B.B.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度, ,再把所得各点的横坐标缩短到原来的再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ( (纵坐标不纵坐标不 变变) ) x () 36 6 1 3 6 1 3 C.C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度,
33、 ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 3倍倍( (纵坐标不纵坐标不 变变) ) D.D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度, ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 3倍倍( (纵坐标不纵坐标不 变变) ) 6 6 【解析】【解析】选选C.C.将将y=2sin x y=2sin x 的图象向左平移的图象向左平移 个单位长度个单位长度, ,可以得到可以得到 y=2sin y=2sin 的图象的图象; ;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3 3倍倍( (纵纵 坐标不变坐标不变) )可以得到可以得到y=2sin y=2sin 的图象的图象. . 6 (x) 6 1 ( x) 36
