1、8.1.2用二分法求方程的近似 解 必备知识必备知识自主学习自主学习 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)任何函数的零点都可以用二分法求得任何函数的零点都可以用二分法求得. .( () ) (2)(2)用二分法求出的函数零点就是精确值用二分法求出的函数零点就是精确值. .( () ) 提示提示: :(1)(1). .函数需满足在区间函数需满足在区间aa，bb上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,才能用二分法才能用二分法 求零点求零点. . (2)(2). .用二分法求出的函数零点可能是精确值
2、用二分法求出的函数零点可能是精确值, ,也可能是近似值也可能是近似值. . 2.2.下列图象与下列图象与x x轴均有交点轴均有交点, ,其中不能用二分法求函数零点的是其中不能用二分法求函数零点的是( () ) 【解析】【解析】选选A.A.只有只有A A中图象与中图象与x x轴交点两侧的函数值不变号轴交点两侧的函数值不变号, ,都是正值都是正值, ,因此不能因此不能 用二分法用二分法. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )若函数若函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2的一个零点的一个零点( (正数正数) )附近的附近的 函数值用二分法
3、逐次计算函数值用二分法逐次计算, ,参考数据如表参考数据如表: : x x1 11.51.51.251.251.3751.3751.43751.4375 f(x)f(x)-2-20.6250.625-0.984-0.984-0.260-0.2600.1620.162 则方程则方程x x3 3+x+x2 2-2x-2=0-2x-2=0的一个近似解的一个近似解( (精确到精确到0.1)0.1)为为_._. 【解析】【解析】因为因为f(1)f(1.5)0,f(1)f(1.5)0,f(1.437 5)0.1620, 又又f(1.375)-0.2600,f(1.375)-0.2600, 所以所以x x0
4、 0(1.375,1.437 5),(1.375,1.437 5),因为因为1.3751.375与与1.437 51.437 5精确到精确到0.10.1的近似值都是的近似值都是1.4,1.4, 所以原方程的近似解为所以原方程的近似解为x1.4.x1.4. 答案答案: :x1.4x1.4 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一二分法的概念应用类型一二分法的概念应用( (直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020周口高一检测周口高一检测) )下列函数中能用二分法求零点的是下列函数中能用二分法求零点的是( () ) 2.2.已知已知f(x)=
5、xf(x)=x2 2+6x+c+6x+c有零点有零点, ,但不能用二分法求出但不能用二分法求出, ,则则c c的值是的值是( () ) A.9A.9 B.8 B.8 C.7 C.7 D.6 D.6 3.3.下列关于函数下列关于函数y=f(x),xa,by=f(x),xa,b的叙述中的叙述中, , 二分法既是一种求值方法二分法既是一种求值方法, ,又是一种解决实际问题的思想又是一种解决实际问题的思想, ,有着广泛应用有着广泛应用; ; 若若x x0 0是是f(x)f(x)在在a,ba,b上的零点上的零点, ,则可用二分法求则可用二分法求x x0 0的近似值的近似值; ; 用二分法求方程的近似解时
6、用二分法求方程的近似解时, ,可以精确到小数点后的任一位可以精确到小数点后的任一位; ; 用二分法求方程的根时用二分法求方程的根时, ,得到的都是近似值得到的都是近似值. . 其中正确的个数为其中正确的个数为( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】1.1.选选C.C.只要函数图象有部分在只要函数图象有部分在x x轴的上下两侧轴的上下两侧, ,并且没有间断并且没有间断, ,就能用就能用 二分法求函数零点二分法求函数零点, ,观察所给的四个图象观察所给的四个图象, ,满足条件的只有满足条件的只有C.C. 2.2.选选A.f(x)=xA.f(x)=x2 2+6
7、x+c+6x+c有零点有零点, ,但不能用二分法求出但不能用二分法求出, , 则则x x2 2+6x+c=0,+6x+c=0,有两个相等的实数根有两个相等的实数根, , 则则=36-4c=0,=36-4c=0,解得解得c=9.c=9. 3.3.选选B.B.中二分法除了可以求函数的零点中二分法除了可以求函数的零点, ,方程的根外方程的根外, ,还广泛应用于实际问题还广泛应用于实际问题 中中, ,如在一个串联多焊点的故障检测中如在一个串联多焊点的故障检测中, ,要查出哪个焊点出现故障时要查出哪个焊点出现故障时, ,就可以用就可以用 二分法二分法, ,以尽快找到故障焊点以尽快找到故障焊点. .正确正
8、确; ;中函数中函数f(x)f(x)不一定连续不一定连续, ,且无法判断是否且无法判断是否 有有f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,错误错误; ;中利用二分法中利用二分法, ,步骤循环进行步骤循环进行, ,可以得到小数点后的任可以得到小数点后的任 一位一位, ,正确正确; ; 中用二分法求方程的根时中用二分法求方程的根时, ,得到的根也可能是精确值得到的根也可能是精确值, ,错误错误. . 【解题策略】【解题策略】 运用二分法求函数的零点应具备的两个条件运用二分法求函数的零点应具备的两个条件 (1)(1)函数图象在零点附近连续不断函数图象在零点附近连续不断. . (2)(2)在该零点左右函
9、数值异号在该零点左右函数值异号. . 只有满足上述两个条件只有满足上述两个条件, ,才可用二分法求函数零点才可用二分法求函数零点. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知函数已知函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的 个数分别为个数分别为( () ) A.4,4A.4,4B.3,4B.3,4C.5,4C.5,4D.4,3D.4,3 【解析】【解析】选选D.D.由图象可知由图象可知, ,函数有函数有4 4个零点个零点, ,能用二分法求出的有能用二分法求出的有3 3个个. . 类型二用二分法求函数零点的近似
10、解类型二用二分法求函数零点的近似解( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】用二分法求函数用二分法求函数f(x)=5f(x)=5x x+7x-2+7x-2的一个零点的一个零点, ,其参考数据如下其参考数据如下: : x x0.062 50.062 50.093 750.093 750.1250.1250.156 250.156 250.187 50.187 5 f(x)f(x)-0.456 7-0.456 7-0.180 9-0.180 90.097 80.097 80.379 70.379 70.664 70.664 7 根据上述数据根据上述数据, ,可得可得f(x)=5f(x)=5x
11、x+7x-2+7x-2的一个零点近似值的一个零点近似值( (精确到精确到0.1)0.1)为为( () ) A.0.6A.0.6B.0.4B.0.4C.0.2C.0.2D.0.1D.0.1 【思路导引】【思路导引】首先确定零点所在的区间首先确定零点所在的区间, ,再根据相关的概念判断所取的零点是再根据相关的概念判断所取的零点是 否正确否正确. . 【解析】【解析】选选D.D.由参考数据知由参考数据知f(0.093 75)-0.180 90,f(0.093 75)-0.180 90, 即即f(0.093 75)f(0.093 75)f(0.125)0,f(0.125)0, 因为因为0.093 75
12、0.093 75与与0.1250.125精确到精确到0.10.1的近似值都是的近似值都是0.1,0.1, 所以原函数的近似零点为所以原函数的近似零点为0.1.0.1. 【解题策略】【解题策略】 二分法求函数零点的关注点二分法求函数零点的关注点 (1)(1)验证零点所在的区间是否符合要求验证零点所在的区间是否符合要求. . (2)(2)区间内两个端点按要求取得的近似值要相等才可以区间内两个端点按要求取得的近似值要相等才可以. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 在用二分法求函数在用二分法求函数f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)内的零点的近似解时内的零点的近似解时, ,经计算经计算 f(0.625
13、)0,f(0.687 5)0,f(0.625)0,f(0.687 5)0,则可得出方程零点的一个近似解为则可得出方程零点的一个近似解为 _(_(精确到精确到0.1). 0.1). 【解析】【解析】因为因为0.720.72和和0.687 50.687 5精确到精确到0.10.1的近似值都是的近似值都是0.7,0.7,所以函数所以函数f(x)f(x)的近似的近似 零点为零点为0.7.0.7. 答案答案: :0.70.7 类型三用二分法求方程的近似解类型三用二分法求方程的近似解( (数学运算、直观想象数学运算、直观想象) ) 角度角度1 1求方程的近似解求方程的近似解 【典例】【典例】为了用二分法求
14、方程为了用二分法求方程2 2x x+3x=7(+3x=7(精确到精确到0.1)0.1)的近似解的近似解, ,某同学先令函数某同学先令函数 f(x)=2f(x)=2x x+3x-7,+3x-7,再利用计算器得到自变量再利用计算器得到自变量x x和函数和函数f(x)f(x)的部分对应值的部分对应值, ,如表所示如表所示: : x x1.251.251.312 51.312 51.3751.3751.437 51.437 51.51.51.562 51.562 5 f(x)f(x)-0.871 6-0.871 6-0.578 8-0.578 8-0.281 3-0.281 30.021 00.021
15、 00.328 40.328 40.641 20.641 2 试根据上表试根据上表, ,求方程求方程2 2x x+3x=7+3x=7的近似解的近似解. . 【思路导引】【思路导引】首先确定零点所在的区间首先确定零点所在的区间, ,再根据精确度求近似解再根据精确度求近似解. . 【解析】【解析】由题干图表可知由题干图表可知, ,函数函数f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7的零点介于的零点介于1.3751.375到到1.437 51.437 5之间之间. . 因为因为1.3751.375与与1.437 51.437 5精确到精确到0.10.1的近似值都是的近似值都是1.4,1.4,
16、所以原方程的近似解为所以原方程的近似解为x1.4.x1.4. 角度角度2 2已知方程根的个数求参数范围已知方程根的个数求参数范围 【典例】【典例】(2020(2020南通高一检测南通高一检测) )已知函数已知函数f(x)= f(x)= 设方程设方程f(x)-a=0f(x)-a=0 有有4 4个不同的根个不同的根, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._. |x 1| 1 ( ),x0, 2 |ln( x)|,x0, 【思路导引】【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数将方程的根的个数变成函数的交点的个数, ,利用图象解决利用图象解决. . 【解析】【解析】方程方程f(x)-
17、a=0f(x)-a=0有有4 4个不同的根个不同的根, , 即为即为f(x)=af(x)=a有有4 4个不等实根个不等实根, ,作出作出y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,可得可得 a1a1时时,y=f(x),y=f(x)与与y=ay=a的的 图象有图象有4 4个交点个交点. . 答案答案: : 1 2 1 1) 2， 【解题策略】【解题策略】 1.1.关于二分法求方程的根关于二分法求方程的根 设出方程对应的函数设出方程对应的函数, ,函数的零点即为方程的根函数的零点即为方程的根, ,因此只需利用二分法求出对应因此只需利用二分法求出对应 函数的零点即可函数的零点即可. . 2.2.关于利
18、用方程的根求参数的范围关于利用方程的根求参数的范围 (1)(1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式, ,设出两个函数设出两个函数, ,作出两个作出两个 函数的图象函数的图象, ,根的个数即为图象交点的个数根的个数即为图象交点的个数, ,利用图象确定参数的范围利用图象确定参数的范围; ; (2)(2)解题思维过程解题思维过程: :方程解的个数方程解的个数函数交点个数函数交点个数方程根的个数方程根的个数, ,方法是数形方法是数形 结合法结合法. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.利用二分法求方程利用二分法求方程loglog3 3x=3-xx=3
19、-x的近似解的近似解, ,初始区间可以取初始区间可以取( () ) A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4) 【解析】【解析】选选C.C.设设f(x)=logf(x)=log3 3x-3+x,x-3+x, 因为当连续函数因为当连续函数f(x)f(x)满足满足f(a)f(a)f(b)0f(b)0时时,f(x),f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有零点上有零点, ,即方程即方程 loglog3 3x=3-xx=3-x在区间在区间(a,b)(a,b)上有解上有解, ,又因为又因为f(2)=logf(2)=log3 32-
20、10,f(3)=log2-10,3-3+3=10, 故故f(2)f(2)f(3)0,f(3)axa时时, ,没有零点没有零点, ,所以所以a3.a3. 因为若因为若xaxa时时,g(x),g(x)有一个零点有一个零点; ; 则则xaxa时时,g(x)=3-x,g(x)=3-x有一个零点有一个零点, , 所以所以-3a-1.-3a-1. 答案答案: :-3,-1)3,+)-3,-1)3,+) 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.用二分法求函数用二分法求函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间2,42,4上的唯一零点的近似上的唯一零点的近似 值时值时, ,验证验证f(2)f(2)f(4)
21、0,f(4)0,取区间取区间(2,4)(2,4)的中点的中点x x1 1= =3,= =3, 计算得计算得f(2)f(2)f(xf(x1 1)0,)0,则此时零点则此时零点x x0 0所在的区间是所在的区间是( () ) A.(2,4)A.(2,4)B.(2,3)B.(2,3) C.(3,4)C.(3,4)D.D.无法确定无法确定 24 2 【解析】【解析】选选B.B.由题意可知由题意可知: :对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间2,42,4上上, ,有有f(2)f(2)f(4)0,f(4)0,所所 以函数在以函数在(2,4)(2,4)上有零点上有零点. .取区间的中点取区间的
22、中点x x1 1= =3,= =3,因为计算得因为计算得f(2)f(2)f(xf(x1 1)0,)0,f(1.556 2)-0.0290,f(1.556 2)-0.0290,方程方程3 3x x-x-4=0-x-4=0的一个的一个 近似解在近似解在(1.556 2,1.562 5)(1.556 2,1.562 5)上上, ,所以精确到所以精确到0.010.01的近似解为的近似解为x1.56.x1.56. 答案答案: :x1.56x1.56 3.3.用二分法求方程用二分法求方程x x3 3-2x-5=0-2x-5=0在区间在区间2,32,3内的实根内的实根, ,取区间中点取区间中点x x0 0=2.5,=2.5,那么下那么下 一个有根区间为一个有根区间为_._. 【解析】【解析】因为因为f(2)0,f(3)0,f(2)0,f(3)0, 所以所以f(2)f(2.5)0.f(2)f(2.5)0. 所以下一个有根区间应为所以下一个有根区间应为(2,2.5).(2,2.5). 答案答案: :(2,2.5)(2,2.5)
