1、阶段提升课 第四课幂函数、指数函数和对数函数 思维导图思维导图构建网络构建网络 考点整合考点整合素养提升素养提升 题组训练一幂、指数、对数函数的图象问题题组训练一幂、指数、对数函数的图象问题 1.1.函数函数y=1+ y=1+ 的图象一定经过点的图象一定经过点( () ) A.(1,1)A.(1,1)B.(1,0)B.(1,0)C.(2,1)C.(2,1)D.(2,0)D.(2,0) 【解析】【解析】选选C.C.把把y= y= 的图象向右平移的图象向右平移1 1个单位长度个单位长度, ,再向上平移再向上平移1 1个单位长个单位长 度度, ,即可得到即可得到y=1+ y=1+ 的图象的图象, ,
2、故其经过点故其经过点(2,1).(2,1). 1 2 logx 1（ ） 1 2 log x 1 2 logx 1（ ） 2.2.若函数若函数y=logy=loga ax(a0 x(a0且且a1)a1)的图象如图所示的图象如图所示, ,则下列函数正确的是则下列函数正确的是 ( () ) 【解析】【解析】选选B.B.由已知函数图象可得由已知函数图象可得,log,loga a3=1,3=1,所以所以a=3.Aa=3.A项项, ,函数解析式为函数解析式为y=3y=3-x -x, , 在在R R上是减函数上是减函数, ,与图象不符与图象不符;C;C项中函数的解析式为项中函数的解析式为y=(-x)y=(
3、-x)3 3=-x=-x3 3, ,当当x0 x0时时,y0,y0, 这与图象不符这与图象不符;D;D项中函数解析式为项中函数解析式为y=logy=log3 3(-x),(-x),在在(-,0)(-,0)上为减函数上为减函数, ,与图象与图象 不符不符;B;B项中函数解析式为项中函数解析式为y=xy=x3 3, ,与图象相符与图象相符. . 3.3.已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,当当x0 x0时时,f(x)= ,f(x)= (1)(1)在图中画出函数在图中画出函数f(x)f(x)的图象的图象; ; (2)(2)根据图象写出根据图象写出f(x)f
4、(x)的单调区间的单调区间, ,并写出函数的值域并写出函数的值域. . x 1 ( ) . 2 【解析】【解析】(1)(1)先作出当先作出当x0 x0时时,f(x)= ,f(x)= 的图象的图象, ,利用偶函数的图象关于利用偶函数的图象关于y y轴对轴对 称称, ,再作出再作出f(x)f(x)在在x(-,0)x(-,0)时的图象时的图象. . (2)(2)函数函数f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,0),(-,0),单调递减区间为单调递减区间为0,+),0,+),值域为值域为(0,1.(0,1. x 1 ( ) 2 【方法技巧】【方法技巧】 函数图象问题的求解策略函数图象问题
5、的求解策略 对于给定的函数图象对于给定的函数图象, ,要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质. .注意注意 图象与函数解析式中参数的关系图象与函数解析式中参数的关系, ,能够通过变换画出函数的图象能够通过变换画出函数的图象. . 题组训练二比较大小题组训练二比较大小 1.1.若若0 xy1,0 xy1,则则( () ) A.3A.3y y33x xB.logB.logx x3log3logy y3 3 C.logC.lo
6、g4 4xlogxlog4 4y yD. D. xy 11 ( )( ) 44 【解析】【解析】选选C.C.因为因为0 xy1,0 xy1,则对于则对于A,A,函数函数y=3y=3x x在在R R上是增函数上是增函数, ,故故3 3x x33y y, ,错误错误. .对对 于于B,B,根据底数根据底数a a对对数函数对对数函数y=logy=loga ax x的影响的影响: :当当0a10a1时时, ,在在x(1,+)x(1,+)上上“底小底小 图高图高”. .因为因为0 xy1,0 xylog3logy y3,3,错误错误. . 对于对于C,C,函数函数y=logy=log4 4x x在在(0
7、,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,故故loglog4 4xlogx , ,错误错误. . x 1 ( ) 4 x 1 ( ) 4 y 1 ( ) 4 2.2.比较三个数比较三个数0.30.32 2,log,log2 20.3,20.3,20.3 0.3的大小 的大小. . 【解析】【解析】方法一方法一: :因为因为00.300.32 2112 2=1,log=1,log2 20.3log0.32 20 0=1,=1,所以所以loglog2 20.30.3 0.30.32 2220.3 0.3. . 方法二方法二: :作出函数作出函数y=xy=x2 2,y=log,y=log2 2x,y
8、=2x,y=2x x的大致图象的大致图象, ,如图所示如图所示, ,画出直线画出直线x=0.3,x=0.3,根根 据直线与三个函数图象的交点位置据直线与三个函数图象的交点位置, ,即可看出即可看出loglog2 20.30.30.30.32 220,a1a0,a1且且logloga a3log3loga a2,2,若函数若函数f(x)=logf(x)=loga ax x在区间在区间a,3aa,3a上的最大值与上的最大值与 最小值之差为最小值之差为1.1. (1)(1)求求a a的值的值; ; (2)(2)若若1x3,1x3,求函数求函数y=(logy=(loga ax)x)2 2-log-lo
9、ga a +2 +2的值域的值域. . x 【解析】【解析】(1)(1)因为因为logloga a3log3loga a2,2,所以所以f(x)=logf(x)=loga ax x在在a,3aa,3a上为增函数上为增函数. .又又f(x)f(x)在在 a,3aa,3a上的最大值与最小值之差为上的最大值与最小值之差为1,1,所以所以logloga a(3a)-log(3a)-loga aa=1,a=1,即即logloga a3=1,3=1,所以所以 a=3.a=3. (2)(2)函数函数y=(logy=(log3 3x)x)2 2-log-log3 3 +2=(log +2=(log3 3x)x
10、)2 2- log- log3 3x+2= x+2= 令令 t=logt=log3 3x,x,因为因为1x3,1x3, 所以所以0log0log3 3x1,x1,即即0t1.0t1. 所以所以y= y= 所以所求函数的值域为所以所求函数的值域为 x 1 2 2 3 131 (log x). 416 2 13131 5 (t) 41616 2 ， ， 31 5 . 16 2 ， 【变式探究】【变式探究】 把题把题2(2)2(2)中的函数改为中的函数改为“y=ay=a2x 2x+a +ax x-1”,-1”,求其最小值求其最小值. . 【解析】【解析】由题意可知由题意可知y=3y=32x 2x+3
11、 +3x x-1,-1,令令3 3x x=t,=t,则则t3,27,t3,27,所以所以y=ty=t2 2+t-1= +t-1= t3,27, t3,27, 所以当所以当t=3t=3时时,y,ymin min=9+3-1=11. =9+3-1=11. 2 1 (t) 2 5 4 ， 【方法技巧】【方法技巧】 应用函数性质解决问题的冲关策略应用函数性质解决问题的冲关策略 (1)(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则研究函数的性质要树立定义域优先的原则. . (2)(2)换元法的作用是利用整体代换换元法的作用是利用整体代换, ,将问题转化为常见问题将问题转化为常见问题. .本章中本章中, ,常
12、设常设 u=logu=loga ax x或或u=au=ax x, ,转化为一元二次方程、二次函数等问题进行求解转化为一元二次方程、二次函数等问题进行求解, ,要注意换元要注意换元 后后u u的取值范围的取值范围. . 题组训练四抽象函数问题题组训练四抽象函数问题 1.1.设函数设函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是R,R,对于任意实数对于任意实数m,n,m,n,恒有恒有f(m+n)=f(m)f(m+n)=f(m)f(n),f(n),且当且当 x0 x0时时,0f(x)1.,0f(x)1. (1)(1)求证求证:f(0)=1,:f(0)=1,且当且当x0 x1;f(x)1; (2)(2)判断
13、判断f(x)f(x)在在R R上的单调性上的单调性. . 【解析】【解析】(1)(1)因为对任意实数因为对任意实数m,n,m,n,恒有恒有f(m+n)=f(m+n)= f(m)f(m)f(n),f(n),令令m=1,n=0m=1,n=0时时, ,则则f(1)=f(1)f(1)=f(1)f(0).f(0). 因为当因为当x0 x0时时,0f(x)1,0f(x)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1. 设设m=x0,m=x0,所以所以f(0)=f(x)f(0)=f(x)f(-x),f(-x), 所以所以f(x)= 1.f(x)= 1. 即当即当x0 x1.f(x)1. (2)(2)设设x x1 1
14、x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1.)0,)0,所以所以f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x2 2-x-x1 1)+x)+x1 1)-f(x)-f(x1 1)=f(x)=f(x2 2-x-x1 1) )f(xf(x1 1)-)- f(xf(x1 1)=f(x)=f(x1 1)f(x)f(x2 2-x-x1 1)-10,)-10,即即f(xf(x2 2)f(x)0,(a0,且且a1)a1) (1)f(xy)=f(x)+f(y)(x0,y0);(1)f(xy)=f(x)+f(y)(x0,y0); (2) =f(x)-f(y)(x0,y0)(2) =f(x)-f(y)(x0,y0) 对数函数对数函数f(x)=logf(x)=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1) (1)f(xy)=f(x)(1)f(xy)=f(x)f(y)(x,yR);f(y)(x,yR); (2) (x,yR,y0)(2) (x,yR,y0) 幂函数幂函数f(x)=xf(x)=xn n fx fy （ ） （ ） x f y （） xfx f yfy （ ） （） （ ）
