1、1 第三章测评第三章测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8小题,每小题 5分,共 40分) 1.若C? 2 =28,则 m 等于() A.9B.8C.7D.6 解析C? 2 ? ?(?-1) 21 =28(m2,且 mN+),解得 m=8. 答案 B 2.编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有 () A.60 种B.20 种C.10 种D.8 种 解析四盏熄灭的灯产生的 5 个空当中放入 3 盏亮灯,即C5 3=10. 答案 C 3.在(x- 3)10的展开式中,x6的系数是() A.-27
2、C10 6 B.27C10 4 C.-9C10 6 D.9C10 4 解析因为 Tk+1=C10 ? x10-k(- 3)k,令 10-k=6,解得 k=4,所以系数为(- 3)4C10 4 =9C10 4 . 答案 D 4.某人射击 8 枪命中 4 枪,这 4 枪恰有 3 枪连中的不同种数为() A.720B.480C.224D.20 解析把连中三枪看成一个元素(捆绑),另一命中的枪看成一个元素,这两个元素在其余 4 个元素组成 的 5 个空当中插空,共有A5 2=20(种). 答案 D 2 5.由 0,1,2,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8
3、 的有() A.98 个B.105个C.112个D.210 个 解析当个位与百位数字为 0,8 时,有A8 2A 2 2个;当个位与百位为 1,9 时,有A 7 1A 7 1A 2 2个,共 A8 2A 2 2 + A7 1A 7 1A 2 2=210(个). 答案 D 6.设二项式 ?- ? ? 6(a0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B.若 B=4A,则 a 的值是() A.15B.6C.4D.2 解析 Tk+1=C6 ?x6-k - ? ? ?=(-a)kC 6 ?6- 3? 2. 令 k=2,得 A=C6 2a2=15a2; 令 k=4,得 B=C6 4a4=15a4, 由
4、 B=4A 可得 a2=4,又 a0,所以 a=2. 答案 D 7.4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则是:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题 答对得 100 分,答错得-100 分;选乙题答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学 不同得分情况的种数是() A.48B.36 C.24D.18 解析当 4 人中有两人选甲,两人选乙,且得 0 分有C4 2A 2 2C 2 2A 2 2种;当 4 人都选甲或都选乙,且得 0 分有 C4 2C 2 2种.故共有C 4 2A 2 2C 2 2A 2 2+2C 4 2C 2 2=36(种). 答案
5、B 8.设 aZ,且 0a0,b0,m,n0)中有 2m+n=0,如果它的展开式中系数最大的项恰是常 数项.求: (1)常数项是第几项? (2)? ?的取值范围. 解(1)设 Tk+1=C12 ? (axm)12-k(bxn)k=C12 ? a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,则有 m(12-k)+nk=0. 因为 2m+n=0, 所以 m(12-k)-2mk=0,解得 k=4. 故可知常数项是第 5 项. (2)因为第 5 项又是系数最大的项, 所以有 C12 4 ?8?4 C12 3 ?9?3, C12 4 ?8?4 C12 5 ?7?5, 因为 a0,b0,则由可得8 5 ?
6、? 9 4, 即? ?的取值范围是 8 5, 9 4 . 20.(12 分)如图,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A,B 的六个点 C1,C2,C3,C4,C5,C6,直径 AB 上有异于 A,B 的四个点 D1,D2,D3,D4. 7 (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点作三角形可作出多少个?其中含点 C1的有多少个? (2)以图中的 12 个点(包括 A,B)中的 4 个点为顶点,可作出多少个四边形? 解(1)可分三种情况处理: C1,C2,C6这六个点任取三点可构成一个三角形; C1,C2,C6中任取一点,D1,D2,D3,D4中任取两点可构成一个三角形; C1,C2,C6中
7、任取两点,D1,D2,D3,D4中任取一点可构成一个三角形. 所以共有C6 3 + C6 1C 4 2 + C6 2C 4 1=116(个). 其中含 C1点的三角形有C5 2 + C5 1C 4 1 + C4 2=36(个). (2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线, 所以共有C6 4 + C6 3C 6 1 + C6 2C 6 2=360(个). 21.(12 分)已知在 1 2? 2- 1 ? ? 的展开式中,第 9 项为常数项.求: (1)n 的值; (2)展开式中 x5的系数; (3)含 x 的整数次幂的项的个数. 解二项展开式的通项 Tk+1=C? ? 1 2? 2 ?-?
8、 - 1 ? ? =(-1)k 1 2 ?-? C? ?2?- 5 2?. (1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n-5 2k=0,解得 n=10. 8 (2)令 2n-5 2k=5,得 k= 2 5(2n-5)=6, 所以 x5的系数为(-1)6 1 2 4C 10 6 ? 105 8 . (3)要使 2n-5 2k,即 40-5? 2 为整数,只需 k 为偶数,由于 k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有 6 项,分别为 展开式的第 1,3,5,7,9,11 项. 22.(12 分)(2019 福建永春第一中学高二期末)在 2 ? ? 1 ? 6的展开式中,求: (1)第
9、 3 项的二项式系数及系数; (2)奇数项的二项式系数和; (3)求系数绝对值最大的项. 解二项式 2 ? ? 1 ? 6的通项公式为 Tk+1=C 6 ?(2 ?)6-k -1 ? k=C 6 ?26-k(-1)kx3-k. (1)第 3 项的二项式系数为C6 2=15,第三项的系数为C 6 224(-1)2=240. (2)奇数项的二项式系数和C6 0 + C6 2 + C6 4 + C6 6=25=32. (3)设系数绝对值最大的项为第(k+1)项, 则 C6 ?26-? C6 ?-127-?, C6 ?26-? C6 ?+125-?, 即 1 ? 2 7-?, 2 6-? 1 ?+1, 解得4 3k 7 3, 又 kN,所以 k=2. 所以系数绝对值最大的项为 T3=C6 224x=240 x.
