1、4.2.14.2.1随机变量及其与事件的联系随机变量及其与事件的联系 4.2.24.2.2离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 课标阐释思维脉络 1.了解随机变量及其与事件 的联系. 2.理解离散型随机变量的概 念. 3.能写出离散型随机变量的 可能取值,并能解释其意义. 4.理解离散型随机变量分布 列的概念及性质,会求离散型 随机变量的分布列. 5.理解两点分布的意义,能够 利用两点分布解决实际问题. 激趣诱思知识点拨 在射击比赛中,运动员射击一次,可能出现命中0环,命中1环,命中 10环等结果,若用变量X来表示他一次射击所命中的环数,则变量X 取值情况如何?(变量X的结果可能由0,
2、1,10这11个数表示.) 激趣诱思知识点拨 一、随机变量及其与事件的联系 1.随机变量 定 义 一般地,如果随机试验的样本空间为,而且对于中的每一个样 本点,变量X都对应有唯一确定的实数值,就称X为一个随机变量 表 示 随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,或小写希腊字母, 表示 范 围 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取 值范围 激趣诱思知识点拨 2.随机变量与事件的联系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么 X=a,Xb,Xb等都表示事件,而且: (1)当ab时,事件X=a与X=b互斥; (2)事件Xa与Xa相互对立,因此P(Xa)+P(Xa)=1.
3、 3.离散型随机变量 取值 特点 一一列出对于随机变量所有可能取的值都能一一列举出来 有限性离散型随机变量只取有限个值 激趣诱思知识点拨 4.随机变量之间的关系 一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a0,则Y=aX+b也是 一个随机变量. 由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b). 名师点析 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的方法 (1)明确试验的所有可能结果; (2)将随机试验的试验结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能 一一列举出来,那么该随机变量是离散型随机变量,否则不是. 激趣诱思知识点拨 微思考1
4、若说随机变量就是函数,对吗? 提示:随机变量不一定为函数,函数是非空数集A,B间的一种对应,而 随机变量间的对应是基本事件与实数间的对应. 微思考2 类似地,函数的定义域和值域相当于随机变量概念中的哪些量? 提示:随机变量与函数都是一种对应,试验结果的范围相当于函数 的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 微练习 若学校餐厅中午一共提供了1 000个馒头,则餐厅能卖出的馒头数X 是否为随机变量?如果是,请写出它的取值. 解:是.X的所有可能取值为0,1,2,3,4,1 000. 激趣诱思知识点拨 二、离散型随机变量的分布列 1.离散型随机变量的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值范
5、围是x1,x2,xn时,如果对任 意k1,2,n,概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是 已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示, 这个表格称为X的概率分布或分布列. Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn 离散型随机变量的分布列满足: (1)pk0,k=1,2,n; 激趣诱思知识点拨 名师点析 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取 的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小, 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究 随机试验数量特征的基础. (2)由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥,因此,随机变量在 某一
6、范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (3)当X与Y都是离散型随机变量而且Y=aX+b(a0)时,X与Y的分布 列分别如下表所示,它们的第二行的概率值是一样的. Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn Y=aX+bax1+bax2+baxk+baxn+b Pp1p2pkpn 激趣诱思知识点拨 2.两点分布 一般地,如果随机变量X的分布列为 其中0p1,则称随机变量X服从参数为p的两点分布(或0-1分布) 名师点析 (1)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布. (2)两点分布的试验结果只有两个可能,且概率之和为1. X10 Pp1-p 激趣诱思知识点拨 微思考 如何根据定义求一个
7、随机变量的分布列? 提示:其步骤为:设出随机变量X,并确定X的所有可能取值,以及取 每个值的意义;计算X取每个值的概率;写出X的分布列(一般列 表). 激趣诱思知识点拨 微练习1 下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是() 答案:D 激趣诱思知识点拨 微练习2 X 0 1 P 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 随机变量的可能取值及试验结果随机变量的可能取值及试验结果 例1写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示 的随机试验的结果. (1)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的 个数为X. (2)一个袋中有5个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,
8、5,从中任取3个球, 取出的球的最大号码记为X. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:(1)X=0表示取5个球全是红球; X=1表示取1个白球,4个红球; X=2表示取2个白球,3个红球; X=3表示取3个白球,2个红球. (2)X=3表示取出的球编号为1,2,3. X=4表示取出的球编号为1,2,4;1,3,4或2,3,4. X=5表示取出的球编号为1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5. 反思感悟 用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点 (1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值, 以及取每一个值对应的意义,即一个随机变量的
9、取值对应一个或多 个随机试验的结果. (2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 延伸探究 在本例(1)条件下,规定取出一个红球得2分,而每取出一 个白球减1分,以表示得的分数,结果如何? 解:=10表示取5个球全是红球; =7表示取1个白球,4个红球; =4表示取2个白球,3个红球; =1表示取3个白球,2个红球. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列 例2一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以表示取 出的3只球中的最大号码,写出随机变量的分布列. 探究一探究二探究三
10、探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 求离散型随机变量分布列时应注意的问题 (1)确定离散型随机变量的分布列的关键是要清楚取每一个值对 应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出取每一个值的概 率. (2)在求离散型随机变量的分布列时,要充分利用分布列的性质,这 样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1某班有学生45人,其中是O型血的有10人,A型血的有12 人,B型血的有8人,AB型血的有15人.现从中抽1人,其血型为随机变 量X,求X的分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究
11、一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 离散型随机变量分布列的离散型随机变量分布列的性质性质 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题 (1)X=Xi(i=1,2,n)的各个取值表示的事件是互斥的. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2若离散型随机变量X的分布列为 求常数a及相应的分布列. X01 P4a-13a2+a 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 两点分布两点分布 例4已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽 取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取
12、的2件产品中的次品数,求 X的分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两个结果一个对应1,另一个对应0; (3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1),便可求出 P(X=1)(或P(X=0). (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否 发生,就可以利用两点分布来研究它. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述 一次试验的成功次数,则P(X=0)等于() 答案:B 探究一探究二探
13、究三探究四素养形成当堂检测 求离散型随机变量求离散型随机变量y=f()的分布列的分布列 典例 设离散型随机变量X的分布列为 求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列. X01234 P0.20.10.10.3m 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 解:由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 解得m=0.3. 首先列表为 从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1的分布列 (2)|X-1|的分布列 X01234 2X+113579 |X-1|10123 2X+113579 P0.20.10.10.30.3 |X-1|0123 P0.10.30.30.3 探究一
14、探究二探究三探究四素养形成当堂检测 方法点睛 (1)若是一个随机变量,a,b是常数,且a0,则=a+b也是 一个随机变量,推广到一般情况有:若是随机变量,f()是连续函数 或单调函数,则=f()也是随机变量,也就是说,随机变量的某些函数 值也是随机变量,并且若为离散型随机变量,则=f()也为离散型 随机变量. (2)已知离散型随机变量的分布列,求离散型随机变量=f()的分布 列的关键是弄清楚取每一个值时对应的的值,再把取相同的值 时所对应的事件的概率相加,列出分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.将一颗骰子随机掷两次,下列选项中可以作为随机变量的是() A.第一次出现的点数B
15、.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数 解析:A,B中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的结果,都 不是本题涉及试验的结果.C整体反映两次投掷的结果,可以预见两 次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这11种结果,但每掷一次 前,无法预见是11种中的哪一个,故是随机变量.D中出现相同点数的 种数就是6种,不是变量. 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 2.袋中有大小相同的5个小球,分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回 地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量,则 所有可能取值的个数是() A.25
16、B.10 C.9D.5 解析:第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个,由于是有放回抽取,第二次 也可取1,2,3,4,5中的任何一个,两次的号码和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10. 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 3.设X是一个离散型随机变量,其分布列为: 则q等于() 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.随机变量的分布列如下: 则x=,P(3)=. 解析:由分布列的性质得0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得x=0.1.故 P(3)=P(=1)+P(=2)+P(=3)=0.1+0.2+0.25=0.55. 答案:0.10.55 5.随机变量服从两点分布,且P(=1)=0.8,=3-2,则P(=-2)= . 解析:当=-2时,=0,所以P(=-2)=P(=0)=1-P(=1)=0.2. 答案:0.2 123456 P0.2x0.250.10.150.2
