1、2.8直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1通过类比直线与圆的位置关系，学 会判断直线与椭圆、双曲线、 抛物线的 位置关系(重点) 2会求直线与圆锥曲线相交所得弦的 长，以及直线与圆锥曲线的综合问 题(重点、难点) 通过判断直线与圆锥曲线的位置关系， 求相关弦长、定点、定值、最值、范围 等，提升逻辑推理、数学运算素养 激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器 目前我国的高能激光武 器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行 的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节 课要学习的直线与圆锥曲线
2、的位置关系的知识， 因为激光是直线光而卫星轨道是 椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题 1直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2bxc0 方程特征交点个数位置关系 直线与椭 圆 a0，02相交 a0，01相切 a0，00相离 直线与双 曲线 a01 直线与双曲线的渐近线平行 且两者相交 a0，02相交 a0，01相切 a0，00相离 直线与抛 物线 a01 直线与抛物线的对称轴重合 或平行且两者相交 a0，02相交 a0，01相切 a0，00相离 思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ 提示不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对
3、称轴平行 时， 直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点， 但此时直线与双曲线、 抛物线相交 2弦长公式 当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长， 从而研究相关的问题， 弦长公式为： 若直线 l 的斜率为 k， 与圆锥曲线 C 交于 A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 1 1 k2|y 1y2| 11 k2y1y224y1y2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面上到定点 A(1,0)和到定直线 l： x2y30 的距离相等的点的轨迹为 抛物线() (2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多
4、为 2 条() (3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)(2) (3)必要不充分条件 2抛物线 y212x 截直线 y2x1 所得弦长等于() A 15B 13 C2 15D2 13 A令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y2x1 y212x 得 4x28x10， x1x22，x1x21 4， |AB| 122x1x22 5x1x224x1x2 15 3直线 yx1 与椭圆 x2y 2 2 1 的位置关系为 相交联立 yx1 x2y 2 2 1 消去 y 得 3x22x10，2212160 直线与椭圆相交
5、 4直线 y1 3 x7 2 与双曲线x 2 9 y21 交点个数为个 1直线与渐近线平行因此只有一个交点 5过椭圆x 2 13 y2 121 的右焦点与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A，B 两点，则 |AB| 24 13 13 椭圆的右焦点为(1,0)，把 x1 代入x 2 13 y2 121 中得：y 2122 13 ，y 12 13 13 ，|AB|24 13 13 直线与圆锥曲线的位置关系 探究问题 直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？ 提示可以当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交 点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法 【例
6、 1】对不同的实数值 m，讨论直线 yxm 与椭圆x 2 4 y21 的位置 关系 解由 yxm， x2 4 y21， 得x 2 4 (xm)21， 整理得 5x28mx4m240 此方程的实数根的个数由根的判别式决定， (8m)245(4m24)16(5m2) 当 5m 5时，0， 方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直 线与椭圆相交 当 m 5或 m 5时，0， 方程有两个相等的实数根， 代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切 当 m 5或 m 5时，0， 方程没有实数根，直线与椭圆相离 1(变条件，变设问)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b
7、0)的离心率为 2 3 3 ， 且过点( 6，1) (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：ykx 2与双曲线恒有两个不同的交点 A，B，求 k 的取值范 围 解(1)由 e2 3 3 可得c 2 a2 4 3， 所以 a 23b2， 故双曲线方程可化为x2 3b2 y2 b2 1，将点 P( 6，1)代入双曲线 C 的方程，可解得 b21所以双曲线 C 的方程为x 2 3 y21 (2)联立直线与双曲线方程 ykx 2， x23y230 (13k2)x26 2kx90， 由题意得 72k2413k290， 13k20. 解得1k1 且 k 3 3 所以 k 的取值范围为 1， 3 3
8、 3 3 ， 3 3 3 3 ，1 2(改变条件)已知直线 l：yk(x1)与抛物线 C：y24x问：k 为何值时， 直线 l 与抛物线 C 有两个交点，一个交点，无交点？ 解由方程组 ykx1， y24x. 消去 y 得 k2x2(2k24)xk20， 记(2k24)24k416(1k2)， (1)若直线与抛物线有两个交点， 则 k20 且0，即 k20，且 16(1k2)0， 解得 k(1,0)(0,1) 所以当 k(1,0)(0,1)时，直线 l 和抛物线 C 有两个交点 (2)若直线与抛物线有一个交点， 则 k20 或 k20 时，0 解得 k0 或 k1 所以当 k0 或 k1 时，
9、直线 l 和抛物线 C 有一个交点 (3)若直线与抛物线无交点， 则 k20 且0 解得 k1 或 k1 所以当 k1 或 k1 时， 直线 l 和抛物线 C 无交点 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交 弦长问题及中点弦问题 【例 2】椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为 2 2 ，求椭圆的方程 思路探究本题有两种解法一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题 的方法，可称为“点差法”二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间 距离公式求出含 a，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜
10、率求解 解法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1x2)(x1 x2)b(y1y2)(y1y2)0 而y1y2 x1x21， y1y2 x1x2k OC 2 2 ， 代入上式可得 b 2a |AB| 2|x2x1|2 2，即(x2x1)24，其中 x1，x2是方程(ab)x22bx b10 的两根， 又(x1x2)24x1x2(x2x1)24， 2b ab 24b1 ab4 将 b 2a 代入，解得 a1 3，b 2 3 ， 所求椭圆的方程是x 2 3 2 3 y21 法二：由 ax2by21， xy1， 得(ab)x22bxb10 设 A(x1，y1)，
11、B(x2，y2)， 则|AB| k21x1x22 2 4b24abb1 ab |AB|2 2， abab ab 1 设 C(x，y)，则 xx1x2 2 b ab， y1x a ab OC 的斜率为 2 2 ，a b 2 2 ， 代入，解得 a1 3，b 2 3 ， 所求椭圆的方程是x 2 3 2 3 y21 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方 程，利用弦长公式和根与系数的关系解决要考虑特殊情形；对于中点弦问题可 采用点差法，但要验证得到的直线适合题意. 跟进训练 1已知抛物线 y26x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2使它恰好被点 P 平分，求 这条弦所在的
12、直线方程及|P1P2| 解法一：设弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) P1，P2在抛物线上， y216x1，y226x2 两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2) y1y22，ky1y2 x1x2 6 y1y23， 直线的方程为 y13(x4)，即 3xy110 由 y26x， y3x11， 得 y22y220， y1y22，y1y222， |P1P2|11 9 2 24222 230 3 法二：由题意设所求方程为 y1k(x4)由 y26x， ykx4k1， 得 ky26y 24k60 设弦的两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y1y26 k，y 1y2
13、624k k ， P1P2的中点为(4,1)，6 k2，k3， 所求直线方程为 y13(x4) 由 y1y22，y1y222， 得|P1P2|11 9 2 24（22）2 230 3 圆锥曲线中的最值及范围问题 【例 3】已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 3 2，其中一条 渐近线的方程为 x 2y0以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点 (1)求椭圆 E 的方程； (2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，PG 2GO ，求|GA |2|GB |2的取值范围 解(1)由双曲线x 2 a2 y2 b21
14、 的焦距为 3 2，得 c 3 2 2 ， a2b29 2 由题意知b a 2 2 ， 由解得 a23，b23 2， 椭圆 E 的方程为x 2 3 2 3y 21 (2)由(1)知 P( 3，0) 设 G(x0，y0)，由PG 2GO ， 得(x0 3，y0)2(x0，y0) 即 x0 32x0， y02y0， 解得 x0 3 3 ， y00， G 3 3 ，0 设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)， |GA |2|GB |2 x1 3 3 2 y21 x1 3 3 2 y212x212y212 32x 2 13x212 3 x2111 3 又x1 3， 3，x210,3， 11 3 x
15、2111 3 20 3 ， |GA |2|GB |2的取值范围是 11 3 ，20 3 1求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围 2求最值问题的方法 (1)几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决 (2)代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个 函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等 跟进训练 2已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别是 F 1、F2，C 过 点 M 1，3 2 ，离心率 e1 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 PQ 为椭圆 C 过 F1的
16、弦， R 为 PF2的中点， O 为坐标原点， 求RF1F2、 OF1Q 面积之和的最大值 解(1)由 ec a 1 2，设 a2t，ct，t0， 可得 b 3t，椭圆方程为 x2 4t2 y2 3t21， 代入 M，可得 1 4t2 3 4t21，可得 t1， 则 a2，b 3，c1， 可得椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1 (2)由 O，R 分别为 F1F2，PF2的中点， 可得RF1F2的面积为PF1F2的面积的一半，即为PF1O 的面积， RF1F2、OF1Q 面积之和设为 S，则 SSPQO， 当直线 PQ 的斜率不存在时，其方程为 x1， 此时 SPQO1 21 3 2 3 2
17、3 2， 当直线 PQ 的斜率存在时，设其方程为：yk(x1)， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，显然直线 PQ 不与 x 轴重合， 即 k0， 联立 ykx1 3x24y212 ， 消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120， 144(k21)0， 故 x1x2 8k2 34k2，x 1x24k 212 34k2 ， 故|PQ| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2121k 2 34k2 ， 点 O 到直线 PQ 的距离 d |k| 1k2， S1 2|PQ|d6 k2k21 34k22，令 u34k 2(3，)， 故 S6 u3 4 u1 4 u2 3 2 3 u2
18、 2 u1 3 2 3 1 u 1 3 2 4 3 0，3 2 ， 故 S 的最大值为3 2 1解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判 断其解的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为 0 和斜率不存在 的两种情形， 以及在双曲线和抛物线中， 直线和曲线有一个公共点并不一定相切 2与弦中点有关的问题，求解的方法有两种： (1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解； (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线 方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系 3在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借 助于函数的单
19、调性、 基本不等式等使问题获解 同时， 要注意未知数的取值范围、 最值存在的条件 1 椭圆x 2 25 y2 4 1 的两个焦点为 F1， F2， 过 F2的直线交椭圆于 A， B 两点 若 |AB|8，则|AF1|BF1|的值为() A10B12 C16D18 B|AB|AF1|BF1|4a， |AF1|BF1|45812 2在抛物线 y28x 中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是() Ax4y30Bx4y30 C4xy30D4xy30 C设弦两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22 A、B 在抛物线上，y218x1，y228x2， 两式相减得，(y1y2)(y1y
20、2)8(x1x2)， y 1y2 x1x24， 直线 AB 方程为 y14(x1)，即 4xy30 3已知双曲线 C：x2y 2 4 1，过点 P(1,2)的直线 l，使 l 与 C 有且只有一个 公共点，则满足上述条件的直线 l 共有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 B因为双曲线的渐近线方程为 y2x，点 P 在一条渐近线上，又由于双 曲线的顶点为(1,0)，所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条过点 P 平行 于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条 4若直线 xy2 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标 是 (4,2)设 A(
21、x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与抛物线得方程组 xy2， y24x. 整理得 x28x40， 所以 x1x28， y1y2x1x244， 所以中点坐标为(4,2) 5直线 l：ykx1 与椭圆x 2 2 y21 交于 M、N 两点， 且|MN|4 2 3 求直线 l 的方程 解设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 ykx1， x2 2 y21， 消去 y 并化简，得(12k2)x24kx0， x1x2 4k 12k2，x 1x20 由|MN|4 2 3 ，得 (x1x2)2(y1y2)232 9 ， (1k2)(x1x2)232 9 ， (1k2)(x1x2)24x1x232 9 ， 即(1k2) 4k 12k 2 2 32 9 ， 化简得：k4k220，k21，k1 所求直线 l 的方程是 yx1 或 yx1
