1、1 2.5椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程椭圆的标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 F1(-3,0),F2(3,0),动点 M 满足|MF1|+|MF2|=5,则点 M 的轨迹是() A.点B.椭圆C.线段D.不存在 解析F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6, 又|MF1|+|MF2|=5b0)的右焦点为 F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为( ) A.? 2 45 ? ?2 36=1 B.? 2 36 ? ?2 27=1 C.? 2 27 ? ?2 18=1 D.? 2 18 ? ?2 9 =1 解析由题意可得 ?2-?2= 9, 0 ? 9
2、?2 = 1,解得 ?2= 18, ?2= 9, 故椭圆的方程为? 2 18 ? ?2 9 =1. 答案 D 3.如果方程 ?2 4-? ? ?2 ?-3=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) 2 A.(3,4)B. 7 2, ? C. 3, 7 2 D. 7 2,4 解析因为方程 ?2 4-? ? ?2 ?-3=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 4-m0,m-30 且 m-34-m, 解得7 2mb0),M 为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段 MF1的中点 P的轨迹是 () A.圆B.椭圆C.线段D.直线 解析设椭圆的右焦点为 F2, 由题意,知|PO|=1
3、 2|MF2|,|PF1|= 1 2|MF1|, 又|MF1|+|MF2|=2a, 所以|PO|+|PF1|=a|F1O|=c, 故由椭圆的定义,知 P 点的轨迹是椭圆. 答案 B 5.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 3,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭 圆 C 的标准方程为() A.? 2 12 ? ?2 9 =1 B.? 2 12 ? ?2 9 =1 或? 2 9 ? ?2 12=1 3 C.? 2 9 ? ?2 12=1 D.? 2 48 ? ?2 45=1 或 ?2 45 ? ?2 48=1 解析由已知 2c=|F1F2|
4、=2 3,所以 c= 3. 因为 2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 3, 所以 a=2 3,所以 b2=a2-c2=9. 故椭圆 C 的标准方程是? 2 12 ? ?2 9 =1 或? 2 9 ? ?2 12=1. 答案 B 6.椭圆? 2 12 ? ?2 3 =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,若线段 PF1的中点 M 在 y轴上,则点 M 的纵坐标为 () A.3 4 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 4 解析线段 PF1的中点 M 在 y 轴上且 O 是线段 F1F2的中点,OM 为PF1F2的中位线,PF2x 轴, 点 P的横坐标是 3 或-3, 点 P在椭
5、圆上, 9 12 ? ?2 3 =1,即 y2=3 4, y= 3 2 .点 M 的纵坐标为 3 4 . 答案 D 7.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为 8,焦距为 2 15,则此椭圆的标准方程 为. 解析由已知 2a=8,2c=2 15,所以 a=4,c= 15, 所以 b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为? 2 16+x 2=1. 4 答案? 2 16+x 2=1 8.已知椭圆? 2 25 ? ?2 9 =1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为坐标原点,那么 线段 ON 的长是.
6、 解析设椭圆的另一个焦点为 E,则|MF|+|ME|=10, 又|MF|=2,|ME|=8,又 ON 为MEF 的中位线,|ON|=1 2|ME|=4. 答案 4 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M(3,2); (2)ca=513,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为 26. 解(1)由焦距是 4 可得 c=2, 且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a= 32? (2 ? 2)2?32? (2-2)2=8, 所以 a=4,所以 b2=a2-c2=16-4=12. 又焦点在 y轴上,所以椭圆的标准方程为? 2 16 ? ?2 1
7、2=1. (2)由题意知,2a=26,即 a=13, 又 ca=513,所以 c=5, 所以 b2=a2-c2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为 ?2 169 ? ?2 144=1 或 ?2 169 ? ?2 144=1. 10.已知椭圆 M 与椭圆 N:? 2 16 ? ?2 12=1 有相同的焦点,且椭圆 M 过点 -1, 2 5 5 . (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆 M 上,且PF1F2的面积为 1,求点 P的坐标. 5 解(1)由题意,知椭圆 N 的焦点为(-2,0),(2,0)
8、, 设椭圆 M 的方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0), 则 ?2-?2= 4, 1 ?2 ? 4 5?2 = 1, 化简并整理得 5b4+11b2-16=0, 故 b2=1 或 b2=-16 5 (舍),a2=5, 故椭圆 M 的标准方程为? 2 5 +y2=1. (2)由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),设 P(x0,y0),则PF1F2的面积为1 24|y0|=1,得 y0= 1 2. 又 ?0 2 5 ? ?0 2=1,所以? 0 2 = 15 4 ,x0= 15 2 , 所以点 P 有 4 个,它们的坐标分别为 15 2 , 1 2 , - 15 2 , 1 2
9、 , 15 2 ,- 1 2 , - 15 2 ,- 1 2 . 能力提升练 1. 如图所示,A是圆 O内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的中垂线 CD与 OB 交于 E,则点 E 的轨迹是 () A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线 解析根据垂直平分线的性质可得|EA|=|EB|, 6 |EO|+|EA|=|OB|OA|, 即点 E到点 O和点 A 的距离之和等于圆的半径|OB|,且|OB|OA|, 根据椭圆的定义可得点 E的轨迹是以点 O和点 A 为焦点的椭圆. 答案 B 2.设定点 F1(0,-3),F2(0,3),动点 P 满足条件|PF1|-a=9 ?-|PF2|(a0),则点
10、P 的轨迹是( ) A.椭圆B.线段 C.不存在D.椭圆或线段 解析由题意得,|PF1|-a=9 ?-|PF2|(a0), 所以|PF1|+|PF2|=a+9 ?2 ? 9 ?=6, 当且仅当 a=9 ?时取等号,此时 a=3, 则|PF1|+|PF2|6, 因为定点 F1(0,-3),F2(0,3),所以|F1F2|=6, 当|PF1|+|PF2|=6 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2; 当|PF1|+|PF2|6 时,点 P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆. 答案 D 3.(多选)设 P 是椭圆 C:? 2 2 +y2=1 上任意一点,F1,F2是椭圆 C 的左、右焦点,则() A.
11、|PF1|+|PF2|=2 2 B.-2|PF1|-|PF2|AC|=4, 点 P的轨迹 E 是以 A,C 为焦点的椭圆,其中 c=2,a=3,b= 5,椭圆方程为? 2 9 ? ?2 5 =1. 答案? 2 9 ? ?2 5 =1 7.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)的两个焦点,P 在椭圆上,且PF1F2的面积为 2 2 b2,求 cos F1PF2的值. 解依题意可得 |?1|2? |?2|2? 2|?1|?2| = 4?2, |?1|2? |?2|2-2|?1|?2|cos?1?2= 4?2, 9 整理得|PF1|PF2|= 2?2
12、1?cos?1?2. PF1F2的面积为 2 2 b2, 1 2 ? 2?2 1?cos?1?2sinF1PF2= 2 2 b2, 1+cosF1PF2= 2sinF1PF2, 又sin2F1PF2+cos2F1PF2=1, cosF1PF2=1 3(cosF1PF2=-1 舍去). 8.已知 x 轴上一定点 A(1,0),Q 为椭圆? 2 4 +y2=1 上任意一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹方程. 解设中点 M 的坐标为(x,y),点 Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得 ? = ?0?1 2 , ? = ?0 2 , 所以 ?0= 2?-1, ?0= 2?. 因为 Q(x0,y0
13、)在椭圆? 2 4 +y2=1 上, 所以 ?0 2 4 ? ?0 2=1.将 x0=2x-1,y0=2y 代入上式,得(2?-1)2 4 +(2y)2=1.故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是 ?- 1 2 2 +4y2=1. 素养培优练 如图,椭圆 C:? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(ab0)经过点 M 4 3, 1 3 ,且点 M 到椭圆的两焦点的距离之和为 2 2. 10 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 R,S 是椭圆 C 上的两个点,线段 RS 的中垂线 l 的斜率为1 2且直线 l与 RS 交于点 P,O 为坐标原点, 求证:P,O,M 三点共线. (1)解点 M 到
14、椭圆的两焦点的距离之和为 2 2, 2a=2 2,解得 a= 2. 又椭圆 C 经过点 M 4 3, 1 3 , 4 3 2 ?2 ? 1 3 2 ?2 =1,解得 b2=1. 椭圆 C 的标准方程为? 2 2 +y2=1. (2)证明线段 RS 的中垂线 l 的斜率为1 2, 直线 RS 的斜率为-2, 可设直线 RS 的方程为 y=-2x+m. 联立 ? = -2? ? ?, ?2 2 ? ?2= 1, 得 9x2-8mx+2m2-2=0. 设点 R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0), x1+x2=8? 9 ,y1+y2=-2x1+m-2x2+m =-2(x1+x2)+2m=-28? 9 +2m=2? 9 , 则 x0=?1?2 2 = 4? 9 ,y0=?1?2 2 = ? 9. ?0 ?0 = 1 4,y0= 1 4x0, 11 点 P在直线 y=1 4x 上, 又点 O(0,0),M 4 3, 1 3 也在直线 y=1 4x 上, P,O,M 三点共线.
