1、课时分层作业(二十三)抛物线的标准方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1抛物线 y4x2的焦点坐标是() A(0,1)B(1,0) C 0， 1 16D 1 16，0 C由 y4x2得 x21 4y，抛物线在 y 轴正半轴上且 2p 1 4，p 1 8焦点 为 0， 1 16 2顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是() Ay24xBx24y Cy24x 或 x24yDy24x 或 x24y C抛物线的顶点在原点，且过点(4,4)，设抛物线的标准方程为 x2 2py(p0)或 y22px(p0)， 将点(4， 4)的坐标代入 x22py 得 168pp2， 标准方程为 x24
2、y，将(4,4)代入 y22px 得 p2此时标准方程为 y2 4x 3已知函数 y2x在区间0,1的最大值为 a，则抛物线 y2 12ax 的准线方程是 () Ax3Bx6 Cx9Dx12 B函数 y2x在0,1上为增函数，最大值为 a2 抛物线 y2 122x 化为标准方程是 y 224x，则 2p24，p12，p 26抛 物线y 2 122x 的准线方程为 x6 4抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 3 1 的渐近线的距离是() A1 2 B 3 2 C1D 3 B抛物线y24x的焦点是(1,0)， 双曲线x2y 2 3 1的一条渐近线方程为3x y0，根据点到直线的距离公式可
3、得 d 3 2 5已知 M 是抛物线 y22px(p0)上的点，若 M 到此抛物线的准线和对称 轴的距离分别为 5 和 4，则点 M 的横坐标为() A1B1 或 4 C1 或 5D4 或 5 B因为点 M 到对称轴的距离为 4， 所以点 M 的坐标可设为(x,4)(或(x，4)， 又因为 M 到准线的距离为 5， 所以 422px， xp 25， 解得 x4， p2 或 x1， p8. 二、填空题 6设抛物线 y2x2上一点 p 到 x 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 33 8 抛物线 y2x2上一点到 x 轴的距离为 4，即点到 x 轴的距离 d4， 则点 P 的纵坐标
4、为4 代入 x21 2y， 解得 x 2， 所以点 P( 2， 4)或( 2， 4)，抛物线 x21 2y 的焦点坐标为 0，1 8 ，所以|PF|1 84 33 8 7已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值 为 2由抛物线方程 y22px(p0)，得其准线方程为 xp 2又圆的方程为(x 3)2y216，圆心为(3,0)，半径为 4依题意，得 3 p 2 4，解得 p2 8如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米， 水位下降 1 米后，水面宽米 2 6以抛物线的顶点为原点，对称轴为 y 轴建立直角坐标系(图略)设抛 物线
5、方程为 x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，抛物线 方程为 x22y当 y3 时，x26，所以水面宽为 26米 三、解答题 9根据下列条件求抛物线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点； (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5 解(1)双曲线方程化为x 2 9 y 2 161， 左顶点为(3,0) 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)且p 2 3， p6， 方程为 y212x (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线方程为 y22px(p0)，A(m，3) 由抛物线定义得 5|AF|m p 2|
6、 又(3)22pm， p1 或 p9， 故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x 10如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 OP1 m，水从喷头 P 喷 出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，P 距抛物线的 对称轴 1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到 1 m) 解如图所示，建立平面直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0) 依题意有 P(1，1)在此抛物线上，代入得 p1 2 故得抛物线方程为 x2y B 在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x 2， 即|AB| 2，则|AB|1 21， 因此所求水池的直径为 2(1 2)m，约为 5 m，
7、 即水池的直径至少应设计为 5 m 11(多选题)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 y 轴上，若线段 FM 的中点 B 在抛物线上，且点 B 到抛物线准线的距离为3 2 4 ，则点 M 的坐标为 () A(0，4)B(0，2) C(0,2)D(0,4) BC根据题意， 抛物线 y22px(p0)的焦点为 p 2，0， 准线方程为 xp 2 设 B 的坐标为(m，n)，若 B 为 F、M 的中点，则 m 0p 2 2 p 4， 又由点 B 到抛物线准线的距离为3 2 4 ，则p 4 p 2 3 2 4 ，解可得 p 2 则抛物线的方程为 y22 2x，且 m 2 4 ，又 B
8、 在抛物线上，则 n22 2 2 4 1 解得 n1，则 B 2 4 ，1 ，M(0，2)或(0，2) 12已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为1 2，E 的右焦点与抛物线 C： y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|() A3B6 C9D12 B抛物线 C：y28x 的焦点为(2,0)， 准线方程为 x2，椭圆 E 的右焦点为(2,0)， 椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，c2， ec a 1 2，a4，b 2a2c212， 椭圆 E 方程为x 2 16 y2 121， 将 x2 代入椭圆 E 的方程解得 A(
9、2,3)，B(2，3)， |AB|6，故选 B 13(一题两空)抛物线 C：y22x 的焦点坐标为，经过点 P(4,1)的 直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，且点 P 为恰为 AB 的中点，F 为抛物线的 焦点，则|AF |BF| 1 2，09由抛物线 C：y22x，得 2p2，p1，则p 2 1 2，抛物线的焦点 F 1 2，0，过 A 作 AM准线，BN准线，PK准线， M、N、K 分别为垂足 则由抛物线定义可得|AM|BN|AF|BF|， 再根据 P 为线段 AB 的中点，有1 2(|AM|BN|)|PK| 9 2， |AF|BF|9 14如图，过抛物线 y22px(p0)的
10、焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于 点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为 y24x如图所示，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 E，D， 设准线与 x 轴交于点 G， 设|BF|a， 则由已知得|BC|2a， 由定义得|BD|a， 故BCD30，在 RtACE 中，|AF|4，|AC|43a， 2|AE|AC|，43a8，从而得 a4 3，AEFG， FG AE CF AC，即 p 4 4 8，p2抛物线方程为 y 24x 15已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A，B 是抛 物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|BF|8，线段 AB 的垂直平分 线恒经过定点 Q(6,0)，求抛物线的方程 解设抛物线的方程为 y22px(p0)， 则其准线为 xp 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|BF|8， 所以 x1p 2x 2p 28， 即 x1x28p 因为 Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上，所以|QA|QB|， 即 6x12y12 6x22y22， 又 y212px1，y222px2， 所以(x1x2)(x1x2122p)0， 因为 AB 与 x 轴不垂直，所以 x1x2 故 x1x2122p8p122p0，即 p4 从而抛物线的方程为 y28x
