（2021新人教B版）高一数学下学期第八章 向量的数量积与三角恒等变换-期末冲刺满分训练（原卷+解析）.zip

第 1 页 共 6 页 20192020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 期末单元测试卷 （范围：新教材人教B版 必修三 考试时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 若夹角为120的向量与满足，则（ ） a b 2abb a A. 1B. 2C. D. 4 2 3 2. 已知为锐角，角的终边过点（3，4），sin（+），则cos（） 2 2 A. B. C. D. 或 3 2 10 2 10 7 2 10 2 10 7 2 10 3. （ ）tan10tan50 3tan10 tan50 A2 B C. D132 4. 如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若,则的值为() ADACAE A. 3B. 2C. 1D. 3 5. 在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是（ ） ABDC AC BD 第 2 页 共 6 页 A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形 6. 已知，则（ ） 5 ) 7 ( 2 7 cos 3 s 1 () 4 in A. B. 2 7 2 7 C. D. 3 5 7 3 5 7 7. 已知函数,则下列结论中正确的是( ) 1 ( )cossin() 23 f xxx A.f(x)既是奇函数又是周期函数B. .f(x)的图象关于直线对称 12 x C. f(x)的最大值为1D. .f(x)在区间上单调递减0, 4 8. ABC中，则A=（ ） 2BA AC 3 ABC S A. B. C. D. 3 2 3 6 5 6 9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中 央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇 生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长 度各是多少？假设，现有下述四个结论： BAC 水深为12尺；芦苇长为15尺；. 2 tan 23 17 tan 47 其中所有正确结论的编号是（ ） 第 3 页 共 6 页 A. B. C. D. 10. 设，则a、b、c的大小关系为（ ） 22 2(cos 16sin 16 )a sin15cos15b 1 cos56c A. B. cbabca C. D. abcbac 11. 将函数y=cosx+sinx(xR)的图像向左平移m(m0)个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是 3m A. B. C. D. 6 12 3 6 5 12. O为ABC所在平面上动点，点P满足, ,则射线AP过ABC的（ ） ABAC OPOA ABAC ,)0 A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 第 4 页 共 6 页 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，的夹角为，则_. , a b 2,1ab , a b 2 3 2ab 14. 已知，且，则 . 1 tan() 42 0 2 2 2sinsin2 cos() 4 15. 已知两个非零单位向量、的夹角为. 1 e 2 e 不存在，使； 12 2e e ； 1212 22eeee ； 1212 eeee 在方向上的投影为. 1 e 2 e sin 则上述结论正确的序号是_（请将所有正确结论都填在横线上） 16. 已知P为ABC所在平面内一点，且，则_ 23 55 AAPBAC : PABABC SS 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分 ） 17. 计算（1）； 2 3tan123 sin12 (4cos 122) （2） cos40sin50 (13tan10 ) . sin701 cos40 第 5 页 共 6 页 18. 已知不共线向量，满足|3，|2，（23）（2）20. a b a b ab ab （1）求； a b （2）是否存在实数，使与2共线？ ab ab （3）若（k2）（），求实数k的值. a b akb 19. 已知向量，. 3,ak 0, 1b 1, 3c （）若，求k的值； ac （）当时，与共线，求的值； 1k ab c （）若，且与的夹角为150，求. 3mb m c 2mc 20. 已知平面向量，函数. 3 ,0 2 ,asinx cosxbcosx 2()f xab xR (1)求函数f(x)图象的对称轴； (2)当时，求f(x)的值域. 0, 2 x 21. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q)，过点A做ABOP，ACOQ，垂足分 3 PQ 别为B，C，记AOB，四边形ACOB的周长为l. 第 6 页 共 6 页 （1）求l关于的函数关系式； （2）当为何值时，l有最大值，并求出l的最大值. 22. 已知，且，其中. a b 1ab 3akbakb 0k (1)若与的夹角为60，求k的值； a b (2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围 ( )f ka b ( )1f ktk 1,1t ；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 19 页 20192020 学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 期末单元测试卷 （范围：新教材人教 B 版 必修三 考试时间：90 分钟 满分：150 分） 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 若夹角为 120的向量与满足，则（ ） a b 2abb a A. 1B. 2C. D. 4 2 3 答案及解析： 1.B 【分析】 根据向量数量积的应用，把两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论. 2ab 【详解】解：， 2ab ， 22 24aa bb 即， 2 4cos12044aa 则，或（舍）， 2a 0a 故选：B. 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题. 2. 已知为锐角，角的终边过点（3，4），sin（+），则cos（） 2 2 第 2 页 共 19 页 A. B. C. D. 或 3 2 10 2 10 7 2 10 2 10 7 2 10 答案及解析： 2.B 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin 和 cos，再利用同角三角函数的基本关系求得 cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得 coscos（+）的值 【详解】 为锐角，角 的终边过点（3，4），sin，cos，sin（+）sin， 4 5 3 5 2 2 + 为钝角，cos（+）， 2 2 1 2 sin 则 coscos（+）cos（+） cos+sin（+） sin， 2 2 32 52 42 510 故选B 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用， 属于基础题 3. （ ）tan10tan50 3tan10 tan50 A2 B C. D132 答案及解析： 3. B ，所以， 所以原式，故选 B. 第 3 页 共 19 页 4. 如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若,则的值为() ADACAE A. 3B. 2C. 1D. 3 答案及解析： 4. D 【详解】因为 E 是 DC 的中点，所以， 1 () 2 AEACAD 2ADACAE ， 1,2 123 考点：平面向量的几何运算 5. 在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是（ ） ABDC AC BD A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形 答案及解析： 5.A 【分析】 由可得四边形为平行四边形，由0 得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形 ABDC AC BD 【详解】， ABDC 第 4 页 共 19 页 与平行且相等， ABDC 四边形为平行四边形 ABCD 又， 0AC BD ， ACBD 即平行四边形的对角线互相垂直， ABCD 平行四边形为菱形 ABCD 故选 A 【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题 6. 已知，则（ ） 5 ) 7 ( 2 7 cos 3 s 1 () 4 in A. B. 2 7 2 7 C. D. 3 5 7 3 5 7 答案及解析： 6.A 【分析】 由题得，再利用诱导公式化简求值. 355 sin( +)sin( +) 147 s n( 227 i) 【详解】. 35552 sin( +)sin( +sin()cos( +)= 14722777 故选：A 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 第 5 页 共 19 页 已知函数,则下列结论中正确的是( ) 1 ( )cossin() 23 f xxx A.f(x)既是奇函数又是周期函数B. .f(x)的图象关于直线对称 12 x C. f(x)的最大值为 1D. .f(x)在区间上单调递减0, 4 答案及解析： 7. B ， 所以 f(x)不是奇函数，f(x)的最大值不为 1， f(x)在区间上不是单调函数，所以 A,C,D 错误， 令， 得， 时，f(x)对称轴方程为，故选 B. 8. ABC中，则A=（ ） 2BA AC 3 ABC S 第 6 页 共 19 页 A. B. C. D. 3 2 3 6 5 6 答案及解析： 8.B 【分析】 设的内角、的对边分别为、，利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题 ABCA BCabc 中等式用、的等式表示，可求出的值，结合角的取值范围，可得出角的值. bcAtan AAA 【详解】设的内角、的对边分别为、， ABCA BCabc 则， coscos2BA ACcbAbcA 1 sin3 2 ABC SbcA 所以，两个等式相除得， cos2 sin2 3 bcA bcA tan3A 0A 2 3 A 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积的定义，同时也考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于中等题. 9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生 其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池 1 丈见方（即CD=10 尺）， 芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦 苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论： BAC 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺；. 2 tan 23 17 tan 47 其中所有正确结论的编号是（ ） A. B. C. D. 第 7 页 共 19 页 答案及解析： 9.B 【分析】 利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公 BC tan BC AB tan 2 式求得的值. tan 4 【详解】设，则， BCx1ACx ，. 5AB 222 5(1)xx 12x 即水深为 12 尺，芦苇长为 12 尺； ，由，解得（负根舍去）. 12 tan 5 BC AB 2 2tan 2 tan 1 tan 2 = - 2 tan 23 ， 12 tan 5 . 1tan17 tan 41tan7 故正确结论的编号为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题. 10. 设，则a、b、c的大小关系为（ ） 22 2(cos 16sin 16 )a sin15cos15b 1 cos56c A. B. cbabca C. D. abcbac 答案及解析： 第 8 页 共 19 页 10. C 分析：分别对 a，b，c 化简，最后利用余弦函数的单调性比较大小即可. 详解：， 22 2 cos 16sin 162cos32a ， sin15cos152sin602cos30b 2 1cos562cos 282cos28c 又在上单调递减， cosyx 0, 2 ， cos28cos30cos32 . cba 故选：C 点睛：本题考查了辅助角公式、二倍角公式、半角公式、诱导公式的灵活运用，以及利用函数性质比较大小 的方法. 11. 将函数y=cosx+sinx(xR)的图像向左平移 m(m0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则的最3m 小值是 A. B. C. D. 6 12 3 6 5 答案及解析： 11.A 12. 第 9 页 共 19 页 O为ABC所在平面上动点，点P满足, ,则射线AP过ABC的（ ABAC OPOA ABAC ,)0 ） A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 答案及解析： 12.B 【分析】 将变形为，因为和的模长都是 1，根据平行 ABAC OPOA ABAC ABAC AP ABAC | AB AB AC AC 四边形法则可得，过三角形的内心. 【详解】 ABAC OPOA ABAC ABAC OPOAAP ABAC 因为和分别是和的单位向量 | AB AB AC AC AB AC 所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量 ABAC ABAC | AB AB AC AC 所以的方向与的角平分线重合 AP BAC 即射线过的内心 APABC 故选 B 【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题. 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 第 10 页 共 19 页 已知向量，的夹角为，则_. , a b 2,1ab , a b 2 3 2ab 答案及解析： 13. 2 ，的夹角为 2,1ab , a b 2 3 2 cos1 3 a bab 22 2 22444442ababaa bb 故答案为 2. 14. 已知，且，则 . 1 tan() 42 0 2 2 2sinsin2 cos() 4 答案及解析： 14. 2 5 5 ，且，所以, 1 tan() 42 0 2 1tan11 ,tan 1tan23 1 sin 10 . 2 2sinsin22sin(sincos)102 5 2 2sin2 2() 1052 cos() (cossin) 4 2 15. 已知两个非零单位向量、的夹角为. 1 e 2 e 第 11 页 共 19 页 不存在，使； 12 2e e ； 1212 22eeee ； 1212 eeee 在方向上的投影为. 1 e 2 e sin 则上述结论正确的序号是_（请将所有正确结论都填在横线上） 答案及解析： 15. 【分析】 根据平面向量的定义、平面向量数量积的运算律、垂直向量的等价条件以及向量投影的定义来判断各命题的 正误. 【详解】对于命题，命题正确； 1212 coscos1,1e eee 对于命题，同理可得 22 22 1211221122 2444cos454coseeee eeeeee ，则，命题正确； 2 12 254cosee 1212 22eeee 对于命题， 22 22 22 12121212 110eeeeeeee ，命题正确； 1212 eeee 对于命题，在方向上的投影为，命题错误. 1 e 2 e 1 coscose 因此，正确命题的序号为，故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量数量积的定义以及运算律，同时也考查了平面向量垂直的等价条件和投影的定义， 解题时应充分从这些定义和等价条件出发来加以理解，考查推理能力，属于中等题. 16. 第 12 页 共 19 页 已知P为ABC所在平面内一点，且，则_ 23 55 AAPBAC : PABABC SS 答案及解析： 16. 3 5 【分析】 将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可 【详解】解：设，则根据题意可得， 32 , 55 ANAC AMAB APAMAN 如图所示，作，垂足分别为，则 CHAB,NQABH,Q 11 , 22 ABCPAB SAB CHSAB NQ 又，故答案为：。 3 5 NQAN CHAC 3 5 PAB ABC S S 3 5 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题 三、解答题（本题共 6 道小题,第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 70 分） 17. 计算（1）； 2 3tan123 sin12 (4cos 122) （2） cos40sin50 (13tan10 ) . sin701 cos40 第 13 页 共 19 页 答案及解析： 17.（1） （2） 4 32 【分析】 （1）利用二倍角公式及辅助角公式，即可求得答案（2）由三角函数和差角的公式和二倍角公式，以及诱导 公式逐步化简可得 【详解】（1） 3sin123cos12 1 sin48 2 . 2 3sin 1260 1 sin48 2 4 3sin48 4 3 sin48 cos40sin50 (13tan10 ) sin701 cos40 （2） 2 sin10 cos40sin5013 cos10 sin7012cos 201 2 2sin50 cos50 cos40 cos401 cos10 cos202cos202cos 20 2 2 2cos 20 2 2cos 20 . 2 , 32 x 【点睛】本题主要考查了二倍角公式，三角函数的求值，涉及和差角的公式和二倍角公式，涉及转化思想， 等式的恒等变形，属于中档题 18. 已知不共线向量，满足|3，|2，（23）（2）20. a b a b ab ab （1）求； a b 第 14 页 共 19 页 （2）是否存在实数 ，使 与2共线？ ab ab （3）若（k2）（），求实数k的值. a b akb 答案及解析： 18. （1）1；（2）存在，；（3）或 1 2 1k 2k 【分析】 （1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数 ，使 与2共线，则，计算得到答案. ab ab 2abm ab （3）计算（k2）（）0，展开计算得到答案. a b akb 【详解】（1）向量，满足|3，|2，（23）（2）20， a b a b ab ab 所以 4434943420，解得1； 2 aa b 2 ba b a b （2）假设存在实数 ，使 与2共线，则， ab ab 2abm ab 故，. ,12mm 1 2 即存在 ，使得 与2共线； 1 2 ab ab （3）若（k2）（），则（k2）（）0， a b akba b akb 即k（2k2）2k0，所以 9k+（2k2）12k40， 2 aa b 2 b 整理得k2k20，解得k1 或k2. 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 19. 已知向量，. 3,ak 0, 1b 1, 3c 第 15 页 共 19 页 （）若，求k的值； ac （）当时，与共线，求的值； 1k ab c （）若，且与的夹角为 150，求. 3mb m c 2mc 答案及解析： 19. （）.（）.（） 1k 2 27mc 【分析】 （）由得方程即得解； 0a c （）先求出，由题得，解方程即得解. 3,1ab 3310 （）先求出，即得. 3m ， 3m c 2mc 【详解】解：（），. ac 0a c 即，. 330k1k （）当时，. 1k 3,10, 13,1ab 与共线. ab c 3310 所以. 2 （）， 1b 2c . 33mb 与的夹角为， m c 150 . cos1503m cm c 第 16 页 共 19 页 . 2222 22427mcmcmm cc . 27mc 【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20. 已知平面向量，函数. 3 ,0 2 ,asinx cosxbcosx 2()f xab xR (1)求函数f(x)图象的对称轴； (2)当时，求f(x)的值域. 0, 2 x 答案及解析： 20. (1) (2) , 2 () 6 k xkZ 3, 6 【分析】 （1）先求得的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得f(x)的表达式并进行化简，再根据正弦型函数 2ab 的对称轴的求法，求得函数f(x)的对称轴. （2）根据（1）中所求f(x)的解析式，结合三角函数值域的求法，求得f(x)的值域. 【详解】(1) 23,2absinxcosxcosx ， 2 2 2cos3()f xxsinxcosx 224 6 sinx 由解得:， 2 62 xk , 2 () 6 k xkZ 所以函数图象的对称轴是直线 f x , 2 () 6 k xkZ 第 17 页 共 19 页 (2) 当时， 0, 2 x 7 2 666 x ， 所以 1 2,1 62 sinx 所以. 3, 6f x 所以的值城是 f x 3, 6 【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查 正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题. 21. 如图，已知OPQ是半径为 1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q)，过点A做 3 PQ ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C，记AOB，四边形ACOB的周长为l. （1）求l关于的函数关系式； （2）当为何值时，l有最大值，并求出l的最大值. 答案及解析： 21. （1），sinsinABOAcoscosOBOA ，sinsin 33 ACOA coscos 33 OCOA sincossincos 33 l 第 18 页 共 19 页 3113 sincoscossincossin 2222 1333 sincos 22 31 sin3cos 2 31 sin0 33 （2），当时，0 3 2 333 , 326 sin1 3 max 31l 所以时，. 6 max 31l 22. 已知，且，其中. a b 1ab 3akbakb 0k (1)若与的夹角为 60，求k的值； a b (2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取 ( )f ka b ( )1f ktk 1,1t 值范围；若不存在，请说明理由. 答案及解析： 22. (1) ；(2) 1k 72 0 3 k 【分析】 (1)由两边平方得，展开即可求出k的值； 3akbakb 22 3akbakb (2)根据，可求出，再将变形为 22 3akbakb ( )f ka b ( )1f ktk ，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围 2 1 10 4 k kt k 2 1 1 4 k tkt k 10 10 第 19 页 共 19 页 【详解】(1) 由得，因为， 3akbakb 22 3akbakb 1 2 a b 所以，即，解得 22 123 1 2ka bkka bk 22 13 1kkkk 1k (2)由(1)可知，所以， 22 123 1 2ka bkka bk 2 1 ( ) 4 k f ka b k 变形为，设，所以对任意的恒成立， ( )1f ktk 2 1 10 4 k kt k 2 1 1 4 k tkt k 0t1,1t 即有， ，解得 10 10 2 2 1 10 4 1 10 4 k k k k k k 72 0 3 k 【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能 力，属于中档题