（2021新人教B版）高一数学下学期第十章 复数-期末冲刺满分训练（原卷+解析）.zip

第 1 页 共 5 页 20192020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷 第十章 复数 期末单元测试卷 （范围：新教材人教B版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） i i 1 i z | z A. 2B. C. 5D. 25 2. 复数z满足，则复数z( ) 2 1 i z i A. 1iB. 12iC. 1iD. 1i 3. 在复平面内，设复数对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是A、B，则点A、B对应的复数和是（ ） 33i A. 0B. 6C. D. 2 3i62 3i 4. 设，其中i为虚数单位，x、y是实数，则（ ） (1)()2i xyi|2|xyi A. 1B. C. D. 235 5. 在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根，已知方程的一个根为1+i(i为虚 2 0(R,R)xaxbab 数单位)，则( ) 1 a i A. 1-iB. -1+iC. 2iD. 2+i 6. 第 2 页 共 5 页 复数z的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点(1,1)，复数:满足.则等于（ z 1 z 2 z 12 2zz 2 z ） A. B. 2C. D. 10 210 7. “”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（） 2p 2 10 xpx A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 8. 若复数z满足，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ） (1 i) |13i|z A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 9. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 =1iz A. B. 22 +11()xy 22 (1)1xy C. D. 22 (1)1yx 22 ( +1)1yx 10. 已知，则（ ） 12 3 cossin,2 cossin 26633 zizi 1 2 z z A. iB. 2iC. D. 3i 2 2i 11. 已知复数z满足，则z在复平面上对应的点位（） 2019 2i zi A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 第 3 页 共 5 页 12. 欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函 数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面 中对应的点位于() A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. i是虚数单位,若是纯虚数,则实数a的值为_. 2 1 ai i 14. 已知复数是纯虚数，则实数m为_ 22 563mmmm i 15. 复数，则实部的最大值_，虚部的最大值_ 1 cosiz 2 siniz 12 z z 16. 已知复数，（，i为虚数单位），在复平面上，设复数 1 cos2 ( )izxf x 2 ( 3sincos )izxx xR1 z 、对应的点分别为、，若，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为_. 2 z 1 Z 2 Z 12 90Z OZ 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共7 0分） 17. 实数m取怎样的值时，复数是： 22 6(215)zmmmmi （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 18. 第 4 页 共 5 页 已知复数z满足：，且z在复平面内对应的点位于第三象限. 2 34zi （I）求复数z； （）设，且，求实数a的值. aR 2019 1 2 1 z a z 19. 设复数，求满足下列条件的实数m的值： 22 23(32)zmmmmi （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z在复平面内对应的点位于第二象限。 20. 已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. 2zi2 z i (1)求复数z和； z (2)若在第四象限，求m的取值范围. 1 17 12 zzi mm 21. 已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），|= 1 z 2 z 12 (1)(1)zizi 1 z 2 。 （I）求的值； 1 z （II）若的虚部大于零，且（m，nR），求m，n的值。 1 z 1 1 m zni z 22. （1）在复数范围内解方程（i为虚数单位） 23 2 i zzz i i 第 5 页 共 5 页 （2）设z是虚数，是实数，且 1 z z 12 （i）求的值及的实部的取值范围； z z （ii）设，求证：为纯虚数； 1 1 z z （iii）在（ii）的条件下求的最小值 2 第 1 页 共 17 页 20192020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷 第十章 复数 期末单元测试卷 （范围：新教材人教B版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） i i 1 i z | z A. 2B. C. 5D. 25 答案及解析： 1.D 【分析】 由已知可得，求出，再由模长公式，即可求解. (1)ziii z 【详解】. (1)12 , |5, 1 ziiiii i z zi 故选:D. 【点睛】本题考查复数乘除法间的关系、乘法运算以及模长，属于基础题. 2. 复数z满足，则复数z( ) 2 1 i z i A. 1iB. 12iC. 1iD. 1i 答案及解析： 2.D 第 2 页 共 17 页 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【详解】，故选D 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii 1zi 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3. 在复平面内，设复数对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是A、B，则点A、B对应的复数和是（ ） 33i A. 0B. 6C. D. 2 3i62 3i 答案及解析： 3.A 【分析】 先写出复数对应点坐标，求出对称点A、B坐标后可得其对应复数，按题意计算即可 33i 【详解】对应点为，则，对应复数分别为， 33i(3,3)M(3, 3)A( 3,3)B 33i33i 33i( 33 )0i 故选：A 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题复数在复平面上对应点为也 ( ,)zabi a bR,()Z a b 可从对称性得出两点关于原点对称，从而对应的复数和为0 ,A B 4. 设，其中i为虚数单位，x、y是实数，则（ ） (1)()2i xyi|2|xyi A. 1B. C. D. 235 答案及解析： 4.D 第 3 页 共 17 页 ，是实数, 12ixyi x y ()2xyxy i 2 0 x y x y 1,1xy 22xyii 25i 故选D. 5. 在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根，已知方程的一个根为1+i(i为虚 2 0(R,R)xaxbab 数单位)，则( ) 1 a i A. 1-iB. -1+iC. 2iD. 2+i 答案及解析： 5.B 【分析】 利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，再根据复数代数形式的除法法则计算即可得出 【详解】解：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 1 1xi x 2 0 xaxb 也是此方程的一个虚根， 2 1xi 12 ()(11)2axxii 所以 2 12 1 1111 ia i iiii 第 4 页 共 17 页 故选：B 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系以及复数代数形式的除法运算， 属于基础题 6. 复数z的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点(1,1)，复数:满足.则等于（ z 1 z 2 z 12 2zz 2 z ） A. B. 2C. D. 10 210 答案及解析： 6.A 【分析】 根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出 1 z 1 z 1 z 12 2zz 2 1 2 z z 2 z . 2 z 【详解】由于复数对应复平面上的点，则， 1 z1, 1 1 1zi 1 1zi ，因此，. 12 2zz 2 1 2 122 1 111 i zi iiiz 22 2 112z 故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于 基础题. 7. “”是“关于x的实系数方程有虚数根”的（） 2p 2 10 xpx A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 答案及解析： 第 5 页 共 17 页 7.B 【分析】 先求出关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：，即，再由“ 2 10 xpx 2 40p22p ”与“”的关系得解 2p 22p 【详解】解：关于x的实系数方程有虚数根的充要条件为：， 2 10 xpx 2 40p 即， 22p 又“”不能推出“”， 2p 22p “”能推出“”， 22p 2p 即“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的必要不充分条件， 2p 2 10 xpx 故选B 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题 8. 若复数z满足，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ） (1 i) |13i|z A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 答案及解析： 8.A 【分析】 先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解. zz 【详解】由题得，所以， 22(1) 1 1(1)(1) i zi iii 1zi 第 6 页 共 17 页 所以在复平面内的共轭复数对应的点为，在第一象限. z 1,1 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 =1iz A. B. 22 +11()xy 22 (1)1xy C. D. 22 (1)1yx 22 ( +1)1yx 答案及解析： 9.C 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距 离为1，可选正确答案C 【详解】则故选C ,(1) ,zxyi zixyi 22 (1)1,zixy 22 (1)1yx 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利 用方程思想解题 10. 已知，则（ ） 12 3 cossin,2 cossin 26633 zizi 1 2 z z A. iB. 2iC. D. 3i 2 2i 答案及解析： 10.D 【分析】 第 7 页 共 17 页 根据复数乘法运算的三角表示，即得答案. 【详解】 1 2 33 cossin2 cossin2 cossin 2663326363 z ziii . 3 cossin3 22 ii 故选：. D 【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题. 11. 已知复数z满足，则z在复平面上对应的点位（） 2019 2i zi A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 答案及解析： 11.C 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案 【详解】由， 2019 2i zi 得， 20194 504 3 (2)12 222(2)(2)55 iiiii zi iiiii z在复平面上对应的点的坐标为，位于第三象限 12 , 55 故选：C 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 12. 第 8 页 共 17 页 欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函 数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面 中对应的点位于() A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案及解析： 12.B 【分析】 由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答. 2 cos2sin2 i ei (cos2,sin2) 【详解】由题意得，e2icos 2isin 2， 复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2) 2， cos 2(1，0)，sin 2(0，1)， e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. i是虚数单位,若是纯虚数,则实数a的值为_. 2 1 ai i 答案及解析： 13.2 【分析】 第 9 页 共 17 页 对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值. 2 1 ai i a 【详解】 212 111 aiiai iii 2 22 1 aai i 22 22 aa i 因为复数为纯虚数， 所以，得. 2 0 2 a 2a 故答案为：2. 【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题. 14. 已知复数是纯虚数，则实数m为_ 22 563mmmm i 答案及解析： 14.2 解：因为复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，所以实部为零，即m2-5m+6=0，m=2,m=3,(舍去)，只有填写2. 15. 复数，则实部的最大值_，虚部的最大值_ 1 cosiz 2 siniz 12 z z 答案及解析： 15.， 1 2 2 ， 1 cosiz 2 siniz ， 1 2 (cosi)(sini)sin cos(sincos )i 1z z 第 10 页 共 17 页 的实部为，实部的最大值为， 12 z z 11 sin cos1sin21 22 1 2 的虚部为，虚部的最大值为 12 z z cossin2sin2 4 2 16. 已知复数，（，i为虚数单位），在复平面上，设复数 1 cos2 ( )izxf x 2 ( 3sincos )izxx xR1 z 、对应的点分别为、，若，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为_. 2 z 1 Z 2 Z 12 90Z OZ 答案及解析： 16. 【分析】 根据垂直得到，化简得到，利用周期公式得 ( 3sincos )cos20 xxxf x 11 sin 2 264 f xx 到答案. 【详解】， 1 cos2 ( )izxf x 2 ( 3sincos )izxx 12 90Z OZ 则 1 ( 3sincos )cos20( 3sincos )cos 2 xxxf xf xxxx 2 3131111 sin coscossin2cos2sin 2 22444264 f xxxxxxx 函数的最小正周期为 ( )f x 2 2 T 故答案为： 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数化简，周期，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分） 17. 第 11 页 共 17 页 实数m取怎样的值时，复数是： 22 6(215)zmmmmi （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 答案及解析： 17.（1）或；（2）且；（3）或 5m 3m 5m 3m 3m 2m 【分析】 （1）由虚部等于0列式求解的值； m （2）由虚部不等于0列式求解的值； m （3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解的值. m 【详解】（1）当，即或时，的虚部等于0， 2 2150mm5m 3m z 所以当或时，为实数； 5m 3m z （2）当时，即且时，为虚数； 2 2150mm5m 3m z （3）当时，即或时，为纯虚数. 2 2 60 2150 mm mm 3m 2m z 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单 题目. 18. 已知复数z满足：，且z在复平面内对应的点位于第三象限. 2 34zi （I）求复数z； （）设，且，求实数a的值. aR 2019 1 2 1 z a z 答案及解析： 18.（）（） 2zi 3a 第 12 页 共 17 页 【分析】 （I）设,利用复数相等的概念求出复数z; 0,0zcdi cd （）先计算出，再求a的值. 2019 1 1 1 z z 【详解】解；（）设，则， 0,0zcdi cd 2 222 234zcdicdcdii 22 3, 24, cd cd 解得或（舍去）. 2, 1 c d 2, 1 c d . 2zi （）， 2zi 2 1111 1112 izii i zii ， 2019 20192016 3 1 1 z ii z 504 504 4 343 1iii ，. 2 12aia 3a 【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平，属于基础题. 19. 设复数，求满足下列条件的实数m的值： 22 23(32)zmmmmi （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z在复平面内对应的点位于第二象限。 答案及解析： 19.(1) 或 (2) (3) 0 1x 2m 3m 13m 第 13 页 共 17 页 【分析】 （1）若z为实数，虚部为0，可得m；（2）若z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可得m；（3）复平面第二 象限内的复数满足实部小于0，虚部大于0，可得。 【详解】解：（1）由题得，解得或。 2 320mm0 1x 2m （2）由题得，解得。 2 2 230 320 mm mm 3m （3）由，得 2 2 230 320 mm mm 13m 【点睛】本题考查复数的基本性质，是基础题。 20. 已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. 2zi2 z i (1)求复数z和； z (2)若在第四象限，求m的取值范围. 1 17 12 zzi mm 答案及解析： 20.（1）， （2） 或 42iz 2 5.z 3 2 4 m 3 1. 2 m 【试题分析】（1）依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出 4242iabz，进而求得 ，再建立不等式求解： 1 17 42i 12 z mm 【详解】（1）设，则 i,zab a bR 20,2.bb 2244 i04,42i 2i555 zaaa az 第 14 页 共 17 页 2 5.z （2） 1 1 40 17 1 42i 712 20 2 m z mm m 或 3 2 4 m 3 1. 2 m 点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用求解时先 ，然后依据题设建立方程求出，再求其模 i,zab a bR设 4242iabz，进而求得 2 5.z ；第二问时先求出，再建立不等式组求解得 或 1 17 42i 12 z mm 1 40 1 7 20 2 m m 3 2 4 m 而获解. 3 1. 2 m 21. 已知：复数与在复平面上所对应的点关于y轴对称，且（i为虚数单位），|= 1 z 2 z 12 (1)(1)zizi 1 z 2 。 （I）求的值； 1 z （II）若的虚部大于零，且（m，nR），求m，n的值。 1 z 1 1 m zni z 答案及解析： 21.（I）或（II） 1 1zi 1 1zi 4,1mn 【分析】 （I）设，得出的表达式，根据和列方程组，解方程组求得的 1 zxyi 2 z 12 (1)(1)zizi 1 2z , x y 值，进而求得的值.（II）根据（I）的结论确定的值.代入运算化简，根据复数相等的条件列 1 z 1 z 1 1 m zni z 方程组，解方程组求得的值. ,m n 第 15 页 共 17 页 【详解】解：（I）设（x，yR），则 =x+yi， 1 zxyi 2 z z1（1i）=（1+i），|=， 2 z 1 z 2 22 ()(1)()(1) 2 xyiixyii xy 或，即或 1 1 x y 1 1 x y 1 1zi 1 1zi （II）的虚部大于零， 1 z 1 1zi 1 1zi 则有，。 ( 1) 1 m ini i 1 2 11 2 m n m 4 1 m n 【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 22. （1）在复数范围内解方程（i为虚数单位） 23 2 i zzz i i （2）设z是虚数，是实数，且 1 z z 12 （i）求的值及的实部的取值范围； z z （ii）设，求证：为纯虚数； 1 1 z z （iii）在（ii）的条件下求的最小值 2 答案及解析： 22. （1）；（2）（i）；（ii）证明见解析；（iii） 13 22 zi 1z 1 ,1 2 a 1 【分析】 第 16 页 共 17 页 （1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i）采用待定系数法，根据实数的定义 构造方程即可解得和，利用的范围求得的范围；（ii）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证 z a 得结论；（iii）将整理为，利用基本不等式求得最小值. 2 1 23t t 1 ,2 2 t 【详解】（1） 2 32355 1 2225 iiii zzz ii iii 设，则 ,zxyi x yR 22 21xyxii ，解得： 22 1 21 xy x 1 2 3 2 x y 13 22 zi （2）（i）设且 zabi , a bR0b 222222 1abiab abiabiabi abiababab 为实数 ，整理可得： 22 0 b b ab 22 1ab 即 1z 21,2a 1 ,1 2 a （ii） 22 2 2 111112 1111 1 abiabizabiabbi zabiabiabi ab 由（i）知：，则 22 1ab1 b i a 且 1 ,1 2 a 0b 0 1 b a 是纯虚数 （iii） 222 2 22 1121 222 11 11 baaaa aaa aa aa 第 17 页 共 17 页 令，则， 1at 1 ,2 2 t 1at 2 2 2 211 12321 23 tttt t ttt （当且仅当时取等号） 1 2t t 1t 2 431 即的最小值为：1 2