（2021新人教B版）高中数学必修第二册完整教辅教师版word文档 .zip

第四章指数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 课时 1实数指数幂及其运算 知识点一 整数指数幂的运算 1.设 m，n 是整数，a，b 是实数(ab0)，则下列各式中正确的有() aaaa3；a01；a1 ；a4a3a；(am)namn；(ab) 1 a nanbn. A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 答案A 解析由整数指数幂的性质，可知这 6 个选项都正确故选 A. 2若 10 x3,10y4，则 10 xy_，10 xy_. 答案 12 3 4 解析10 xy ，10 xy10 x10y12. 10 x 10y 3 4 知识点二 根式与分数指数幂的互化 答案C 解析 4用分数指数幂形式表示： _. a a a a 答案 解析 5. (a0，b0)用分数指数幂可表示为_ a2 b b3 a a b3 答案 解析解法一：(由内向外化) 解法二：(由外向内化) 知识点三 实数指数幂的运算 6.计算(或化简)下列各式： 解 易错点 化简忽略条件而致误 n an 7.计算： . 3 1 23 4 1 24 易错分析注意1，而是|1|1.其出错 4 1 24 2 4 1 24 22 原因是a(aR)成立的条件是 n 为正奇数，如果 n 为正偶数，那么|a|. n an n an 正解 (1)|1|112. 3 1 23 4 1 24 22222 一、选择题 1.(a4)0有意义，则 a 的取值范围是() 4 a2 Aa2 B2a4 Ca2 Da4 答案B 解析要使原式有意义，需满足：Error!，解得 2a4. 2计算(nN*)的结果为() 2n12(1 2)2n1 4n82 A. B22n5 1 64 C2n22n6 D. 2n7 ( 1 2) 答案D 解析原式 2n7. 22n222n1 22n26 2 22n6 ( 1 2) 3当有意义时，化简的结果为() 2xx24x4x26x9 A2x5 B2x1 C1 D52x 答案C 解析由有意义得 x2.故 2x |x2|x3|(2x)(3x)1. x24x4x26x9 答案A 解析 5计算的值等于() (1 1 2)(1 1 22)(1 1 24)(1 1 28) A1 B1 1 216 1 216 C2 D2 1 215 1 215 答案D 解析( 11 2)(1 1 2)(1 1 22)(1 1 24)(1 1 28) ( 1 1 22)(1 1 22)(1 1 24)(1 1 28) ( 1 1 24)(1 1 24)(1 1 28) 1， (1 1 28)(1 1 28) 1 216 原式22. (1 1 216) 1 215 二、填空题 6设 ， 是方程 5x210 x10 的两个根，则 22_，(2) _. 答案 1 4 解析利用一元二次方程根与系数的关系，得 2， .则 1 5 22222 ，(2)2. 1 4 7计算： 00.5 _.(e 为自然对数的底数) 1 21 ( 3 5) ( 9 4) 4 2e4 答案e 2 3 解析原式11 20.5e e . 2 ( 2 3)2 2 3 答案2 2 解析 三、解答题 9已知 a2，b5，求的值 72 a6b69b4 a6b66a3b19b4 b5 a33b5 解a6b66a3b19b4(a3b33b2)2， 由 a2，b5，得 a3b33b2. 72 原式 a3b33b2a3b33b2 3b2a3b3 b5 a33b5 a3b33b2b5 a33b5 a33b5b2 a33b5 b2. b5，故原式50. 2 解 41.2指数函数的性质与图像 课时 2指数函数的性质与图像 知识点一 指数函数的概念 1.下列函数y3x2，y4x，y22x，y32x，y3x1 中，一定 为指数函数的个数为() A0 B1 C2 D3 答案C 解析是指数函数，y22x4x是指数函数；均不是 2函数 y(2a23a2)ax是指数函数，则 a 的值是() Aa0，a1 Ba1 Ca Da1 或 a 1 2 1 2 答案C 解析由指数函数的定义得Error!解得 a ，故选 C. 1 2 知识点二 指数函数的图像 3.若函数 y3x(b1)的图像不经过第二象限，则有() Ab1 Db0 答案B 解析指数函数 y3x过定点(0,1)，函数 y3x(b1)过定点(0，b)，如图 所示，若函数图像不过第二象限，则 b0. 4如图，曲线 C1，C2，C3，C4是指数函数 yax的图像，而 a ，则图像 C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是 2 3 ，1 3， 5， _，_，_，_. 答案 2 3 1 35 解析由 x1 时 ya 可得指数函数图像变化的规律：在 y 轴右侧，图高底 大 易知 C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数又 ， 1 3 2 35 故 C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，. 2 3 1 35 知识点三 利用指数函数的单调性比较大小 答案D 解析 6已知 a5x0，且 a1)，求 x 的取值范围 解当 a1 时，a5xax7，5x ；当 0a1 时， 7 6 a5xx7，解得 x1 时，x 的取值范围是 7 6 ；当 0a0，0 x1. ( 1 2) ( 1 2) 01 x1，0y0)，则 y4x2x11t22t1(t1)2. t0，t11，(t1)21， y1，值域为y|y1 8讨论函数 f(x) x22x的单调性，并求其值域 ( 1 5) 解函数 f(x)的定义域是(，)，令 tx22x，则 f(t) t， ( 1 5) 又tx22x(x1)21 在(，1上是减函数，f(t) t在其定义域内 ( 1 5) 是减函数 函数 f(x)在(，1上为增函数 函数 f(t) t在其定义域内为减函数，tx22x(x1)21 在1，) ( 1 5) 上是增函数， 函数 f(x)在1，)上是减函数 f(x)f(1)5，又 x22x0， ( 1 5) f(x)的值域为(0,5 9已知函数 f(x) |x|1. ( 1 3) (1)作出函数 f(x)的简图； (2)若关于 x 的方程 f(x)3m 有两个解，求 m 的取值范围 解(1)f(x)Error! 如图所示 (2)作出直线 y3m，当13m0 时，即 m 2 1，即原函数的值域是(1，) (0 1 2) 3 4 一、选择题 1设 y140.9，y280.48，y3 1.5，则() ( 1 2) Ay3y1y2 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy1y2y3 答案C 解析y140.921.8，y280.4821.44，y3 1.521.5，y2x在 R 上是增 ( 1 2) 函数，1.81.51.44，y1y3y2.故选 C. 2函数 f(x)的定义域为() 12x 1 x3 A. B(3,1 (3，0 C(，3)(3,0 D(，3)(3,1 答案A 解析由题意，自变量 x 应满足Error!解得Error! 3x0. 3函数 f(x)axb的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是() Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 答案D 解析由图知 f(x)在 R 上单调递减，故 0a1，f(0)1，即 ab0，b0，3x11. 3x 3x1 1 3x1 01.01 53xa3x5(a0，且 a1)，求 x 的取值范围 ( 1 a) 解因为 ax1 53xa3x5， ( 1 a) 所以当 a1 时，可得 x13x5，所以 x3. 当 0a1 时，可得 x13. 综上，当 a1 时，x3；当 0a3. (1)求函数的定义域、值域； (2)确定函数的单调区间 解(1)设 ux26x17，由于函数 y u， ( 1 2) 及 ux26x17 的定义域为(，)， 4.2对数与对数函数 4.2.1对数运算 课时 3对数运算 知识点一 对数的概念 1求使对数 logx3(7x)有意义的 x 的取值范围是_ 答案3x7 且 x4 解析要使对数有意义，有Error!且 x31， 3x0 且 a1，则 loga10； 若 a0 且 a1，则 logaa1； A B C D 答案B 解析 2若 log2(logx9)1，则 x() A3 B3 C9 D2 答案A 解析log2(logx9)1，logx92，即 x29， x3.由 x0 知，x3. 答案C 解析 4若对数式 log(a2)92，则 a() A1 B5 C. D1 或 5 13 4 答案B 解析若 log(a2)92，则(a2)29.故 a23，a1 或 5，因为 a20 且 a21，故 a5. 5已知 f(a2)log2a，则 f(4)() A4 B2 C1 D1 答案C 解析令 a24，即 a2，因为 a0，故 a2，所以 f(4)log221. 二、填空题 6若 log31，则 x_. ( 12x 5 ) 答案7 解析由已知得3，解得 x7. 12x 5 7若 f(10 x)x，则 f(3)_. 答案lg 3 解析令 10 x3，则 xlg 3， f(3)f(10 x)xlg 3. 8已知方程 x2xlog26log230 的两根为 ，则 2_. 答案 1 6 解析因为 log26，所以 22log26(2log26)1 . 1 6 三、解答题 解 解(1)18a9,18b54， 182ab . 18a2 18b 92 54 81 54 3 2 4.2.2对数运算法则 课时 4积、商、幂的对数 知识点一 正确理解对数的运算法则 1对 a0，且 a1(M0，N0)，下列说法正确的是() AlogaMlogaNloga(MN) B.loga(MN) logaM logaN ClogalogamMn m Mn DlogaM log2M log2a 答案C 解析 2下列式子中：lg (32)lg (32)0； 22 lg (10)lg (10)0； 9999 log ()1(nN*)； n1nn1n lg (ab) lg a lg b 其中正确的有_(填序号) 答案 解析lg (32)lg (32)lg 22 32 2 32 2 lg (32)20，故错误 2 lg (10)0，lg (10)0. 9999 lg (10)lg (10)0，故错误 9999 log( )( ) n1nn1n log( ) 1，正确 n1n 1 n1 n lg (ab)，故错误 lg a lg b 知识点二 对数式的计算、化简 3.计算下列各式的值： (1)log2 log212 log242； 7 48 1 2 (2)lg 500lg lg 6450(lg 2lg 5)2. 8 5 1 2 解(1)原式log2log2 . 7 12 48 42 1 2 1 2 4计算：(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2； (2). lg 32lg 91lg 27lg 8lg 1000 lg 0.3 lg 1.2 解(1)原式2lg 5lg 2(1lg 5)(lg 2)2 2lg 5lg 2(1lg 5lg 2) 2lg 52lg 22. (2)原式 lg 322lg 31(3 2lg 33lg 2 3 2) lg 31 lg 32lg 21 . 1lg 3 3 2lg 32lg 21 lg 31 lg 32lg 21 3 2 易错点 利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件 5.设 lg xlg y2lg (x2y)，则 log4的值为_ x y 易错分析本题容易出现将对数式 lg xlg y2lg (x2y)转化为代数式 xy(x2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件Error!从而误认为 4 x y 或 1，得出 log41 或 0 的错误答案 x y x y 答案1 正解由 lg xlg y2lg (x2y)，得 lg (xy)lg (x2y)2，因此 xy(x2y)2， 即 x25xy4y20，得 4 或 1， x y x y log41 或 log40. x y x y 又x0，y0，x2y0， 1，即 log40， x y x y log41. x y 一、选择题 1(lg 5)2lg 2lg 5lg 20 的值是() A0 B1 C2 D3 答案C 解析(lg 5)2lg 2lg 5lg 20lg 5(lg 5lg 2)lg 20lg 5lg 10lg 20lg 5lg 20lg 1002. 2设 alog32，则 log382log36 用 a 表示的形式是() Aa2 B3a(1a)2 C5a2 Da23a1 答案A 解析log382log363log322(log321)3a2(a1)a2. 3若 lg xlg a2lg b3lg c，则 x() Aa2b3c Bab2c3 C. D. ab2 c3 2ab 3c 答案C 解析lg xlg a2lg b3lg clg， ab2 c3 x.故选 C. ab2 c3 4若 lg xm，lg yn，则 lg lg 2的值等于()x ( y 10) A. m2n2 B. m2n1 1 2 1 2 C. m2n1 D. m2n2 1 2 1 2 答案D 解析原式 lg x2(lg ylg 10) m2n2. 1 2 1 2 5化简：log2log2log2log2等于() 1 2 2 3 3 4 31 32 A5 B4 C5 D4 答案C 解析原式log2log25. ( 1 2 2 3 3 4 31 32) 1 32 二、填空题 答案 15 4 解析 7如果方程(lg x)2(lg 7lg 5)lg xlg 7lg 50 的两根是 ，则 _. 答案 1 35 解析方程(lg x)2(lg 7lg 5)lg xlg 7lg 50 可以看成关于 lg x 的二次方 程 ， 是原方程的两根， lg ，lg 可以看成关于 lg x 的二次方程的两根 由根与系数的关系，得 lg lg (lg 7lg 5)lg 35lg ，lg () 1 35 lg lg lg ，即 . 1 35 1 35 8已知 log32a,3b5，则 log3用 a，b 表示为_ 30 答案 (1ab) 1 2 解析由 alog32，blog35，得 log3 log330 (log351log32) 30 1 2 1 2 (1ab) 1 2 三、解答题 9计算：. 1 2lg 27lg 8ln e3 lg 6 5 解原式 3 2lg 33lg 2 3 2 lg 6lg 5 3 2lg 33lg 2 3 2 lg 2lg 3lg 10 2 . 3 2lg 32lg 21 lg 32lg 21 3 2 10已知 loga(x24)loga(y21)loga5loga(2xy1)(a0，且 a1)，求 log8的值 y x 解原等式可化为 loga(x24)(y21) loga5(2xy1)，(x24)(y21)5(2xy1) 整理，得 x2y2x24y210 xy90， 配方，得(xy3)2(x2y)20， Error! . y x 1 2 log8log8 . y x 1 2 1 3 课时 5换底公式 知识点 换底公式及应用 1若 2.5x1000,0.25y1000，则 等于() 1 x 1 y A. B3 1 3 C D3 1 3 答案A 解析由 2.5x1000,0.25y1000 得 xlog2.51000，ylog0.251000， 3 lg 2.5 3 lg 0.25 . 1 x 1 y lg 2.5 3 lg 0.25 3 1 3 2若 log34log48log8mlog416，则 m_. 答案9 解析由换底公式，得log4162，lg m2lg lg 4 lg 3 lg 8 lg 4 lg m lg 8 lg m lg 3 3lg 9，m9. (2)已知 lg 2a，lg 3b，那么 log512_. 答案(1)4(2) 2ab 1a 解析 (2)log512. lg 12 lg 5 2lg 2lg 3 1lg 2 2ab 1a 4计算：(log43log83)(log32log92) 解原式 . ( lg 3 lg 4 lg 3 lg 8)( lg 2 lg 3 lg 2 lg 9) ( lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2) ( lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3) 1 2 1 4 1 3 1 6 5 4 5已知 x，y，z 为正数，3x4y6z,2xpy. (1)求 p； (2)求证： . 1 z 1 x 1 2y 解(1)设 3x4y6zk(显然 k0，且 k1)， 则 xlog3k，ylog4k，zlog6k， 由 2xpy，得 2log3kplog4kp， log3k log34 log3k0，p2log34. (2)证明： logk6logk3logk2 logk4， 1 z 1 x 1 log6k 1 log3k 1 2 1 2y . 1 z 1 x 1 2y 6计算：(1)log89log2732； (2)log927； (3)log2log3log5. 1 125 1 32 1 3 解(1)log89log2732 lg 9 lg 8 lg 32 lg 27 . lg 32 lg 23 lg 25 lg 33 2lg 3 3lg 2 5lg 2 3lg 3 10 9 (2)log927 . log327 log39 log333 log332 3log33 2log33 3 2 (3)log2log3log5 1 125 1 32 1 3 log253log325log531 3log25(5log32)(log53) 1515. lg 5 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 5 易错点 换底公式的应用 7.设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是() Alogablogbclogca Blogablogcalogcb Cloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac 易错分析由于对换底公式掌握不清而致错 答案B 正解对于 A，logablogbclogablogac，C，D 中公式运用错误， logac logab loga(bc)logablogac. 一、选择题 1(log29)(log34)() A. B. C2 D4 1 4 1 2 答案D 解析(log29)(log34)4. lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 3 lg 2 2lg 2 lg 3 2已知 ln 5a，ln 3b，那么 log1527 用含 a，b 的代数式表示为() A. B. C. D. 3 a 3b ab b2 a b3 ab 答案B 解析因为 log1527，故选 B. ln 27 ln 15 3ln 3 ln 3ln 5 3b ab 3若 log5log36log6x2，则 x 等于() 1 3 A9 B. C25 D. 1 9 1 25 答案D 解析由换底公式，得原式2，lg x2lg 5，x52 lg 3 lg 5 lg 6 lg 3 lg x lg 6 . 1 25 答案C 解析 5设 log83p，log35q，则 lg 5 等于() Ap2q2 B. (3p2q) 1 5 C. Dpq 3pq 13pq 答案C 解析log83p， lg 3 lg 8 lg 3 3lg 2 lg 33plg 2. log35q， lg 5 lg 3 lg 5qlg 33pqlg 23pq(1lg 5)， lg 5，故选 C. 3pq 13pq 二、填空题 6若 logablog3a4，则 b 的值为_ 答案81 解析logablog3a4，即 log3a4，即 log3b4， log3b log3a 34b，b81. 7方程 log3(x1)log9(x5)的解是_ 答案4 解析由换底公式，得 log9(x5) log3(x5) 1 2 原方程可化为 2log3(x1)log3(x5)， 即 log3(x1)2log3(x5)， (x1)2x5. x23x40，解得 x4 或 x1. 又Error!x1，故 x4. 8设 f(n)logn1(n2)(nN*)，现把满足乘积 f(1)f(2)f(n)为整数的 n 叫 做“贺数” ，则在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数是_ 答案9 解析f(n)logn1(n2)， lg n2 lg n1 f(1)f(2)f(n)log2(n2) lg 3 lg 2 lg 4 lg 3 lg n2 lg n1 lg n2 lg 2 n(1,2018)，n2(3,2020)， 2101024,2112048， 在(3,2020)内含有 22,23，210共 9 个 2 的幂，故在区间(1,2018)内所有 “贺数”的个数为 9. 三、解答题 9若 2a3,3b5，试用 a 与 b 表示 log4572. 解2a3,3b5，log23a，log35b， log25log23log35ab， log4572. log272 log245 log223 32 log232 5 32log23 2log23log25 32a 2aab 10设 0a ，且 a0，即 a 的取值范围是Error!. 1 2 知识点二 与对数函数有关的函数图像 3.函数 f(x)loga|x|1(0a0 时，函数 f(x)logax1(0a1)的图像是将函数 ylogax(0a1)的图像上所有点向上平移一个单位；再将图像关于 y 轴对称，得 到的函数图像为 A. 解法二：由 f(x)loga|x|1，得 f(1)1 且 f(1)1，排除 B，D，再由 0a0 时，f(x)单调递减，排除 C.故选 A. 知识点三 与对数函数有关的函数定义域问题 4.求下列函数的定义域： (1)f(x)； lg 4x x3 (2)y. log0.15x4 解(1)由Error!得 x4 且 x3， 所求定义域为(，3)(3,4) (2)由Error!得Error! 0，0 x1，不等式的解集为x|0 x1 (2)logm1 时，m ，即 m1； 2 3 当 0m1 时，m ，即 0m . 2 3 2 3 不等式的解集为Error!. (3)原不等式等价于Error!解得Error! x0 且 1x0， 1x1. f(x)的定义域为x|1x1 (2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称， f(x)log2(1x)log2(1x)f(x)， f(x)是偶函数 易错点 忽视真数的取值范围而致误 9.解不等式 loga(2x5)loga(x1) 易错分析本题易出现未考虑真数的取值范围，也没有对 a 进行分类讨论的 错误 正解当 a1 时，原不等式等价于Error! 解得 x4. 当 0a1 时，原不等式等价于Error! 解得 x4. 5 2 综上，当 a1 时，原不等式的解集为x|x4； 当 0a1 时，原不等式的解集为Error!. 一、选择题 1函数 y ln (1x)的定义域为() x A(0,1) B0,1) C(0,1 D0,1 答案B 解析因为 y ln (1x)，所以Error!解得 0 x1. x 2已知实数 alog45，b 0，clog30.4，则 a，b，c 的大小关系为() ( 1 2) Abca Bbac Ccab Dcb1，b 01，clog30.40，故 cb0 且 a1，若此函数的最大值比最小值大 1，求 a 的值 解当 a1 时，ylogax 在2,4上为增函数， 最大值为 loga42loga2，最小值为 loga2. 由 loga4loga2loga21， a2. 同理，当 0a0 对任意 xR 都成立，所以函数 f(x)log2(2x2)的定义 域是 R. 因为 f(x)log22(x)2log2(2x2)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数 (2)由 xR 得 2x22，所以 log2(2x2)log221，即函数 f(x) log2(2x2)的值域为1，) 4.3指数函数与对数函数的关系 课时 7指数函数与对数函数的关系 知识点一 反函数的概念 1.函数 ye2x(xR)的反函数为() Ay2ln x(x0) Byln (2x)(x0) Cy ln x(x0) Dy ln (2x)(x0) 1 2 1 2 答案C 解析ye2x0,2xln y，x ln y，ye2x的反函数为 y ln x，x0. 1 2 1 2 2已知函数 ylog3(3x)(0 x3)，则它的反函数是() Ay33x(x0) By33x(x1) Cy33x(x0) Dy33x(x1) 答案D 解析0 x0，且 a1)，且 f(4)1， 则 a_. 答案2 解析由 yf(x)与 yg(x)互为反函数，且 f(4)1 得 g(1)4，所以 a24，a2. 5若函数 yf(x)的图像过点(0,1)，则函数 g(x)f(4x)的反函数的图像过 点_ 答案(1,4) 解析yf(x)的图像过点(0,1)， f(4x)的图像过点(4,1)， g(x)f(4x)的反函数的图像过点(1,4) 知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 答案A 解析 7已知函数 f(x)log2(12x) (1)求函数 f(x)的定义域和值域； (2)求证函数 yf(x)的图像关于直线 yx 对称 解(1)要使函数 f(x)log2(12x)有意义，则 12x0， 即 2x1. 故 x0，此时 012x1， f(x)log2(12x)0) Bylog2(x1)(x1) Cy1log2x(x0) Dylog2(x1)(x1) 答案C 解析由 y2x1x1log2yx1log2y，又因原函数的值域y|y0， 故其反函数是 y1log2x(x0) 2当 0a0，且 a1)的反函数的图像过点(，a)，则 a 的值为() a A2 B. 1 2 C2 或 D3 1 2 答案B 解析解法一：函数 yax(a0，且 a1)的反函数即 ylogax，故 ylogax 的图像过点(，a)，则 aloga . aa 1 2 解法二：由题意得，函数 yax(a0，且 a1)的反函数的图像过点(，a)， a 则函数 yax(a0，且 a1)的图像过点(a，)，即 aa，故 a . aa 1 2 4已知 a0，且 a1，则函数 yax与 yloga(x)的图像只能是() 答案B 解析解法一：首先，曲线 yax只可能在上半平面，yloga(x)只可能在 左半平面，从而排除 A，C. 其次，从单调性来看，yax与 yloga(x)的增减性正好相反，又可排除 D. 应选 B. 解法二：若 0a1，则曲线 yax上升且过点(0,1)，而曲线 yloga(x)下降且过点 (1,0)，只有 B 满足条件 5已知函数 yf(x)的定义域是1,1，其图像如图所示，则不等式 1f1(x) 的解集是() 1 2 A. 1，1 2 B. 2，1 2 C2,0) 1 2，1 D1,0 1 2，1 答案C 解析由题意，可得1f1(x) 的解集即为 f(x)在上的值域 1 2 1， 1 2 当1x0 时，由题图可知 f(x)2,0)， 当 0 x 时，由题图可知 f(x). 1 2 1 2，1 故不等式1f1(x) 的解集为2,0). 1 2 1 2，1 二、填空题 6函数 y1log3x 与函数 y23x，当 x 从 1 增加到 m 时，函数的增量分别是 y1与 y2，则 y1_y2.(填“” “”或“”) 答案 解析函数 y1log3x 与函数 y23x在区间(0，)上都是增函数，但 y23x增长得快，所以 y1y2. 7已知函数 f(x)axk 的图像过点(1,3)，其反函数 yf1(x)的图像过点 (2,0)，则 f(x)的表达式为_ 答案f(x)2x1 解析yf1(x)的图像过点(2,0)， yf(x)的图像过点(0,2)， 2a0k，k1， f(x)ax1. 又yf(x)的图像过点(1,3)，3a11， a2，f(x)2x1. 答案(，1 解析由题意得 f(x) x， ( 1 2) f(x22x) x22x， ( 1 2) f(x)在 R 上是减函数， 由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为 tx22x 的单调减 区间，即(，1 三、解答题 9若不等式 4xlogax0，当 x时恒成立，求实数 a 的取值范围 (0， 1 2) 解要使不等式 4xlogax 在 x时恒成立，即函数 ylogax 的图像在 (0， 1 2) 内恒在函数 y4x图像的上方，而 y4x的图像过点. (0， 1 2) ( 1 2，2) 由图可知，loga2，显然这里 0a1， 1 2 函数 ylogax 递减 又 loga2logaa2，a2 ， 1 2 1 2 又 0a1，a. 2 2 所求的 a 的取值范围为. 2 2 ，1) 10已知 f(x)(aR)，f(0)0. a2x1 2x1 (1)求 a 的值，并判断 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的反函数； (3)对任意的 k(0，)，解不等式 f1(x)log2. 1x k 解(1)由 f(0)0，得 a1，所以 f(x). 2x1 2x1 因为 f(x)f(x)0， 2x1 2x1 2x1 2x1 2x1 2x1 12x 12x 所以 f(x)f(x)，即 f(x)为奇函数 (2)因为 f(x)y1， 2x1 2x1 2 2x1 所以 2x(1y1)， 1y 1y 所以 f1(x)log2(1x1) 1x 1x (3)因为 f1(x)log2， 1x k 即 log2log2，所以Error! 1x 1x 1x k 所以Error! 当 0k2 时，原不等式的解集为x|1kx1； 当 k2 时，原不等式的解集为x|1x1 4.4幂函数 课时 8幂函数 知识点一 幂函数的概念及图像 1.如图，函数 y ，yx，y1 的图像和直线 x1 将平面直角坐标系的第 1 x 一象限分成八个部分：.若幂函数 f(x)的图像经过的部分是 ，则 f(x)可能是() 答案B 解析函数 yx的图像过部分， 函数 yx在第一象限内单调递减， ， 1 2 1 2 1 2 函数 y的图像经过部分， 1 x 当 x 时，y，12， 1 222 函数 y的图像经过部分， 1 x B 符合题意对于 D，当 x2 时，y ， b，构造指数函数 y x， ( 1 2) 其在(0，)上递减，ca，即 cab.故选 D. 4若幂函数 y(m23m3)xm 22m3 的图像不过原点，且关于原点对称， 则() Am2 Bm1 Cm2 或 m1 D3m1 答案A 解析根据幂函数的概念，得 m23m31，解得 m1 或 m2.若 m1，则 yx4，其图像不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若 m2，则 yx3，其图像不过原点，且关于原点对称 5在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax 的图像可能是() 1 a 答案C 解析当 a0，yxa在(0，)上是减函数， 1 a A，B，C，D 项均不正确若 a0，则 yax 是增函数，截距 1 a f(a1)的 2 实数 a 的取值范围 解(1)m2mm(m1)，mN*， m 与 m1 中必定有一个为偶数， m2m 为偶数， 由 f(2a)f(a1)，得Error! 解得 1af(a1)的实数 a 的取值范围为 1a . 3 2 第四章指数、对数函数与幂函数 4.5增长速度的比较 课时9增长速度的比较 知识点一 函数的平均变化率 1.函数 y2x1 在(1,2)内的平均变化率为() A0 B1 C2 D3 答案C 解析当 x1 时，y3，当 x2 时，y5，故平均变化率为2.故选 53 21 C. 2如图，函数 yf(x)在 A，B 两点间的平均变化率是() A1 B1 C2 D2 答案B 解析1. y x 13 31 3函数 yx2在 x1,2,3 附近的平均变化率中，在 x_附近的平均 变化率最大 答案3 解析在 x1 附近的平均变化率为 k12x； f1xf1 x 1x21 x 在 x2 附近的平均变化率为 k24x； f2xf2 x 2x222 x 在 x3 附近的平均变化率为 k36x. f3xf3 x 3x232 x 对任意 x 有，k1k2k2k1k4. 知识点二 函数平均变化率的应用 5.四人赛跑，假设他们走过的路 fi(x)(i1,2,3,4)和时间 x(x1)的函数关系 分别是 f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终 跑在最前面的人具有的函数关系是() Af1(x)x2 Bf2(x)4x Cf3(x)log2x Df4(x)2x 答案D 解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具 有的函数关系是 f4(x)2x.故选 D. 6巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地 有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是 一段登山路线图同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比较轻松，而从 B 处 到 C 处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的 陡峭程度吗？ 解山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 hAB ，山路从 B 到 C 高 100 500 1 5 度的平均变化率为 hBC ，hBChAB. 1510 7050 1 4 山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多 7已知函数 f(x)2x3，g(x)x2，判断 f(1)与 g(1)的相对大小，并求出使 得 f(1x)2. g x 1x21 x 又因为当 2x3x2，即 x3(x1 舍去)时，f(x)g(x)，所以当 x312 时，f(1x)m)上的平均变 化率为 mn.求证 f(x)是一个二次函数 证明函数 f(x)在区间m，n上的平均变化率为 mn. f x fnfm nm 变形得 f(n)f(m)n2m2，f(n)n2f(m)m2. 令 f(n)n2f(m)m2c，c 为常数， 所以有 f(x)x2c.所以函数 f(x)是一个二次函数 9已知函数 f(x)的定义域为 R，而且 f(x)在任意区间内的平均变化率均比 g(x)3x4 在同一区间内的平均变化率大，判断 f(5)f(2)与 9 的相对大小 解函数 g(x)3x4 在 R 上的平均变化率为 3.根据题意，函数 f(x)在2,5 上的平均变化率大于 3. 即3.所以 f(5)f(2)9. f x f5f2 52 一、选择题 1函数 f(x)从 x 到 x2 的平均变化率为() 2x 1 2 A2 B. C. D. 2 3 2 2 32 答案B 解析由题意知函数 f(x)从 x 到 x2 的增量为 ff(2)f 2x 1 2 ( 1 2) 211，f(x)从 x 到 x2 的平均变化率为 2 2 2 1 22x 1 2 f x ，故选 B. 1 21 2 2 3 2质点运动规律 S(t)t23，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平均速度为() A6.3 B36.3 C3.3 D9.3 答案A 解析S(3)12，S(3.3)13.89，平均速率6.3.故 v S3.3S3 3.33 1.89 0.3 选 A. 3已知函数 f(x)x22x，函数 f(x)从 2 到 2x 的平均变化率为() A2x B2x C2x D(x)22x 答案B 解析 f x f2xf2 x 2x222x44 x 4x24x42x x x22x x x2. 故选 B. 4四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d 所表示的函数可能 是() Aa：y2x，b：yx2，c：y，d：y2x x Ba：yx2，b：y2x，c：y2x，d：y x Ca：yx2，b：y2x，c：y，d：y2x x Da：y2x，b：yx2，c：y2x，d：y x 答案C 解析a，c 对应的是幂函数，a 的指数大于 1，c 的指数大于 0 小于